Soluciones del 2024 AMC 8 — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

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Soluciones del 2024 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Cuál es la cifra de las unidades de esta expresión? $\begin{align*} & 222,222 - 22,222 - 2,222 \\ &- 222 - 22 - 2? \end{align*}$

What is the ones digit of $\begin{align*} & 222,222 - 22,222 - 2,222 \\ &- 222 - 22 - 2? \end{align*}$

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Conceptos:dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Solo las cifras de las unidades afectan la cifra de las unidades del resultado

Only the ones digits affect the ones digit of the result

Pista grande:

Calcula la cifra de las unidades de $2-2-2-2-2-2$

Compute the ones digit of $2-2-2-2-2-2$

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Solución escrita:

Solo importan las cifras de las unidades. Módulo $10,$ la expresión es $\begin{gathered} 2-2-2-2-2-2=-8,\\ -8\equiv2\pmod{10}. \end{gathered}$ Por lo tanto, su cifra de las unidades es $2.$

Así, B es la respuesta correcta.

Only the ones digits matter. Modulo $10,$ the expression is $\begin{gathered} 2-2-2-2-2-2=-8,\\ -8\equiv2\pmod{10}. \end{gathered}$ Therefore its ones digit is $2.$

Thus, B is the correct answer.

2.

¿Cuál es el valor de esta expresión en forma decimal? $\frac{44}{11} + \frac{110}{44} + \frac{44}{1100}$

What is the value of this expression in decimal form? $\frac{44}{11} + \frac{110}{44} + \frac{44}{1100}$

$6.4$

$6.504$

$6.54$

$6.9$

$6.94$

Conceptos:fracción decimal

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Simplifica primero cada fracción

Simplify each fraction first

Pista grande:

$\frac{44}{11}=4$ , $\frac{110}{44}=2.5$ y $\frac{44}{1100}=0.04$

$\frac{44}{11}=4$ , $\frac{110}{44}=2.5$ , and $\frac{44}{1100}=0.04$

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos simplificar las fracciones sacando el factor común $11$ : $\dfrac{44}{11}$ se simplifica a $4$ , $\dfrac{110}{44}$ se simplifica a $\dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} = 2.5$ , y $\dfrac{44}{1100}$ se simplifica a $\dfrac{4}{100} = 0.04$ . Por lo tanto, tenemos $4 + 2.5 + 0.04 = 6.54.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can simplify the fractions by taking out the common factor $11$ : $\dfrac{44}{11}$ simplifies to $4$ , $\dfrac{110}{44}$ simplifies to $\dfrac{10}{4} = \dfrac{5}{2} = 2.5$ , and $\dfrac{44}{1100}$ simplifies to $\dfrac{4}{100} = 0.04$ . Therefore, we have $4 + 2.5 + 0.04 = 6.54.$

Thus, C is the correct answer.

3.

Cuatro cuadrados de lados $4,$ $7,$ $9,$ y $10$ unidades se disponen en orden creciente de tamaño de modo que sus bordes izquierdos y sus bordes inferiores queden alineados. Los cuadrados alternan entre sombreado y sin sombrear, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada visible, en unidades cuadradas?

Four squares of side length $4,$ $7,$ $9,$ and $10$ units are arranged in increasing size order so that their left edges and bottom edges align. The squares alternate shaded and unshaded, as shown in the figure. What is the area of the visible shaded region in square units?

$42$

$45$

$49$

$50$

$52$

Conceptos:descomposición de áreas cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Usa las áreas de los cuadrados anidados, sombreados y sin sombrear

Use shaded and unshaded nested square areas

Pista grande:

El área sombreada visible es $10^2-9^2+7^2-4^2$

The visible shaded area is $10^2-9^2+7^2-4^2$

Solución en video:

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Solución escrita:

La región sombreada visible es la parte que está dentro del cuadrado de $10$ por $10$ pero fuera del cuadrado de $9$ por $9$ , junto con la parte que está dentro del cuadrado de $7$ por $7$ pero fuera del cuadrado de $4$ por $4$ . Su área es $\begin{gathered} 10^2-9^2+7^2-4^2 \\ =100-81+49-16 \\ =52. \end{gathered}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The visible shaded region is the part inside the $10$ by $10$ square but outside the $9$ by $9$ square, together with the part inside the $7$ by $7$ square but outside the $4$ by $4$ square. Its area is $\begin{gathered} 10^2-9^2+7^2-4^2 \\ =100-81+49-16 \\ =52. \end{gathered}$

Thus, E is the correct answer.

4.

Cuando Yunji sumó todos los enteros del $1$ al $9,$ por error omitió un número. Su suma incorrecta resultó ser un número cuadrado. ¿Qué número omitió Yunji?

When Yunji added all the integers from $1$ to $9,$ she mistakenly left out a number. Her incorrect sum turned out to be a square number. Which number did Yunji leave out?

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:número triangular cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

La suma del $1$ al $9$ es $45$

The sum from $1$ to $9$ is $45$

Pista grande:

La suma incorrecta debe ser un cuadrado menor que $45$

The incorrect sum must be a square below $45$

Solución en video:

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Solución escrita:

Para hallar el número que Yunji omitió, calculamos la suma de los enteros del $1$ al $9$ y luego su diferencia con el mayor cuadrado perfecto menor que esa suma. La suma de los enteros del $1$ al $9$ es $1 + \ldots + 9 = \dfrac{9(9+1)}{2} = 45$ El mayor cuadrado perfecto menor que $45$ es $36$ , por lo que Yunji omitió $45 - 36 = 9$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

To find the number that Yunji left out, we need to find the sum of the integers from $1$ to $9$ and find its difference with the largest perfect square below the sum. We can calculate the sum of the integers from $1$ to $9$ as follows: $1 + \ldots + 9 = \dfrac{9(9+1)}{2} = 45$ The largest perfect square less than $45$ would be $36$ and $45 - 36 = 9$ .

Thus, E is the correct answer.

5.

Aaliyah lanza dos dados estándar de $6$ caras. Nota que el producto de los dos números obtenidos es un múltiplo de $6.$ ¿Cuál de los siguientes enteros no puede ser la suma de los dos números?

Aaliyah rolls two standard $6$ -sided dice. She notices that the product of the two numbers rolled is a multiple of $6.$ Which of the following integers cannot be the sum of the two numbers?

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:dados (probabilidad)divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Un múltiplo de $6$ necesita un factor $2$ y un factor $3$

A multiple of $6$ needs a factor of $2$ and a factor of $3$

Pista grande:

Enumera las sumas posibles cuyos productos de dados sean divisibles por $6$

List the possible sums from dice products divisible by $6$

Solución en video:

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Solución escrita:

Para que el producto sea múltiplo de $6$ , los dos dados juntos deben aportar un factor $2$ y un factor $3$ . Las siguientes sumas entre las opciones sí pueden obtenerse: $\begin{gathered} 5=2+3,\quad 7=1+6, \\ 8=2+6,\quad 9=3+6. \end{gathered}$ No hay forma de obtener suma $6$ y, a la vez, un producto divisible por $6$ : los pares con suma $6$ son $(1,5),$ $(2,4),$ $(3,3),$ $(4,2),$ y $(5,1)$ , y ninguno tiene producto divisible por $6$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

For the product to be a multiple of $6$ , the two dice together must supply a factor of $2$ and a factor of $3$ . The possible sums among the answer choices can occur as follows: $\begin{gathered} 5=2+3,\quad 7=1+6, \\ 8=2+6,\quad 9=3+6. \end{gathered}$ There is no way to get sum $6$ while also having a product divisible by $6$ : the pairs with sum $6$ are $(1,5),$ $(2,4),$ $(3,3),$ $(4,2),$ and $(5,1)$ , and none have product divisible by $6$ .

Thus, B is the correct answer.

6.

Sergei patinó alrededor de una pista de hielo, deslizándose por distintas trayectorias. Las líneas marcadas en las figuras de abajo muestran cuatro de las trayectorias, etiquetadas P, Q, R y S. ¿Cuál es el orden de las cuatro trayectorias, de la más corta a la más larga?

Sergei skated around an ice rink, gliding along different paths. The marked lines in the figures below show four of the paths labeled P, Q, R, and S. What is the sorted order of the four paths from shortest to longest?

P, Q, R, S

P, R, S, Q

Q, S, P, R

R, P, S, Q

R, S, P, Q

Conceptos:arco acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Compara las partes de las trayectorias: los arcos son más largos que sus cuerdas

Compare the path pieces: arcs are longer than their chords

Pista grande:

Las opciones ya coinciden en que la trayectoria R es la más corta y la trayectoria Q es la más larga

The answer choices already agree that Path R is shortest and Path Q is longest

Solución en video:

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Solución escrita:

La trayectoria R es la más corta porque reemplaza los tramos de arco curvo por cuerdas rectas. La trayectoria Q es la más larga porque incluye la mayor distancia de cruce interior, además de usar los extremos curvos.

Falta comparar las trayectorias P y S. El tramo recto relevante en la trayectoria S es una diagonal que cruza la pista, mientras que el tramo recto correspondiente en la trayectoria P es un lado del mismo triángulo rectángulo. Una diagonal es más larga que un lado, así que la trayectoria S es más larga que la trayectoria P.

El orden de la más corta a la más larga es R, P, S, Q.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Path R is shortest because it replaces curved arc portions with straight-line chords. Path Q is longest because it includes the most interior crossing distance while still using the curved ends.

It remains to compare paths P and S. The relevant straight piece in path S is a diagonal across the rink, while the corresponding straight piece in path P is a side of the same right triangle. A diagonal is longer than a side, so path S is longer than path P.

The order from shortest to longest is R, P, S, Q.

Thus, D is the correct answer.

7.

Un rectángulo de $3 \times 7$ se cubre sin superposición con $3$ formas de fichas: $2 \times 2,$ $1 \times 4,$ y $1 \times 1,$ que se muestran abajo. ¿Cuál es el mínimo número posible de fichas de $1 \times 1$ que se pueden usar?

A $3 \times 7$ rectangle is covered without overlap by $3$ shapes of tiles: $2 \times 2,$ $1 \times 4,$ and $1 \times 1,$ shown below. What is the minimum possible number of $1 \times 1$ tiles used?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:teselado paridad argumento extremal

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

El área que queda para las fichas no unitarias debe ser un múltiplo de $4$

The area left for non-unit tiles must be a multiple of $4$

Pista grande:

Si se usara una sola ficha unitaria, dos filas necesitarían un número impar de celdas cubiertas por fichas más grandes

If only one unit tile were used, two rows would need an odd number of cells covered by larger tiles

Solución en video:

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Solución escrita:

Las fichas de $2\times2$ y de $1\times4$ tienen cada una área $4$ . Como el rectángulo tiene área $21$ , el número de fichas de $1\times1$ debe ser congruente con $1\pmod4$ . Entre las opciones, solo $1$ y $5$ son posibles por área.

Es imposible usar una sola ficha de $1\times1$ . Si las fichas más grandes cubrieran las otras $20$ celdas, entonces dos filas tendrían sus $7$ celdas cubiertas por fichas más grandes. Pero cada ficha de $2\times2$ cubre $2$ celdas en cada fila que toca, y cada ficha de $1\times4$ cubre $4$ celdas en una fila, así que cada fila tendría un número par de celdas cubiertas por fichas más grandes. Una fila no puede tener $7$ de esas celdas.

El siguiente teselado muestra que $5$ fichas unitarias son posibles.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The $2\times2$ and $1\times4$ tiles each have area $4$ . Since the rectangle has area $21$ , the number of $1\times1$ tiles must be congruent to $1\pmod4$ . Among the choices, only $1$ and $5$ are possible by area.

It is impossible to use just one $1\times1$ tile. If the larger tiles covered the other $20$ cells, then two rows would have all $7$ cells covered by larger tiles. But each $2\times2$ tile covers $2$ cells in any row it meets, and each $1\times4$ tile covers $4$ cells in one row, so each row would have an even number of cells covered by larger tiles. A row cannot have $7$ such cells.

The following tiling shows that $5$ unit tiles are possible.

Thus, E is the correct answer.

8.

El lunes Taye tiene $\$2.$ Cada día, o bien gana $\$3$ o bien duplica la cantidad de dinero que tenía el día anterior. ¿Cuántas cantidades distintas de dólares podría tener Taye el jueves, $3$ días después?

On Monday Taye has $\$2.$ Every day, he either gains $\$3$ or doubles the amount of money he had on the previous day. How many different dollar amounts could Taye have on Thursday, $3$ days later?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:diagrama de árbol enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Después de cada día, ramifica entre sumar $3$ o duplicar

After each day, branch into adding $3$ or doubling

Pista grande:

Enumera las cantidades después del martes, luego del miércoles y luego del jueves

List the amounts after Tuesday, then Wednesday, then Thursday

Solución en video:

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Solución escrita:

Al terminar el martes, Taye podría tener $5$ o $4$ dólares. Al terminar el miércoles, las cantidades posibles son $8,10,7,8,$ así que las cantidades distintas son $7,8,10$ .

Al terminar el jueves, estas cantidades pueden convertirse en $10,14,\quad 11,16,\quad 13,20.$ Son $6$ cantidades distintas de dólares.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

After Tuesday, Taye could have $5$ or $4$ dollars. After Wednesday, the possible amounts are $8,10,7,8,$ so the distinct amounts are $7,8,10$ .

After Thursday, these can become $10,14,\quad 11,16,\quad 13,20.$ These are $6$ distinct dollar amounts.

Thus, D is the correct answer.

9.

Todas las canicas de la colección de Maria son rojas, verdes o azules. Maria tiene la mitad de canicas rojas que verdes y el doble de canicas azules que verdes. ¿Cuál de los siguientes podría ser el número total de canicas en la colección de Maria?

All of the marbles in Maria’s collection are red, green, or blue. Maria has half as many red marbles as green marbles and twice as many blue marbles as green marbles. Which of the following could be the total number of marbles in Maria’s collection?

$24$

$25$

$26$

$27$

$28$

Conceptos:razón y proporción divisibilidad

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Si las rojas son $r$ , entonces las verdes son $2r$

If red is $r$ , then green is $2r$

Pista grande:

Las azules son el doble de las verdes, así que el total es un múltiplo de $7$

Blue is twice green, so the total is a multiple of $7$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $r$ el número de canicas rojas que tiene Maria. Como Maria tiene la mitad de canicas rojas que verdes, sabemos que tiene $2r$ canicas verdes. Además, como tiene el doble de canicas azules que verdes, tendrá $2(2r) = 4r$ canicas azules. Al sumarlas obtenemos $r + 2r + 4r = 7r,$ así que la respuesta debe ser un múltiplo de $7.$ Entre las opciones, solo $28$ es un múltiplo de $7.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can let $r$ be the number of red marbles that Maria has. Since Maria has half as many red marbles as green, then we know that she has $2r$ green marbles. Moreover, since she has twice as many blue marbles as green, then she will have $2(2r) = 4r$ blue marbles. Adding these together gives us $r + 2r + 4r = 7r,$ and so the answer must be a multiple of $7.$ Among the answer choices, only $28$ is a multiple of $7.$

Thus, E is the correct answer.

10.

En enero de $1980$ el Observatorio de Mauna Loa registró una concentración de dióxido de carbono CO_$2$ de $338$ ppm (partes por millón). Desde entonces, la lectura media de CO_$2$ ha aumentado aproximadamente $1.515$ ppm cada año. ¿Cuál es el nivel esperado de CO_$2$ en ppm en enero de $2030$ ? Redondea tu respuesta al entero más cercano.

In January $1980$ the Mauna Loa Observatory recorded carbon dioxide CO_$2$ levels of $338$ ppm (parts per million). Over the years the average CO_$2$ reading has increased by about $1.515$ ppm each year. What is the expected CO_$2$ level in ppm in January $2030?$ Round your answer to the nearest integer.

$399$

$414$

$420$

$444$

$459$

Conceptos:sucesión aritmética decimal estimación

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Hay $50$ años desde enero de $1980$ hasta enero de $2030$

There are $50$ years from January $1980$ to January $2030$

Pista grande:

Estima $50\cdot1.515$ , luego suma el nivel de $1980$

Estimate $50\cdot1.515$ , then add the $1980$ level

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $50$ años entre $1980$ y $2030$ , así que esperamos que la lectura de CO_$2$ aumente en $50 \times 1.515 = 75.75 \approx 76$ ppm para $2030$ . Como la lectura de CO_$2$ en $1980$ fue de $338$ ppm, la lectura esperada para $2030$ es $338 + 76 = 414$ ppm.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

There are $50$ years between $1980$ and $2030$ , so we can expect the CO_$2$ reading to increase by $50 \times 1.515 = 75.75 \approx 76$ ppm by $2030$ . Since the CO_$2$ reading in $1980$ was $338$ ppm, then we will have $338 + 76 = 414$ ppm by $2030$ .

Thus, B is the correct answer.

11.

Las coordenadas de $\bigtriangleup ABC$ son $A(5, 7),$ $B(11, 7),$ y $C(3, y),$ con $y > 7.$ El área de $\bigtriangleup ABC$ es $12.$ ¿Cuál es el valor de $y$ ?

The coordinates of $\bigtriangleup ABC$ are $A(5, 7),$ $B(11, 7),$ and $C(3, y),$ with $y > 7.$ The area of $\bigtriangleup ABC$ is $12.$ What is the value of $y?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Usa $AB$ como la base del triángulo

Use $AB$ as the base of the triangle

Pista grande:

La altura desde $C$ hasta $AB$ es $y-7$

The height from $C$ to $AB$ is $y-7$

Solución en video:

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Solución escrita:

Consideremos como base del triángulo a $\overline{\rm AB}$ , que tiene longitud $11-5=6$ . Dado que el área del triángulo es $12$ , su altura debe tener longitud $\dfrac{2(12)}{6}=4$ . Como $y>7$ , entonces $y$ debe ser $7+4=11$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Consider the base of the triangle to be $\overline{\rm AB}$ which has length $11-5=6$ . Given that the area of the triangle is $12$ , its height must be of length $\dfrac{2(12)}{6}=4$ . Since $y>7$ , then $y$ must be $7+4=11$ .

Thus, D is the correct answer.

12.

Rohan mantiene un total de $90$ guppys en $4$ peceras.

• Hay $1$ guppy más en la $2$ .ª pecera que en la $1$ .ª pecera.

• Hay $2$ guppys más en la $3$ .ª pecera que en la $2$ .ª pecera.

• Hay $3$ guppys más en la $4$ .ª pecera que en la $3$ .ª pecera.

¿Cuántos guppys hay en la $4$ .ª pecera?

Rohan keeps a total of $90$ guppies in $4$ fish tanks.

• There is $1$ more guppy in the $2$ nd tank than in the $1$ st tank.

• There are $2$ more guppies in the $3$ rd tank than in the $2$ nd tank.

• There are $3$ more guppies in the $4$ th tank than in the $3$ rd tank.

How many guppies are in the $4$ th tank?

$20$

$21$

$23$

$24$

$26$

Conceptos:ecuación lineal

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Escribe la cantidad de cada pecera en términos de la primera pecera

Write each tank amount in terms of the first tank

Pista grande:

La cuarta pecera tiene $6$ guppys más que la primera

The fourth tank has $6$ more guppies than the first

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $x$ el número de guppys en la $1$ .ª pecera. Entonces hay $x+1$ guppys en la $2$ .ª pecera, $x+3$ guppys en la $3$ .ª pecera, y $x+6$ guppys en la $4$ .ª pecera. Usamos el hecho de que hay un total de $90$ guppys en las $4$ peceras para hallar $x$ : $x + x + 1 + x + 3 + x + 6 = 90$ $4x+10=90$ $x=20.$

Nota que aún no hemos terminado, porque se pide el número de guppys en la $4$ .ª pecera y no en la $1$ .ª. Hay $x+6=20+6=26$ guppys en la $4$ .ª pecera.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of guppies in the $1$ st tank. Hence, there are $x+1$ guppies in the $2$ nd tank, $x+3$ guppies in the $3$ rd tank, and $x+6$ guppies in the $4$ th tank. We then use the fact that there are a total of $90$ guppies in the $4$ tanks to find $x$ : $x + x + 1 + x + 3 + x + 6 = 90$ $4x+10=90$ $x=20.$

Note that we are not yet done since we are asked for the number of guppies in the $4$ th tank and not the $1$ st. There are $x+6=20+6=26$ guppies in the $4$ th tank.

Thus, E is the correct answer.

13.

Buzz Bunny sube y baja saltando por una escalera, un escalón a la vez. ¿De cuántas maneras puede Buzz empezar en el suelo, hacer una secuencia de $6$ saltos y terminar de nuevo en el suelo? (Por ejemplo, una secuencia es arriba, arriba, abajo, abajo, arriba, abajo.)

Buzz Bunny is hopping up and down a set of stairs, one step at a time. In how many ways can Buzz start on the ground, make a sequence of $6$ hops, and end up back on the ground? (For example, one sequence of hops is up-up-down-down-up-down.)

$4$

$5$

$6$

$8$

$12$

Conceptos:Número de Catalan enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

La secuencia debe tener tres saltos hacia arriba y tres saltos hacia abajo

The sequence must have three up hops and three down hops

Pista grande:

En ningún momento Buzz puede tener más saltos hacia abajo que hacia arriba

Buzz can never have more down hops than up hops at any point

Solución en video:

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Solución escrita:

Toda secuencia debe empezar con un salto hacia arriba $(U)$ , terminar con un salto hacia abajo $(D)$ y, en ningún momento, tener más saltos hacia abajo que hacia arriba. Con esto obtenemos los siguientes casos: $UUUDDD$ $UUDUDD$ $UUDDUD$ $UDUDUD$ $UDUUDD$ En total hay cinco secuencias posibles.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can deduce from the choices that it is possible to exhaust all possible cases for this problem. Note that all sequences must start with up $(U)$ and end with down $(D)$ , and that it should not be possible to go down more times than Buzz has gone up so far. Keeping this in mind, we can arrive at the following possible cases: $UUUDDD$ $UUDUDD$ $UUDDUD$ $UDUDUD$ $UDUUDD$ which is a total of five possible sequences.

Thus, B is the correct answer.

14.

Las rutas de un solo sentido que conectan los pueblos $A,$ $M,$ $C,$ $X,$ $Y,$ y $Z$ se muestran en la figura de abajo (no está a escala). Las distancias en kilómetros a lo largo de cada ruta están marcadas. Viajando por estas rutas, ¿cuál es la distancia más corta de $A$ a $Z$ en kilómetros?

The one-way routes connecting towns $A,$ $M,$ $C,$ $X,$ $Y,$ and $Z$ are shown in the figure below (not drawn to scale). The distances in kilometers along each route are marked. Traveling along these routes, what is the shortest distance from $A$ to $Z$ in kilometers?

$28$

$29$

$30$

$31$

$32$

Conceptos:teoría de grafos

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Registra la distancia más corta de $A$ a cada pueblo

Track the shortest distance from $A$ to each town

Pista grande:

Una vez conocida la distancia más corta a un pueblo, úsala para actualizar las rutas que salen de él

Once a shortest distance to a town is known, use it to update outgoing routes

Solución en video:

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Solución escrita:

Una forma sistemática de rastrear la distancia total más corta hasta $Z$ es considerar la distancia más corta para llegar a cada pueblo desde $A$ . Por ejemplo, la distancia más corta para llegar al pueblo $X$ desde $A$ es $5$ km, trivialmente.

Luego, para el pueblo $M$ , ir primero al pueblo $X$ es más corto que ir directamente desde $A$ , así que el camino más corto al pueblo $M$ tiene longitud $7$ km.

Para el pueblo $Y$ , nos toma $15$ km si venimos del pueblo $X$ y solo $13$ km viniendo de $M,$ así que $13$ km es la longitud del camino más corto a $Y$ desde $A$ .

Haciendo lo mismo para el pueblo $C$ obtenemos $18$ km como la distancia más corta, viniendo del pueblo $Y$ .

Finalmente, para el pueblo $Z$ , podemos venir del pueblo $Y,$ $C,$ o $M$ . La distancia total si venimos de cada uno de los tres pueblos respectivamente sería $30,$ $28,$ y $32$ . Por lo tanto, $28$ km es la distancia más corta de $A$ a $Z$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

A systematic way of tracking the shortest overall distance to $Z$ is to consider the shortest distance to get to each town from $A$ . For instance, the shortest distance to get to town $X$ from $A$ is $5$ km, trivially.

Then, for town $M$ , going to town $X$ first will be shorter compared to going directly from $A$ , so the shortest path to town $M$ has a length of $7$ km.

For town $Y$ , it will take us $15$ km if we come from town $X$ and only $13$ km coming from $M,$ so $13$ km is the length of shortest path to $Y$ from $A$ .

Doing the same for town $C$ will give us $18$ km as the shortest distance by coming from town $Y$ .

Finally, for town $Z$ , we can either come from town $Y,$ $C,$ or $M$ . The total distance if we come from each three towns respectively would be $30,$ $28,$ and $32$ . Hence, $28$ km is the shortest distance from $A$ to $Z$ .

Thus, A is the correct answer.

15.

Sean $F,$ $L,$ $Y,$ $B,$ $U,$ y $G$ letras que representan dígitos distintos. Supón que $\text{FLYFLY}$ es el mayor número que satisface la ecuación $8 \cdot \text{FLYFLY} = \text{BUGBUG}.$ ¿Cuál es el valor de $\text{FLY} + \text{BUG}$ ?

Let the letters $F,$ $L,$ $Y,$ $B,$ $U,$ $G$ represent distinct digits. Suppose $\text{FLYFLY}$ is the greatest number that satisfies the equation $8 \cdot \text{FLYFLY} = \text{BUGBUG}.$ What is the value of $\text{FLY} + \text{BUG}?$

$1089$

$1098$

$1107$

$1116$

$1125$

Conceptos:criptoaritmética valor posicional optimización

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

$\text{FLYFLY}=1001\cdot\text{FLY}$

Pista grande:

La ecuación se reduce a $8\cdot\text{FLY}=\text{BUG}$

The equation reduces to $8\cdot\text{FLY}=\text{BUG}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, observemos que $\text{FLYFLY} = 1001(\text{FLY})$ y, de manera análoga, $\text{BUGBUG}=1001(\text{BUG})$ por lo que la ecuación se reduce a $8 \cdot \text{FLY} = \text{BUG}.$

Como $\text{BUG}$ tiene tres cifras, $\text{FLY}\le124.$ El mayor número de tres cifras no mayor que $124$ y con cifras distintas es $124,$ pero $8\cdot124=992$ repite una cifra y además vuelve a usar la cifra $2.$

El siguiente candidato es $123,$ y $8\cdot123=984.$ Las seis cifras $1,$ $2,$ $3,$ $9,$ $8,$ y $4$ son todas distintas, de modo que $123$ es el mayor valor posible de $\text{FLY}.$

Por consiguiente, $\begin{gathered} \text{FLY} + \text{BUG} = 123 + 984 \\ = 1107. \end{gathered}$

Así, C es la respuesta correcta.

Firstly, note that $\text{FLYFLY} = 1001(\text{FLY})$ and, similarly, $\text{BUGBUG}=1001(\text{BUG})$ so the equation can be simplified to $8 \cdot \text{FLY} = \text{BUG}.$

Because $\text{BUG}$ has three digits, $\text{FLY}\le124.$ The largest possible three-digit number at most $124$ with distinct digits is $124,$ but $8\cdot124=992$ repeats a digit and also reuses the digit $2.$

The next candidate is $123,$ and $8\cdot123=984.$ The six digits $1,$ $2,$ $3,$ $9,$ $8,$ and $4$ are all distinct, so $123$ is the greatest possible value of $\text{FLY}.$

Hence, $\begin{gathered} \text{FLY} + \text{BUG} = 123 + 984 \\ = 1107. \end{gathered}$

Thus, C is the correct answer.

16.

Minh escribe los números del $1$ al $81$ en las celdas de una cuadrícula $9 \times 9$ en algún orden. Calcula el producto de los números de cada fila y de cada columna. ¿Cuál es el menor número de filas y columnas que podrían tener un producto divisible por $3$ ?

Minh enters the numbers $1$ through $81$ into the cells of a $9 \times 9$ grid in some order. She calculates the product of the numbers in each row and column. What is the least number of rows and columns that could have a product divisible by $3?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Conceptos:divisibilidad optimización argumento extremal

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Solo los múltiplos de $3$ hacen que el producto de una fila o columna sea divisible por $3$

Only multiples of $3$ make a row or column product divisible by $3$

Pista grande:

Cubre los $27$ múltiplos de $3$ usando la menor cantidad posible de filas y columnas

Cover the $27$ multiples of $3$ using as few rows and columns as possible

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $27$ múltiplos de $3$ del $1$ al $81$ . Una fila o columna tiene producto divisible por $3$ exactamente cuando contiene al menos uno de estos múltiplos.

Supón que $r$ filas y $c$ columnas tienen productos divisibles por $3$ . Cada múltiplo de $3$ debe estar en una de esas $r$ filas y también en una de esas $c$ columnas, pues de lo contrario crearía otra fila o columna marcada. Así, los $27$ múltiplos deben caber en las $rc$ celdas de intersección. Si $r+c\le10$ , entonces $rc\le25$ , que es demasiado pequeño. Por lo tanto, se necesitan al menos $11$ filas y columnas.

Esto se puede lograr colocando $25$ múltiplos de $3$ en un bloque de $5\times5$ , y luego colocando los $2$ múltiplos restantes en una sexta columna dentro de dos de esas mismas filas. Entonces quedan marcadas exactamente $5$ filas y $6$ columnas, para un total de $11$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

There are $27$ multiples of $3$ from $1$ through $81$ . A row or column has product divisible by $3$ exactly when it contains at least one of these multiples.

Suppose $r$ rows and $c$ columns have products divisible by $3$ . Every multiple of $3$ must lie in one of those $r$ rows and also in one of those $c$ columns, or else it would create another marked row or column. Thus the $27$ multiples must fit in the $rc$ intersection cells. If $r+c\le10$ , then $rc\le25$ , which is too small. So at least $11$ rows and columns are needed.

This can be done by placing $25$ multiples of $3$ in a $5\times5$ block, then placing the remaining $2$ multiples in a sixth column within two of those same rows. Then exactly $5$ rows and $6$ columns are marked, for a total of $11$ .

Thus, D is the correct answer.

17.

Se dice que un rey de ajedrez ataca todas las casillas que están a un paso de él, horizontal, vertical o diagonalmente. Por ejemplo, un rey en la casilla central de una cuadrícula $3 \times 3$ ataca las otras $8$ casillas, como se muestra abajo. Supón que un rey blanco y un rey negro se colocan en casillas distintas de una cuadrícula $3 \times 3$ de modo que no se ataquen entre sí. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

A chess king is said to attack all the squares one step away from it, horizontally, vertically, or diagonally. For instance, a king on the center square of a $3 \times 3$ grid attacks all $8$ other squares, as shown below. Suppose a white king and a black king are placed on different squares of a $3 \times 3$ grid so that they do not attack each other. In how many ways can this be done?

$20$

$24$

$27$

$28$

$32$

Conceptos:análisis por casos conteo básico

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Cuenta primero las colocaciones ordenadas para el rey blanco

Count ordered placements for the white king first

Pista grande:

Una esquina permite $5$ casillas seguras para el rey negro; el centro de un borde permite $3$

A corner allows $5$ safe black-king squares; an edge-center allows $3$

Solución:

Cuenta las colocaciones ordenadas eligiendo primero la casilla del rey blanco. Si el rey blanco está en el centro, ataca todas las demás casillas, así que hay $0$ opciones para el rey negro.

Si el rey blanco está en una esquina, ataca $3$ casillas, así que el rey negro tiene $9-1-3=5$ casillas seguras. Hay $4$ esquinas posibles, lo que da $4\cdot5=20$ colocaciones.

Si el rey blanco está en un borde pero no en una esquina, ataca $5$ casillas, así que el rey negro tiene $9-1-5=3$ casillas seguras. Hay $4$ de esas casillas de borde, lo que da $4\cdot3=12$ colocaciones.

El número total de colocaciones es $20+12=32$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Count ordered placements by first choosing the square for the white king. If the white king is in the center, it attacks every other square, so there are $0$ choices for the black king.

If the white king is in a corner, it attacks $3$ squares, so the black king has $9-1-3=5$ safe squares. There are $4$ corner choices, giving $4\cdot5=20$ placements.

If the white king is on an edge but not a corner, it attacks $5$ squares, so the black king has $9-1-5=3$ safe squares. There are $4$ such edge choices, giving $4\cdot3=12$ placements.

The total number of placements is $20+12=32$ .

Thus, E is the correct answer.

18.

Tres círculos concéntricos con centro en $O$ tienen radios $1,$ $2,$ y $3.$ Los puntos $B$ y $C$ están en el círculo más grande. La región entre los dos círculos más pequeños está sombreada, así como la parte de la región entre los dos círculos más grandes limitada por el ángulo central $BOC,$ como se muestra en la figura de abajo. Supón que las regiones sombreada y sin sombrear tienen igual área. ¿Cuál es la medida de $\angle BOC$ en grados?

Three concentric circles centered at $O$ have radii of $1,$ $2,$ and $3.$ Points $B$ and $C$ lie on the largest circle. The region between the two smaller circles is shaded, as is the portion of the region between the two larger circles bounded by central angle $BOC,$ as shown in the figure below. Suppose the shaded and unshaded regions are equal in area. What is the measure of $\angle BOC$ in degrees?

$108$

$120$

$135$

$144$

$150$

Conceptos:corona circular sector circular ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Calcula el área del anillo sombreado entre los radios $1$ y $2$

Compute the area of the shaded annulus between radii $1$ and $2$

Pista grande:

Iguala el área sombreada al área sin sombrear y despeja el ángulo del sector

Set shaded area equal to unshaded area and solve for the sector angle

Solución:

Sea $\theta$ la medida de $\angle BOC.$

Un componente de la región sombreada es el área del círculo de radio $2$ menos el área del círculo de radio $1.$ Esta parte tiene área $4\pi-\pi=3\pi.$ El área restante es un sector del círculo más grande menos el área del círculo de radio $2$ . Esta tiene área $\dfrac{\theta}{360}(9\pi-4\pi) = \dfrac{\theta}{360}(5\pi).$ Por lo tanto, el área total de la región sombreada es $3\pi + \dfrac{\theta}{360}(5\pi).$

A continuación, notamos que la región sin sombrear está compuesta por el círculo más pequeño y la parte sin sombrear del anillo exterior. Su área total es $\pi + \dfrac{360-\theta}{360}(5\pi).$

Por último, igualamos las áreas de ambas regiones y despejamos $\theta:$ $\begin{gathered} 3\pi + \dfrac{\theta}{360}(5\pi) \\ = \pi + \dfrac{360-\theta}{360}(5\pi) \end{gathered}$ $2\pi = \dfrac{360-\theta-\theta}{360}(5\pi)$ $\dfrac{2}{5} = 1 - \dfrac{2\theta}{360}$ $2\theta = \dfrac{3}{5}(360)$ $\theta = 108.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $\theta$ be the measure of $\angle BOC.$

One component of the shaded region is the area of the circle with radius $2$ minus the area of the circle with radius $1.$ This part has area $4\pi-\pi=3\pi.$ The remaining area is a sector of the biggest circle minus the area of the circle with radius $2$ . This has area $\dfrac{\theta}{360}(9\pi-4\pi) = \dfrac{\theta}{360}(5\pi).$ Hence, the total area of the shaded region is $3\pi + \dfrac{\theta}{360}(5\pi).$

Next, we note that the unshaded region is composed of the smallest circle and the unshaded portion of the outer ring. This will have a total area of $\pi + \dfrac{360-\theta}{360}(5\pi).$

Lastly, we equate the area of both regions and solve for $\theta:$ $\begin{gathered} 3\pi + \dfrac{\theta}{360}(5\pi) \\ = \pi + \dfrac{360-\theta}{360}(5\pi) \end{gathered}$ $2\pi = \dfrac{360-\theta-\theta}{360}(5\pi)$ $\dfrac{2}{5} = 1 - \dfrac{2\theta}{360}$ $2\theta = \dfrac{3}{5}(360)$ $\theta = 108.$

Thus, A is the correct answer.

19.

Jordan tiene $15$ pares de zapatillas. Tres quintos de los pares son rojos y el resto son blancos. Dos tercios de los pares son de caña alta y el resto son de caña baja. ¿Cuál es la menor fracción de la colección que podrían representar las zapatillas rojas de caña alta?

Jordan owns $15$ pairs of sneakers. Three fifths of the pairs are red and the rest are white. Two thirds of the pairs are high-top and the rest are low-top. The red high-top sneakers make up a fraction of the collection. What is the least possible value of this fraction?

$0$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{4}{15}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{2}{5}$

Conceptos:inclusión-exclusión optimización fracción

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Hay $9$ pares rojos y $10$ pares de caña alta

There are $9$ red pairs and $10$ high-top pairs

Pista grande:

Para minimizar las de caña alta rojas, haz que la mayor cantidad posible de pares blancos sean de caña alta

To minimize red high-tops, make as many white pairs high-top as possible

Solución:

Jordan tiene $\dfrac{3}{5} \times 15 = 9$ pares de zapatillas rojas y $6$ pares de zapatillas blancas. Además, $\dfrac{2}{3} \times 15 = 10$ son de caña alta y $5$ son de caña baja. Si queremos minimizar el número de zapatillas rojas de caña alta, hacemos que los $6$ pares blancos sean de caña alta, dejando $10-6=4$ pares rojos como de caña alta. Por lo tanto, la fracción de zapatillas rojas de caña alta sería $\dfrac{4}{15}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Jordan has $\dfrac{3}{5} \times 15 = 9$ pairs of red sneakers and $6$ pairs of white sneakers. Moreover, $\dfrac{2}{3} \times 15 = 10$ are high-top and $5$ are low-top. If we want to minimize the number of red high-top sneakers, then we can set all $6$ white sneakers to be high-top, leaving $10-6=4$ red sneakers as high-top. Hence, the fraction of red high-top sneakers would be $\dfrac{4}{15}$ .

Thus, C is the correct answer.

20.

Cualesquiera tres vértices del cubo $PQRSTUVW,$ mostrado en la figura de abajo, se pueden conectar para formar un triángulo. (Por ejemplo, los vértices $P,$ $Q,$ y $R$ se pueden conectar para formar el triángulo isósceles $\bigtriangleup PQR.$ ) ¿Cuántos de estos triángulos son equiláteros y contienen a $P$ como vértice?

Any three vertices of the cube $PQRSTUVW,$ shown in the figure below, can be connected to form a triangle. (For example, vertices $P,$ $Q,$ and $R$ can be connected to form isosceles $\bigtriangleup PQR.$ ) How many of these triangles are equilateral and contain $P$ as a vertex?

$0$

$1$

$2$

$3$

$6$

Conceptos:geometría del cubo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Un triángulo equilátero que pase por $P$ debe usar diagonales de cara que salgan de $P$

An equilateral triangle through $P$ must use face diagonals from $P$

Pista grande:

Observa los tres vértices que están a una diagonal de cara de $P$

Look at the three vertices a face diagonal away from $P$

Solución:

Primero notamos que solo podemos formar triángulos equiláteros si pasamos por las diagonales de las caras cuadradas; de lo contrario, al menos un ángulo del triángulo será diferente. Después, es fácil agotar todos los triángulos equiláteros posibles que se pueden formar: $\triangle PVT,$ $\triangle PRT,$ y $\triangle PRV.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We first note that we can only form equilateral triangles if we go through the diagonals of the square faces, otherwise at least one angle of the triangle will be different. Afterwards, it is easy to exhaust all possible equilateral triangles that can be formed: $\triangle PVT,$ $\triangle PRT,$ and $\triangle PRV.$

Thus, D is the correct answer.

21.

Un grupo de ranas (llamado un ejército) vive en un árbol. Una rana se vuelve verde cuando está a la sombra y amarilla cuando está al sol. Inicialmente, la razón de ranas verdes a amarillas era $3 : 1.$ Luego $3$ ranas verdes se movieron al lado soleado y $5$ ranas amarillas se movieron al lado sombreado. Ahora la razón es $4 : 1.$ ¿Cuál es la diferencia entre el número de ranas verdes y ranas amarillas ahora?

A group of frogs (called an army) is living in a tree. A frog turns green when in the shade and turns yellow when in the sun. Initially, the ratio of green to yellow frogs was $3 : 1.$ Then $3$ green frogs moved to the sunny side and $5$ yellow frogs moved to the shady side. Now the ratio is $4 : 1.$ What is the difference between the number of green frogs and yellow frogs now?

$10$

$12$

$16$

$20$

$24$

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal sustitución

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Sea $y$ el número inicial de ranas amarillas

Let the initial yellow count be $y$

Pista grande:

Después de los movimientos, las verdes cambian en $+2$ y las amarillas en $-2$

After the moves, green changes by $+2$ and yellow changes by $-2$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $g$ el número de ranas verdes y $y$ el número de ranas amarillas. Inicialmente, tenemos $g=3y$ . Luego, después de que algunas ranas se movieron, tenemos la siguiente proporción: $\dfrac{g+5-3}{y+3-5} = \dfrac{4}{1}.$

Sustituir $3y$ por $g$ nos permite determinar el número original de ranas amarillas ( $y$ ): $\dfrac{3y+2}{y-2} = 4$ $3y+2 = 4(y-2) = 4y-8$ $y = 10$

Por lo tanto, inicialmente había $10$ ranas amarillas y $3 \times 10 = 30$ ranas verdes. Después de que algunas ranas se movieron, ahora tenemos $10+3-5 = 8$ ranas amarillas y $30+5-3=32$ ranas verdes, lo que da una diferencia de $32-8=24$ entre el número de ranas verdes y amarillas.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can let $g$ be the number of green frogs and $y$ be the number of yellow frogs. Initially, we have $g=3y$ . Then, after some frogs moved, we have the following proportion: $\dfrac{g+5-3}{y+3-5} = \dfrac{4}{1}.$

Substituting $3y$ for $g$ will allow us to determine the number of yellow frogs originally ( $y$ ): $\dfrac{3y+2}{y-2} = 4$ $3y+2 = 4(y-2) = 4y-8$ $y = 10$

Hence, there were $10$ yellow frogs and $3 \times 10 = 30$ green frogs initially. After some frogs moved, we now have $10+3-5 = 8$ yellow frogs and $30+5-3=32$ green frogs, giving us a difference of $32-8=24$ between the number of green and yellow frogs.

Thus, E is the correct answer.

22.

Un rollo de cinta tiene $4$ pulgadas de diámetro y está enrollado alrededor de un anillo de $2$ pulgadas de diámetro. En la figura de abajo se muestra una sección transversal de la cinta. La cinta tiene $0.015$ pulgadas de grosor. Si la cinta se desenrolla por completo, ¿aproximadamente qué tan larga sería? Redondea tu respuesta al múltiplo de $100$ pulgadas más cercano.

A roll of tape is $4$ inches in diameter and is wrapped around a ring that is $2$ inches in diameter. A cross section of the tape is shown in the figure below. The tape is $0.015$ inches thick. If the tape is completely unrolled, approximately how long would it be? Round your answer to the nearest $100$ inches.

$300$

$600$

$1200$

$1500$

$1800$

Conceptos:circunferencia estimación

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

La cinta ocupa un anillo con radio exterior $2$ y radio interior $1$

The tape occupies an annulus with outer radius $2$ and inner radius $1$

Pista grande:

El área de la sección transversal de la cinta es igual al grosor por la longitud total

Area of tape cross-section equals thickness times total length

Solución en video:

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Solución escrita:

La cinta ocupa un anillo de radio exterior $2$ pulgadas y radio interior $1$ pulgada, por lo que el área de su sección transversal es $\pi(2^2-1^2)=3\pi.$

Al desenrollarla, esa misma sección transversal es un rectángulo de grosor $0.015$ pulgadas y longitud $L.$ Por lo tanto, $0.015L=3\pi,$ de modo que $L=200\pi\approx628$ pulgadas. Redondeada al múltiplo de $100$ pulgadas más cercano, la longitud es $600$ pulgadas.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The tape occupies an annulus with outer radius $2$ inches and inner radius $1$ inch, so its cross-sectional area is $\pi(2^2-1^2)=3\pi.$

When unrolled, this same cross section is a rectangle of thickness $0.015$ inches and length $L.$ Thus $0.015L=3\pi,$ so $L=200\pi\approx628$ inches. Rounded to the nearest $100$ inches, this is $600$ inches.

Thus, B is the correct answer.

23.

Rodrigo tiene una hoja de papel cuadriculado muy grande. Primero dibuja un segmento que conecta el punto $(0, 4)$ con el punto $(2, 0)$ y colorea las $4$ celdas cuyo interior atraviesa el segmento, como se muestra abajo. Luego, Rodrigo dibuja un segmento que conecta el punto $(2000, 3000)$ con el punto $(5000, 8000).$ De nuevo colorea las celdas cuyo interior atraviesa el segmento. ¿Cuántas celdas coloreará esta vez?

Rodrigo has a very large piece of graph paper. First he draws a line segment connecting point $(0, 4)$ to point $(2, 0)$ and colors the $4$ cells whose interiors intersect the segment, as shown below. Next, Rodrigo draws a line segment connecting point $(2000, 3000)$ to point $(5000, 8000).$ Again he colors the cells whose interiors intersect the segment. How many cells will he color this time?

$6000$

$6500$

$7000$

$7500$

$8000$

Conceptos:máximo común divisor punto reticular

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Para un segmento con diferencias enteras entre sus extremos $a$ y $b$ , cuenta las celdas que atraviesa

For a segment with integer endpoint differences $a$ and $b$ , count grid cells crossed

Pista grande:

Usa $a+b-\gcd(a,b)$ para contar las celdas cuyo interior atraviesa

Use $a+b-\gcd(a,b)$ for cells whose interiors are intersected

Solución en video:

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Solución escrita:

Para un segmento cuyas diferencias entre extremos son $a$ en dirección horizontal y $b$ en dirección vertical, el segmento cruza $a$ líneas verticales de la cuadrícula y $b$ líneas horizontales, pero los cruces en puntos de la retícula se cuentan dos veces. Por lo tanto, el número de celdas cuyo interior atraviesa es $a+b-\gcd(a,b).$

Aquí las diferencias de extremos son $3000$ y $5000$ , y $\gcd(3000,5000)=1000$ . Así, el número de celdas coloreadas es $3000+5000-1000=7000.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

For a segment whose endpoint differences are $a$ horizontally and $b$ vertically, the segment crosses $a$ vertical grid lines and $b$ horizontal grid lines, but crossings at lattice points are counted twice. Therefore the number of cells whose interiors are intersected is $a+b-\gcd(a,b).$

Here the endpoint differences are $3000$ and $5000$ , and $\gcd(3000,5000)=1000$ . Thus the number of cells colored is $3000+5000-1000=7000.$

Thus, C is the correct answer.

24.

Jean hizo una obra de arte de vidrio de colores con forma de dos montañas, como se muestra en la figura de abajo. Una cima de montaña mide $8$ pies de alto y la otra cima mide $12$ pies de alto. Cada cima forma un ángulo de $90^\circ$ , y los lados rectos de las montañas forman ángulos de $45^\circ$ con el suelo. La obra tiene un área de $183$ pies cuadrados. Los lados de las montañas se encuentran en un punto de intersección cerca del centro de la obra, a $h$ pies sobre el suelo. ¿Cuál es el valor de $h$ ?

Jean made a piece of stained glass art in the shape of two mountains, as shown in the figure below. One mountain peak is $8$ feet high and the other peak is $12$ feet high. Each peak forms a $90^\circ$ angle, and the straight sides of the mountains form $45^\circ$ angles with the ground. The artwork has an area of $183$ square feet. The sides of the mountains meet at an intersection point near the center of the artwork, $h$ feet above the ground. What is the value of $h?$

$4$

$5$

$4\sqrt{2}$

$6$

$5\sqrt{2}$

Conceptos:triángulo rectángulo especial área inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Cada montaña se construye a partir de un triángulo $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ$

Each mountain is built from a $45^\circ$ - $45^\circ$ - $90^\circ$ triangle

Pista grande:

Suma las áreas de los dos triángulos grandes y resta la superposición

Add the two large triangle areas and subtract the overlap

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada montaña es un triángulo $45^\circ\text{-}45^\circ\text{-}90^\circ$ . Un triángulo rectángulo isósceles de altura $x$ tiene área $x^2$ , ya que sus dos lados perpendiculares miden cada uno $x\sqrt2$ .

Las dos montañas grandes tienen áreas $8^2=64$ y $12^2=144$ . Su superposición también es un triángulo $45^\circ\text{-}45^\circ\text{-}90^\circ$ de altura $h$ , así que su área es $h^2$ . Por lo tanto, $64+144-h^2=183,$ de modo que $h^2=25$ y $h=5$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Each mountain is a $45^\circ\text{-}45^\circ\text{-}90^\circ$ triangle. A right isosceles triangle with height $x$ has area $x^2$ , since its two perpendicular sides each have length $x\sqrt2$ .

The two large mountains have areas $8^2=64$ and $12^2=144$ . Their overlap is also a $45^\circ\text{-}45^\circ\text{-}90^\circ$ triangle with height $h$ , so its area is $h^2$ . Thus $64+144-h^2=183,$ so $h^2=25$ , and $h=5$ .

Thus, B is the correct answer.

25.

Un avión pequeño tiene $4$ filas de asientos con $3$ asientos en cada fila. Ocho pasajeros han abordado el avión y están distribuidos al azar entre los asientos. Una pareja casada es la siguiente en abordar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya $2$ asientos adyacentes en la misma fila para la pareja?

A small airplane has $4$ rows of seats with $3$ seats in each row. Eight passengers have boarded the plane and are distributed randomly among the seats. A married couple is next to board. What is the probability there will be $2$ adjacent seats in the same row for the couple?

$\dfrac{8}{15}$

$\dfrac{32}{55}$

$\dfrac{20}{33}$

$\dfrac{34}{55}$

$\dfrac{8}{11}$

Conceptos:probabilidad básica conteo complementario funciones generatrices

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Cuenta los cuatro asientos vacíos después de que abordan los primeros ocho pasajeros

Count the four empty seats after the first eight passengers board

Pista grande:

Usa el complemento: ninguna fila tiene dos asientos vacíos adyacentes

Use the complement: no row has two adjacent empty seats

Solución en video:

Miniatura del video de la solución

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Solución escrita:

Después de que se sientan los primeros $8$ pasajeros, hay $4$ asientos vacíos entre los $12$ asientos, así que hay $\binom{12}{4}=495$ conjuntos de asientos vacíos igualmente probables.

Contamos el complemento, donde ninguna fila tiene dos asientos vacíos adyacentes. En una fila de tres asientos, los patrones de asientos vacíos sin dos adyacentes tienen tamaños $0,$ $1,$ y $2,$ con $1,$ $3,$ y $1$ opciones respectivamente. Así que necesitamos el coeficiente de $x^4$ en $(1+3x+x^2)^4.$ Este coeficiente es $\begin{gathered} 3^4+4\cdot3\cdot3^2+\binom42 \\ =81+108+6 \\ =195. \end{gathered}$

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos una fila tenga asientos vacíos adyacentes es $\frac{495-195}{495}=\frac{20}{33}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

After the first $8$ passengers sit, there are $4$ empty seats among the $12$ seats, so there are $\binom{12}{4}=495$ equally likely sets of empty seats.

Count the complement, where no row has two adjacent empty seats. In a row of three seats, the possible empty-seat patterns with no adjacent empty seats have sizes $0,$ $1,$ and $2,$ with $1,$ $3,$ and $1$ choices respectively. So we need the coefficient of $x^4$ in $(1+3x+x^2)^4.$ This coefficient is $\begin{gathered} 3^4+4\cdot3\cdot3^2+\binom42 \\ =81+108+6 \\ =195. \end{gathered}$

Therefore the probability that at least one row has adjacent empty seats is $\frac{495-195}{495}=\frac{20}{33}.$

Thus, C is the correct answer.