Question

Sea $N$ el mayor número de cinco dígitos cuyos dígitos tienen un producto de $120.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Let $N$ be the greatest five-digit number whose digits have a product of $120.$ What is the sum of the digits of $N?$

$15$

$16$

$17$

$18$

$20$

Solución en video:

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Solución escrita:

Para formar el mayor número posible de $5$ dígitos, debemos maximizar el primer dígito (el dígito de las decenas de millar).

El mayor número estrictamente menor que $10$ que divide a $120$ es $8,$ así que el primer dígito debe ser $8.$ Por lo tanto, el producto del número restante es $15.$

De manera similar, ahora debemos maximizar el segundo dígito.

El mayor número menor que $10$ que divide a $15$ es $5,$ así que el segundo dígito es $5.$ Por lo tanto, el producto del número restante es $3.$

Luego debemos maximizar el tercer dígito.

El mayor número menor que $10$ que divide a $3$ es $3,$ así que el tercer dígito es $3.$ Por lo tanto, el producto del número restante es $1.$ Esto significa que el cuarto y el quinto dígito son $1.$

Así, $N = 85311,$ por lo que la suma de los dígitos es $8+5+3+1+1=18$

Así, D es la respuesta correcta.

To make the largest possible $5$ digit number, we must maximize the first digit (the digit in the ten-thousands place).

The largest number that is strictly less than $10$ and divides $120$ is $8,$ so the first digit must be $8.$ Therefore, the product of the remaining number is $15.$

Similarly, we must now maximize the second digit.

The largest number that is less than $10$ and divides $15$ is $5,$ so the second digit is $5.$ Therefore, the product of the remaining number is $3.$

We must then maximize the third digit.

The largest number that is less than $10$ and divides $3$ is $3,$ so the third digit is $3.$ Therefore, the product of the remaining number is $1.$ This means the 4th and 5th digits are $1.$

This makes $N = 85311,$ so the sum of the digits is $8+5+3+1+1=18$

Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 8 Problema 14

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 14 en otros años