Question

Las rutas de un solo sentido que conectan los pueblos $A,$ $M,$ $C,$ $X,$ $Y,$ y $Z$ se muestran en la figura de abajo (no está a escala). Las distancias en kilómetros a lo largo de cada ruta están marcadas. Viajando por estas rutas, ¿cuál es la distancia más corta de $A$ a $Z$ en kilómetros?

The one-way routes connecting towns $A,$ $M,$ $C,$ $X,$ $Y,$ and $Z$ are shown in the figure below (not drawn to scale). The distances in kilometers along each route are marked. Traveling along these routes, what is the shortest distance from $A$ to $Z$ in kilometers?

$28$

$29$

$30$

$31$

$32$

Solución en video:

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Solución escrita:

Una forma sistemática de rastrear la distancia total más corta hasta $Z$ es considerar la distancia más corta para llegar a cada pueblo desde $A$ . Por ejemplo, la distancia más corta para llegar al pueblo $X$ desde $A$ es $5$ km, trivialmente.

Luego, para el pueblo $M$ , ir primero al pueblo $X$ es más corto que ir directamente desde $A$ , así que el camino más corto al pueblo $M$ tiene longitud $7$ km.

Para el pueblo $Y$ , nos toma $15$ km si venimos del pueblo $X$ y solo $13$ km viniendo de $M,$ así que $13$ km es la longitud del camino más corto a $Y$ desde $A$ .

Haciendo lo mismo para el pueblo $C$ obtenemos $18$ km como la distancia más corta, viniendo del pueblo $Y$ .

Finalmente, para el pueblo $Z$ , podemos venir del pueblo $Y,$ $C,$ o $M$ . La distancia total si venimos de cada uno de los tres pueblos respectivamente sería $30,$ $28,$ y $32$ . Por lo tanto, $28$ km es la distancia más corta de $A$ a $Z$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

A systematic way of tracking the shortest overall distance to $Z$ is to consider the shortest distance to get to each town from $A$ . For instance, the shortest distance to get to town $X$ from $A$ is $5$ km, trivially.

Then, for town $M$ , going to town $X$ first will be shorter compared to going directly from $A$ , so the shortest path to town $M$ has a length of $7$ km.

For town $Y$ , it will take us $15$ km if we come from town $X$ and only $13$ km coming from $M,$ so $13$ km is the length of shortest path to $Y$ from $A$ .

Doing the same for town $C$ will give us $18$ km as the shortest distance by coming from town $Y$ .

Finally, for town $Z$ , we can either come from town $Y,$ $C,$ or $M$ . The total distance if we come from each three towns respectively would be $30,$ $28,$ and $32$ . Hence, $28$ km is the shortest distance from $A$ to $Z$ .

Thus, A is the correct answer.

2024 AMC 8 Problema 14

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 14 en otros años