Question

Buzz Bunny sube y baja saltando por una escalera, un escalón a la vez. ¿De cuántas maneras puede Buzz empezar en el suelo, hacer una secuencia de $6$ saltos y terminar de nuevo en el suelo? (Por ejemplo, una secuencia es arriba, arriba, abajo, abajo, arriba, abajo.)

Buzz Bunny is hopping up and down a set of stairs, one step at a time. In how many ways can Buzz start on the ground, make a sequence of $6$ hops, and end up back on the ground? (For example, one sequence of hops is up-up-down-down-up-down.)

$4$

$5$

$6$

$8$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:Número de Catalan enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

La secuencia debe tener tres saltos hacia arriba y tres saltos hacia abajo

The sequence must have three up hops and three down hops

Pista grande:

En ningún momento Buzz puede tener más saltos hacia abajo que hacia arriba

Buzz can never have more down hops than up hops at any point

Solución en video:

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Solución escrita:

Toda secuencia debe empezar con un salto hacia arriba $(U)$ , terminar con un salto hacia abajo $(D)$ y, en ningún momento, tener más saltos hacia abajo que hacia arriba. Con esto obtenemos los siguientes casos: $UUUDDD$ $UUDUDD$ $UUDDUD$ $UDUDUD$ $UDUUDD$ En total hay cinco secuencias posibles.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can deduce from the choices that it is possible to exhaust all possible cases for this problem. Note that all sequences must start with up $(U)$ and end with down $(D)$ , and that it should not be possible to go down more times than Buzz has gone up so far. Keeping this in mind, we can arrive at the following possible cases: $UUUDDD$ $UUDUDD$ $UUDDUD$ $UDUDUD$ $UDUUDD$ which is a total of five possible sequences.

Thus, B is the correct answer.

2024 AMC 8 Problema 13