Question

Laila hizo cinco exámenes de matemáticas, cada uno con un máximo de $100$ puntos. La calificación de Laila en cada examen fue un entero entre $0$ y $100,$ inclusive. Laila obtuvo la misma calificación en los primeros cuatro exámenes, y obtuvo una calificación mayor en el último examen. Su calificación promedio en los cinco exámenes fue $82.$ ¿Cuántos valores son posibles para la calificación de Laila en el último examen?

Laila took five math tests, each worth a maximum of $100$ points. Laila's score on each test was an integer between $0$ and $100,$ inclusive. Laila received the same score on the first four tests, and she received a higher score on the last test. Her average score on the five tests was $82.$ How many values are possible for Laila's score on the last test?

$4$

$5$

$9$

$10$

$18$

Solución en video:

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Solución escrita:

Como la calificación promedio en los cinco exámenes es $82,$ la calificación total de esos cinco exámenes debe ser $5\cdot82 = 410 .$

Ahora, sea $f$ la calificación de los primeros 4 exámenes y sea $l$ la calificación del último examen.

Sabemos que $f < l \leq 100$ y $4f + l = 410.$ Y como $410 = 4f + l < 5l ,$ sabemos que $\frac{410}{5} = 82 < l .$

Además, como $4f + l = 410 ,$ y dividir $410$ entre $4$ deja un residuo de 2, sabemos que dividir $l$ entre $4$ también debe dejar un residuo de $2$ , ya que $4f$ no deja residuo al dividirse entre $4.$ De forma equivalente: $l \equiv 2 \mod 4 .$ Como $82 < l \leq 100$ y $l \equiv 2 \mod 4,$ las únicas opciones para $l$ son $86,90,94,98.$ Esto da cuatro soluciones distintas, como sigue: $\begin{align*} (f,l) =& (81,86);\\ &(80,90);\\ &(79,94);\\ &(78,98) \end{align*}$ Por lo tanto, hay $4$ soluciones, y A es la respuesta correcta.

Since the average score on the five tests is $82,$ the total score of those five tests must be $5\cdot82 = 410 .$

Now, let $f$ be the score on the first 4 tests and let $l$ be the score for the last test.

We know that $f < l \leq 100$ and $4f + l = 410.$ And as $410 = 4f + l < 5l ,$ we know $\frac{410}{5} = 82 < l .$

Also, since $4f + l = 410 ,$ and dividing $410$ by $4$ gives us a remainder of 2, we know that dividing $l$ by $4$ must leave a remainder of $2$ as $4f$ will leave no remainder when divided by $4.$ Equivalently: $l \equiv 2 \mod 4 .$ Since $82 < l \leq 100$ and $l \equiv 2 \mod 4,$ the only options for $l$ are $86,90,94,98.$ This yields four distinct solutions as follows: $\begin{align*} (f,l) =& (81,86);\\ &(80,90);\\ &(79,94);\\ &(78,98) \end{align*}$ Therefore, there are $4$ solutions, and A is the correct answer.

2018 AMC 8 Problema 13

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 13 en otros años