Question

Sean las letras $F,$ $L,$ $Y,$ $B,$ $U,$ $G$ que representan dígitos distintos. Supón que $\text{FLYFLY}$ es el mayor número que satisface la ecuación $8 \cdot \text{FLYFLY} = \text{BUGBUG}.$ ¿Cuál es el valor de $\text{FLY} + \text{BUG}$ ?

Let the letters $F,$ $L,$ $Y,$ $B,$ $U,$ $G$ represent distinct digits. Suppose $\text{FLYFLY}$ is the greatest number that satisfies the equation $8 \cdot \text{FLYFLY} = \text{BUGBUG}.$ What is the value of $\text{FLY} + \text{BUG}?$

$1089$

$1098$

$1107$

$1116$

$1125$

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, nota que $\text{FLYFLY} = 1001(\text{FLY})$ y, de manera similar, $\text{BUGBUG}=1001(\text{BUG})$ así que la ecuación se puede simplificar a $8 \cdot \text{FLY} = \text{BUG}.$

Para que $\text{BUG}$ siga siendo de tres dígitos, $F$ debe ser $1.$ Además, $L$ también debe ser menor que $3$ para no llevar $2$ a la cifra de las centenas y hacer que el producto tenga $4$ dígitos. Como queremos que $\text{FLY}$ sea el mayor número, $L$ debe ser $2.$

Para identificar los valores posibles de $Y,$ notamos que hasta ahora tenemos $8(12)=96$ , así que debemos evitar llevar $4$ a la cifra de las decenas para mantener el producto en tres dígitos. Por lo tanto, $Y\le5$ . Podemos probar $4$ y verificar si el producto resultante tiene dígitos únicos aún no usados: $8(124) = 992$ , que no tiene dígitos únicos. Probando $3,$ obtenemos $8(123) = 984$ , que cumple nuestros criterios.

Así, $\begin{gathered} \text{FLY} + \text{BUG} = 123 + 984 \\ = 1107. \end{gathered}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Firstly, note that $\text{FLYFLY} = 1001(\text{FLY})$ and, similarly, $\text{BUGBUG}=1001(\text{BUG})$ so the equation can be simplified to $8 \cdot \text{FLY} = \text{BUG}.$

For $\text{BUG}$ to remain three digits, $F$ must be $1.$ Moreover, $L$ must also be less than $3$ to avoid carrying over $2$ to the hundreds digit and making the product $4$ digits. Since we need $\text{FLY}$ to be the greatest number, $L$ must be $2.$

To identify the possible values for $Y,$ we note that so far we have $8(12)=96$ , so we must avoid carrying $4$ to the tens digit to keep the resulting product three digits. Hence, $Y\le5$ . We can try $4$ and verify that the resulting product has unique digits that haven't been used yet: $8(124) = 992$ , which does not have unique digits. Trying $3,$ we get $8(123) = 984$ , which satisfies our criteria.

Hence, $\begin{gathered} \text{FLY} + \text{BUG} = 123 + 984 \\ = 1107. \end{gathered}$

Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 8 Problema 15

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 15 en otros años