Question

El menor número mayor que $2$ que deja residuo $2$ al dividirse entre $3,$ $4,$ $5$ o $6,$ ¿entre qué números se encuentra?

The smallest number greater than $2$ that leaves a remainder of $2$ when divided by $3,$ $4,$ $5,$ or $6$ lies between what numbers?

$40$ y $50$

$40$ and $50$

$51$ y $55$

$51$ and $55$

$56$ y $60$

$56$ and $60$

$61$ y $65$

$61$ and $65$

$66$ y $99$

$66$ and $99$

Respuesta: D

Conceptos:mínimo común múltiplo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Resta $2$ del número desconocido.

Subtract $2$ from the unknown number.

Pista grande:

El resultado debe ser un múltiplo común de $3$ , $4$ , $5$ y $6$ .

The result must be a common multiple of $3$ , $4$ , $5$ , and $6$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea el número $x.$ Como deja residuo $2$ al dividirse entre $3$ , $4$ , $5$ y $6,$ sabemos que $x-2$ es un múltiplo de $3$ , $4$ , $5$ y $6.$ Esto significa que $x-2$ es un múltiplo de $\operatorname{lcm}(3,4,5,6)$ , que es $60.$ Por lo tanto, $x-2$ debe ser un múltiplo de $60.$ El siguiente número en el que esto ocurre es cuando $x-2 = 60 \implies x = 62 .$

Así, la respuesta es D.

Let the number be $x.$ Since it leaves a remainder of $2$ when divided by $3$ , $4$ , $5$ , and $6,$ we know $x-2$ is a multiple of $3$ , $4$ , $5$ , and $6.$ This means $x-2$ is a multiple of $\operatorname{lcm}(3,4,5,6)$ , which is $60.$ Therefore, $x-2$ must be a multiple of $60.$ The next number such that this occurs is when $x-2 = 60 \implies x = 62 .$

Thus, the answer is D .

2012 AMC 8 Problema 15