Question

¿Cuántos subconjuntos de dos elementos se pueden quitar del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ de modo que la media (el promedio) de los números restantes sea 6?

How many subsets of two elements can be removed from the set $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$ so that the mean (average) of the remaining numbers is 6?

$\text{ 1}$

$\text{ 2}$

$\text{ 3}$

$\text{ 5}$

$\text{ 6}$

Solución en video:

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Solución escrita:

El conjunto original tiene suma $1+2+\cdots+11=66$ . Después de quitar dos números, quedan $9$ números que deben tener media $6$ , así que su suma debe ser $9\cdot6=54$ .

Por lo tanto, los dos números quitados deben tener suma $66-54=12$ . Los posibles subconjuntos de dos elementos son $\{1,11\},$ $\{2,10\},$ $\{3,9\},$ $\{4,8\},$ $\{5,7\}$ , así que hay $5$ opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The original set has sum $1+2+\cdots+11=66$ . After removing two numbers, $9$ numbers remain and must have mean $6$ , so their sum must be $9\cdot6=54$ .

Therefore the two removed numbers must have sum $66-54=12$ . The possible two-element subsets are $\{1,11\},$ $\{2,10\},$ $\{3,9\},$ $\{4,8\},$ $\{5,7\}$ , so there are $5$ choices.

Thus, D is the correct answer.

2015 AMC 8 Problema 13

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 13 en otros años