Question

Sean $F,$ $L,$ $Y,$ $B,$ $U,$ y $G$ letras que representan dígitos distintos. Supón que $\text{FLYFLY}$ es el mayor número que satisface la ecuación $8 \cdot \text{FLYFLY} = \text{BUGBUG}.$ ¿Cuál es el valor de $\text{FLY} + \text{BUG}$ ?

Let the letters $F,$ $L,$ $Y,$ $B,$ $U,$ $G$ represent distinct digits. Suppose $\text{FLYFLY}$ is the greatest number that satisfies the equation $8 \cdot \text{FLYFLY} = \text{BUGBUG}.$ What is the value of $\text{FLY} + \text{BUG}?$

$1089$

$1098$

$1107$

$1116$

$1125$

Respuesta: C

Conceptos:criptoaritmética valor posicional optimización

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

$\text{FLYFLY}=1001\cdot\text{FLY}$

Pista grande:

La ecuación se reduce a $8\cdot\text{FLY}=\text{BUG}$

The equation reduces to $8\cdot\text{FLY}=\text{BUG}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, observemos que $\text{FLYFLY} = 1001(\text{FLY})$ y, de manera análoga, $\text{BUGBUG}=1001(\text{BUG})$ por lo que la ecuación se reduce a $8 \cdot \text{FLY} = \text{BUG}.$

Como $\text{BUG}$ tiene tres cifras, $\text{FLY}\le124.$ El mayor número de tres cifras no mayor que $124$ y con cifras distintas es $124,$ pero $8\cdot124=992$ repite una cifra y además vuelve a usar la cifra $2.$

El siguiente candidato es $123,$ y $8\cdot123=984.$ Las seis cifras $1,$ $2,$ $3,$ $9,$ $8,$ y $4$ son todas distintas, de modo que $123$ es el mayor valor posible de $\text{FLY}.$

Por consiguiente, $\begin{gathered} \text{FLY} + \text{BUG} = 123 + 984 \\ = 1107. \end{gathered}$

Así, C es la respuesta correcta.

Firstly, note that $\text{FLYFLY} = 1001(\text{FLY})$ and, similarly, $\text{BUGBUG}=1001(\text{BUG})$ so the equation can be simplified to $8 \cdot \text{FLY} = \text{BUG}.$

Because $\text{BUG}$ has three digits, $\text{FLY}\le124.$ The largest possible three-digit number at most $124$ with distinct digits is $124,$ but $8\cdot124=992$ repeats a digit and also reuses the digit $2.$

The next candidate is $123,$ and $8\cdot123=984.$ The six digits $1,$ $2,$ $3,$ $9,$ $8,$ and $4$ are all distinct, so $123$ is the greatest possible value of $\text{FLY}.$

Hence, $\begin{gathered} \text{FLY} + \text{BUG} = 123 + 984 \\ = 1107. \end{gathered}$

Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 8 Problema 15