Soluciones del 2012 AMC 8 — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

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Soluciones del 2012 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

Rachelle usa $3$ libras de carne para hacer $8$ hamburguesas para su familia. ¿Cuántas libras de carne necesita para hacer $24$ hamburguesas para un picnic del vecindario?

Rachelle uses $3$ pounds of meat to make $8$ hamburgers for her family. How many pounds of meat does she need to make $24$ hamburgers for a neighborhood picnic?

$6$

$6\dfrac23$

$7\dfrac12$

$8$

$9$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Escala de $8$ hamburguesas a $24$ hamburguesas.

Scale from $8$ hamburgers to $24$ hamburgers.

Pista grande:

La cantidad de hamburguesas se triplica, por lo que la cantidad de carne también se triplica.

The hamburger count triples, so the meat amount triples.

Solución en video:

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Solución escrita:

Con $8$ hamburguesas tenemos $\dfrac{1}{3}$ de las $24$ hamburguesas. Esto significa que $\dfrac{1}{3}$ de la carne necesaria son $3$ libras. Por lo tanto, la cantidad total de carne es $\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}} \cdot 3 = 3\cdot3 = 9.$

Así, la respuesta es E.

If we have $8$ hamburgers, we have $\dfrac{1}{3}$ of the $24$ hamburgers. This means we have $\dfrac{1}{3}$ of the meat when we have $3$ pounds. The total amount of meat is therefore $\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}} \cdot 3 = 3\cdot3 = 9.$

Thus, the answer is E .

2.

En el condado de East Westmore, los estadísticos estiman que nace un bebé cada $8$ horas y ocurre una muerte cada día. Redondeando a la centena más cercana, ¿cuántas personas se añaden a la población de East Westmore cada año?

In the county of East Westmore, statisticians estimate there is a baby born every $8$ hours and a death every day. To the nearest hundred, how many people are added to the population of East Westmore each year?

$600$

$700$

$800$

$900$

$1000$

Conceptos:tasa estimación

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Encuentra el cambio neto de población en un día.

Find the net population change in one day.

Pista grande:

Un nacimiento cada $8$ horas significa $3$ nacimientos por día.

A birth every $8$ hours means $3$ births per day.

Solución en video:

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Solución escrita:

Como hay $1$ nacimiento cada $8$ horas, hay $3$ nacimientos cada $24$ horas. Por lo tanto, hay $3$ nacimientos por día y $1$ muerte por día. El cambio neto de población cada día es en promedio $2.$ Como hay $365$ días en un año y $2$ personas se añaden a la población cada día, el cambio neto de población es de alrededor de $2\cdot 365 = 730$ personas, aproximadamente $700.$

Así, la respuesta es B.

Since we have $1$ birth every $8$ hours, we have $3$ births every $24$ hours. Therefore, we have $3$ births a day and $1$ death a day. The net change in population every day should be on average $2.$ Since we have $365$ days in a year and $2$ added to the population every day, the net change in population should be around $2\cdot 365 = 730 .$ This is approximately $700.$

Thus, the answer is B .

3.

El $13$ de febrero, The Oshkosh Northwester indicó que la duración del día era de $10$ horas y $24$ minutos, el amanecer a las $6:57\text{ AM},$ y el atardecer a las $8:15\text{PM} .$ La duración del día y el amanecer eran correctos, pero el atardecer estaba mal. ¿A qué hora se puso realmente el sol?

On February $13$ The Oshkosh Northwester listed the length of daylight as $10$ hours and $24$ minutes, the sunrise as $6:57\text{ AM},$ and the sunset as $8:15\text{PM} .$ The length of daylight and sunrise were correct, but the sunset was wrong. When did the sun really set?

las $5$ : $10\text{ PM}$

$5$ : $10\text{ PM}$

las $5$ : $21\text{ PM}$

$5$ : $21\text{ PM}$

las $5$ : $41\text{ PM}$

$5$ : $41\text{ PM}$

las $5$ : $57\text{ PM}$

$5$ : $57\text{ PM}$

las $6$ : $03\text{ PM}$

$6$ : $03\text{ PM}$

Conceptos:fecha y hora

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Suma la duración correcta del día a la hora del amanecer.

Add the correct daylight length to the sunrise time.

Pista grande:

Desde las $6:57$ AM hasta el mediodía hay $5$ horas y $3$ minutos.

From $6:57$ AM to noon is $5$ hours $3$ minutes.

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $10$ horas después de las $6:57 \text{AM}$ son las $4:57 \text{PM} ,$ podemos decir que $10$ horas y $3$ minutos después del amanecer son las $5:00 \text{PM} .$ Faltan $21$ minutos más para el atardecer, así que el atardecer es a las $5:21 \text{PM} .$

Así, la respuesta es B.

Since $10$ hours after $6:57 \text{AM}$ is $4:57 \text{PM} ,$ we can then say $10$ hours and $3$ minutes after sunrise is $5:00 \text{PM} .$ We then have $21$ more minutes until sunset, so sunset is $5:21 \text{PM} .$

Thus, the answer is B .

4.

La familia de Peter pidió una pizza de $12$ porciones para la cena. Peter comió una porción y compartió otra porción por igual con su hermano Paul. ¿Qué fracción de la pizza comió Peter?

Peter’s family ordered a $12$ -slice pizza for dinner. Peter ate one slice and shared another slice equally with his brother Paul. What fraction of the pizza did Peter eat?

$\dfrac{1}{24}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Peter comió una porción entera más la mitad de otra porción.

Peter ate one whole slice plus half of another slice.

Pista grande:

Convierte $1+\frac{1}{2}$ porciones en una fracción de las $12$ porciones.

Convert $1+\frac{1}{2}$ slices into a fraction of $12$ slices.

Solución en video:

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Solución escrita:

Peter comió $1$ porción entera, y comió $\dfrac 12$ de la porción que dividió.

Por lo tanto, comió $\dfrac{\frac{3}{2}}{12}$ de la pizza, que es equivalente a $\dfrac 18.$

Así, la respuesta es C.

Peter ate $1$ full slice, and he ate $\dfrac 12$ of the slice that he split.

Therefore, he ate $\dfrac{\frac{3}{2}}{12}$ of the pizza, which is equivalent to $\dfrac 18.$

Thus, the answer is C .

5.

En el diagrama, todos los ángulos son rectos y las longitudes de los lados se dan en centímetros. Observa que el diagrama no está dibujado a escala. ¿Cuánto vale $X$ , en centímetros?

In the diagram, all angles are right angles and the lengths of the sides are given in centimeters. Note the diagram is not drawn to scale. What is $X$ , in centimeters?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:ecuación lineal

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Suma las longitudes verticales en cada lado de la figura.

Add the vertical lengths on each side of the shape.

Pista grande:

Las alturas totales de la izquierda y la derecha deben ser iguales.

The left and right total heights must be equal.

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, podemos hallar la altura del objeto sumando las alturas del lado derecho. Por lo tanto, la altura es $1+2+1+6 = 10.$

Después, podemos hallar la altura sumando las alturas del lado izquierdo. Por lo tanto, la altura es $1+1+1+2+X = 5+X.$

Como las alturas son iguales, sabemos que $10=5+X ,$ así que $X = 5.$

Así, la respuesta es E.

First, we can find the height of the object by getting the sum of the heights on the right. Therefore, the height is $1+2+1+6 = 10.$

Next, we can find the height of the object by getting the sum of the heights on the left. Therefore, the height is $1+1+1+2+X = 5+X.$

Since the heights are the same, we know $10=5+X ,$ so $X = 5.$

Thus, the answer is E .

6.

Una fotografía rectangular se coloca en un marco que forma un borde de dos pulgadas de ancho en todos los lados de la fotografía. La fotografía mide $8$ pulgadas de alto y $10$ pulgadas de ancho. ¿Cuál es el área del borde, en pulgadas cuadradas?

A rectangular photograph is placed in a frame that forms a border two inches wide on all sides of the photograph. The photograph measures $8$ inches high and $10$ inches wide. What is the area of the border, in square inches?

$36$

$40$

$64$

$72$

$88$

Conceptos:área rectángulo

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Encuentra las dimensiones exteriores de la fotografía enmarcada.

Find the outside dimensions of the framed photograph.

Pista grande:

Resta el área de la fotografía del área del rectángulo exterior.

Subtract the photograph area from the outside rectangle area.

Solución en video:

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Solución escrita:

Si añadimos $2$ pulgadas a cada lado, añadimos $4$ pulgadas en total en ambos lados. Esto significa que las dimensiones de la parte exterior del marco son $12 \times 14.$ El área de esto es $12\cdot 14 = 168.$

Sin embargo, debemos quitar el área de la parte interior del marco, que tiene área $8 \cdot 10 =80.$

Por lo tanto, el área total es $168-80=88.$

Así, la respuesta es E.

If we add $2$ inches on each side, we add $4$ inches total on both sides. This means that the dimensions of the outer part of the frame are $12 \times 14.$ The area of this is $12\cdot 14 = 168.$

However, we must take out the area of the inner part of the frame which has area $8 \cdot 10 =80.$

Therefore, the total area is $168-80=88.$

Thus, the answer is E .

7.

Isabella debe tomar cuatro exámenes de $100$ puntos en su clase de matemáticas. Su objetivo es lograr una calificación promedio de al menos $95$ en los exámenes. Sus dos primeras calificaciones fueron $97$ y $91.$ Después de ver su calificación en el tercer examen, se dio cuenta de que todavía podía alcanzar su objetivo. ¿Cuál es la menor calificación posible que pudo haber obtenido en el tercer examen?

Isabella must take four $100$ -point tests in her math class. Her goal is to achieve an average grade of at least $95$ on the tests. Her first two test scores were $97$ and $91.$ After seeing her score on the third test, she realized that she could still reach her goal. What is the lowest possible score she could have made on the third test?

$90$

$92$

$95$

$96$

$97$

Conceptos:media optimización

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Un promedio de al menos $95$ en cuatro exámenes requiere un total de al menos $4\cdot95$ .

A $95$ average on four tests requires a total of $4\cdot95$ .

Pista grande:

Haz que el cuarto examen sea lo más grande posible para minimizar la calificación del tercero.

Make the fourth test as large as possible to minimize the third score.

Solución en video:

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Solución escrita:

Si el promedio es $95,$ entonces la suma de los exámenes es $95\cdot 4 = 380 .$ Como conocemos los dos primeros exámenes, la suma de los dos últimos es $380$ menos las dos primeras calificaciones.

Esto hace que la suma de las dos últimas calificaciones sea $380-91-97 = 192.$ Por lo tanto, sus dos últimas calificaciones suman $192.$

Dada la suma, si queremos minimizar una calificación, debemos maximizar la otra. Por lo tanto, maximizamos el cuarto examen haciéndolo $100.$ Esto haría que el tercer examen fuera igual a $192 -100 = 92.$

Así, la respuesta es B.

If the average is $95,$ then the sum of the tests is $95\cdot 4 = 380 .$ Since we have the first two tests, the sum of the last two tests is $380$ minus the first two scores.

This makes the sum of the last two scores equal to $380-91-97 = 192.$ Her last two scores therefore have a sum of $192.$

Given the sum of the tests we try to minimize one score, then we must maximize the other test. Therefore, we maximize the fourth test by making it $100.$ This would make the third test equal to $192 -100 = 92.$

Thus, the answer is B .

8.

Una tienda anuncia que todo está a “mitad de precio en la oferta de hoy”. Además, un cupón da un $20\%$ de descuento sobre los precios de oferta. Usando el cupón, ¿qué porcentaje de descuento sobre el precio original representa el precio de hoy?

A shop advertises that everything is “half price in today’s sale.” In addition, a coupon gives a $20\%$ discount on sale prices. Using the coupon, the price today represents what percentage discount off the original price?

$10$

$33$

$40$

$60$

$70$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Después de la mitad de precio, el precio de oferta es el $50\%$ del original.

After half price, the sale price is $50\%$ of the original.

Pista grande:

El cupón conserva el $80\%$ del precio de oferta.

The coupon keeps $80\%$ of the sale price.

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $p$ el precio original. Si todo está a mitad de precio, el nuevo precio es $0.5p.$

Un descuento del $20\%$ hace que conservemos el $80\%$ del precio, así que el precio es $0.5p\cdot 0.8 =0.4p.$

Esto descuenta $0.6p$ , así que obtenemos un descuento de $\dfrac{0.6p}{p} = 0.6,$ que es $60\%.$

Así, la respuesta es D.

Let $p$ be the original price. If everything is half off, we have the new price as $0.5p.$

Having a $20\%$ discount makes it such that we keep $80\%$ of the price, so the price is $0.5p\cdot 0.8 =0.4p.$

This would have $0.6p$ off, so we get a discount of $\dfrac{0.6p}{p} = 0.6,$ which is $60\%.$

Thus, the answer is D .

9.

El Zoológico Fort Worth tiene cierta cantidad de aves de dos patas y cierta cantidad de mamíferos de cuatro patas. En una visita al zoológico, Margie contó $200$ cabezas y $522$ patas. ¿Cuántos de los animales que Margie contó eran aves de dos patas?

The Fort Worth Zoo has a number of two-legged birds and a number of four-legged mammals. On one visit to the zoo, Margie counted $200$ heads and $522$ legs. How many of the animals that Margie counted were two-legged birds?

$61$

$122$

$139$

$150$

$161$

Conceptos:sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Comienza dando dos patas a cada animal.

Start by giving every animal two legs.

Pista grande:

Las patas adicionales determinan la cantidad de mamíferos de cuatro patas.

The extra legs determine the number of four-legged mammals.

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $f$ el número de animales con $4$ patas y sea $t$ el número de animales con $2$ patas.

Contar las patas da $2t+4f = 522$ y contar las cabezas da $t + f = 200.$ Esto implica que $4t+4f = 800,$ y restar la primera ecuación de la segunda da $2t = 278 \implies t = 139.$ Esto significa que hay $139$ aves de dos patas.

Así, la respuesta es C.

Let $f$ be the number of animals with $4$ legs and let $t$ be the number of animals with $2$ legs.

Counting the number of legs yields $2t+4f = 522$ and counting the number of heads yields $t + f = 200.$ This means $4t+4f = 800,$ and subtracting the first equation from the second yields $2t = 278 \implies t = 139.$ This means there are $139$ two-legged birds.

Thus, the answer is C .

10.

¿Cuántos números de $4$ cifras mayores que $1000$ se pueden formar usando las cuatro cifras de $2012$ ?

How many $4$ -digit numbers greater than $1000$ are there that use the four digits of $2012?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$12$

Conceptos:permutaciones de multiconjuntos

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

La primera cifra no puede ser $0$ .

The first digit cannot be $0$ .

Pista grande:

Cuenta los arreglos que empiezan con $1$ , luego los que empiezan con $2$ .

Count arrangements starting with $1$ , then arrangements starting with $2$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero, no podemos tener el $0$ en la posición de los miles. Por lo tanto, hay $3$ lugares donde ponerlo. Luego, hay $3$ posiciones disponibles para el $1,$ y después los dos $2$ ocupan los lugares restantes. Esto hace que tengamos $3\cdot 3 = 9$ combinaciones.

Así, la respuesta es D.

First, we can’t have the $0$ in the thousands position. Therefore, we have $3$ spots we can put it. Then, we have $3$ available positions for the $1,$ and then the two $2$ s are placed. This makes it such that we have $3\cdot 3 = 9$ combinations.

Thus, the answer is D .

11.

La media, la mediana y la moda única de los enteros positivos $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $6,$ $7,$ y $x$ son todas iguales. ¿Cuál es el valor de $x$ ?

The mean, median, and unique mode of the positive integers $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $6,$ $7,$ and $x$ are all equal. What is the value of $x?$

$5$

$6$

$7$

$11$

$12$

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

La moda única debe ser el número repetido de la lista.

The unique mode must be the repeated listed number.

Pista grande:

Si la media es ese número, la suma total queda fija.

If the mean is that number, the total sum is fixed.

Solución en video:

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Solución escrita:

Todos los valores de la lista excepto $6$ aparecen una vez, mientras que $6$ aparece dos veces. Si $x$ fuera igual a otro valor de la lista, habría dos modas y la moda no sería única. Por lo tanto, la moda única debe ser $6$ . Esto también implica que $6$ es la media. Como hay $7$ elementos, la suma es $6\cdot 7 = 42.$ La suma también es $3+4+5+6+6+7+x$ $= 31+x$ $= 42,$ así que $x = 11.$

Así, la respuesta es D.

Every listed value except $6$ appears once while $6$ appears twice. If $x$ equals any of the other listed values, then we have two modes, which means we do not have a unique mode. Otherwise, the only value that shows up more than once is $6$ making that the unique mode. This also means $6$ is the mean. Since there are $7$ elements, the sum of the elements is $6\cdot 7 = 42.$ The sum is also $3+4+5+6+6+7+x$ $= 31+x$ $= 42,$ so $x = 11.$

Thus, the answer is D .

12.

¿Cuál es la cifra de las unidades de $13^{2012}$ ?

What is the units digit of $13^{2012}?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:dígito de las unidades aritmética modular

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Solo importa la cifra de las unidades de la base.

Only the units digit of the base matters.

Pista grande:

Las potencias de $3$ tienen un ciclo de cifra de unidades de longitud $4$ .

Powers of $3$ have a units-digit cycle of length $4$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Tenemos que hallar $13^{2012} \mod 10.$ Lo siguiente es cierto:

$\begin{align*}13^{2012} &\equiv 3^{2012} \mod 10\\&\equiv 81^{503} \mod 10\\&\equiv 1^{503} \mod 10\\&\equiv 1 \mod 10\end{align*}$

Esto significa que $13^{2012}$ tiene la misma cifra de las unidades que $1,$ así que la cifra de las unidades de $13^{2012}$ es $1.$

Así, la respuesta es A.

We have to find $13^{2012} \mod 10.$ The following is true:

$\begin{align*}13^{2012} &\equiv 3^{2012} \mod 10\\&\equiv 81^{503} \mod 10\\&\equiv 1^{503} \mod 10\\&\equiv 1 \mod 10\end{align*}$

This means $13^{2012}$ has the same units digit as $1,$ so the units digit of $13^{2012}$ is $1.$

Thus, the answer is A .

13.

Jamar compró algunos lápices que costaban más de un centavo cada uno en la librería de la escuela y pagó $\$1.43.$ Sharona compró algunos de los mismos lápices y pagó $\$1.87.$ ¿Cuántos lápices más que Jamar compró Sharona?

Jamar bought some pencils costing more than a penny each at the school bookstore and paid $\$1.43.$ Sharona bought some of the same pencils and paid $\$1.87.$ How many more pencils did Sharona buy than Jamar?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:máximo común divisor divisibilidad

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

El precio del lápiz en centavos divide tanto a $143$ como a $187$ .

The pencil price in cents divides both $143$ and $187$ .

Pista grande:

Usa el máximo común divisor de $143$ y $187$ .

Use the greatest common divisor of $143$ and $187$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $c$ el precio de un lápiz en centavos. Entonces $c$ divide tanto a $143$ como a $187$ , y $c\gt1$ .

Como $143=11\cdot13$ y $187=11\cdot17$ , el máximo común divisor es $11$ . Así, cada lápiz cuesta $11$ centavos.

Sharona pagó $187-143=44$ centavos más, así que compró $\frac{44}{11}=4$ lápices más. Así, la respuesta es C.

Let $c$ be the price of one pencil in cents. Then $c$ divides both $143$ and $187$ , and $c\gt1$ .

Since $143=11\cdot13$ and $187=11\cdot17$ , the greatest common divisor is $11$ . Thus each pencil costs $11$ cents.

Sharona paid $187-143=44$ cents more, so she bought $\frac{44}{11}=4$ more pencils. Thus, the answer is C .

14.

En la BIG N, una liga de fútbol americano de secundaria, cada equipo juega contra cada uno de los demás exactamente una vez. Si en total se jugaron $21$ partidos de liga durante la temporada $2012$ , ¿cuántos equipos eran miembros de la liga BIG N?

In the BIG N, a middle school football conference, each team plays every other team exactly once. If a total of $21$ conference games were played during the $2012$ season, how many teams were members of the BIG N conference?

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:combinaciones número triangular

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Enumera cuántos partidos se añaden cuando se une cada nuevo equipo.

List how many games are added when each new team joins.

Pista grande:

Con $n$ equipos, el número de partidos es $\frac{n(n-1)}{2}$ .

With $n$ teams, the number of games is $\frac{n(n-1)}{2}$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada uno de los $N$ equipos juega $N-1$ partidos. Sin embargo, $2$ equipos juegan cada partido, así que multiplicar $N$ por $N-1$ daría el doble del número de partidos. Por lo tanto, sabemos que $N(N-1) = 42.$ Esto lleva a $N^2 -N +0.25 = 42.25$ lo que implica $(N-0.5)^2 = 6.5^2.$ A su vez, esto da $N-0.5 = 6.5$ $N = 7$

Así, la respuesta es B.

Each of the $N$ teams plays $N-1$ games. However, $2$ teams play each game, so multiplying $N$ and $N-1$ would be twice the number of games. Therefore, we know $N(N-1) = 42.$ This leads to $N^2 -N +0.25 = 42.25$ which implies $(N-0.5)^2 = 6.5^2.$ In turn, this suggests: $N-0.5 = 6.5$ $N = 7$

Thus, the answer is B .

15.

El menor número mayor que $2$ que deja residuo $2$ al dividirse entre $3,$ $4,$ $5$ o $6,$ ¿entre qué números se encuentra?

The smallest number greater than $2$ that leaves a remainder of $2$ when divided by $3,$ $4,$ $5,$ or $6$ lies between what numbers?

$40$ y $50$

$40$ and $50$

$51$ y $55$

$51$ and $55$

$56$ y $60$

$56$ and $60$

$61$ y $65$

$61$ and $65$

$66$ y $99$

$66$ and $99$

Conceptos:mínimo común múltiplo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Resta $2$ del número desconocido.

Subtract $2$ from the unknown number.

Pista grande:

El resultado debe ser un múltiplo común de $3$ , $4$ , $5$ y $6$ .

The result must be a common multiple of $3$ , $4$ , $5$ , and $6$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea el número $x.$ Como deja residuo $2$ al dividirse entre $3$ , $4$ , $5$ y $6,$ sabemos que $x-2$ es un múltiplo de $3$ , $4$ , $5$ y $6.$ Esto significa que $x-2$ es un múltiplo de $\operatorname{lcm}(3,4,5,6)$ , que es $60.$ Por lo tanto, $x-2$ debe ser un múltiplo de $60.$ El siguiente número en el que esto ocurre es cuando $x-2 = 60 \implies x = 62 .$

Así, la respuesta es D.

Let the number be $x.$ Since it leaves a remainder of $2$ when divided by $3$ , $4$ , $5$ , and $6,$ we know $x-2$ is a multiple of $3$ , $4$ , $5$ , and $6.$ This means $x-2$ is a multiple of $\operatorname{lcm}(3,4,5,6)$ , which is $60.$ Therefore, $x-2$ must be a multiple of $60.$ The next number such that this occurs is when $x-2 = 60 \implies x = 62 .$

Thus, the answer is D .

16.

Cada una de las cifras $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8$ y $9$ se usa solo una vez para formar dos números de cinco cifras de modo que tengan la mayor suma posible. ¿Cuál de los siguientes podría ser uno de los números?

Each of the digits $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ and $9$ is used only once to make two five-digit numbers so that they have the largest possible sum. Which of the following could be one of the numbers?

$76531$

$86724$

$87431$

$96240$

$97403$

Conceptos:valor posicional optimización

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Coloca las cifras más grandes en los valores posicionales más grandes.

Put the largest digits in the largest place values.

Pista grande:

Las cifras de las decenas de millar deben ser $9$ y $8$ , y luego continuar por pares.

The ten-thousands digits should be $9$ and $8$ , then continue in pairs.

Solución en video:

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Solución escrita:

Para construir dos números de cinco cifras, las primeras cifras desde la izquierda deben ser lo más grandes posible. Por lo tanto, las cifras de más a la izquierda deben ser las dos cifras mayores. Esto significa que la primera cifra debe ser $9$ u $8,$ la segunda debe ser $7$ o $6,$ la tercera debe ser $5$ o $4,$ la cuarta debe ser $3$ o $2,$ y la última debe ser $1$ o $0.$

El único de los números dados que satisface esto es $87431.$

Así, la respuesta es C.

To construct two five-digit numbers, the digits in the largest place values must be as great as possible. Therefore, the leftmost digits must be the greatest two digits. This means the first digit must be either $9$ or $8,$ the second digit must be either $7$ or $6,$ the third digit must be either $5$ or $4,$ the fourth digit must be either $3$ or $2,$ and the last digit must be either $1$ or $0.$

The only one of the given numbers that satisfy this is $87431.$

Thus, the answer is C .

17.

Un cuadrado con longitud de lado entera se corta en $10$ cuadrados, todos con longitud de lado entera y de los cuales al menos $8$ tienen área $1.$ ¿Cuál es el menor valor posible de la longitud del lado del cuadrado original?

A square with an integer side length is cut into $10$ squares, all of which have integer side length and at least $8$ of which have area $1.$ What is the smallest possible value of the length of the side of the original square?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:teselado argumento extremal

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Un lado de longitud $3$ da un área demasiado pequeña para diez cuadrados enteros.

A side length of $3$ gives area too small for ten integer squares.

Pista grande:

Un cuadrado de $4$ por $4$ se puede cortar como se muestra.

A $4$ by $4$ square can be cut as shown.

Solución en video:

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Solución escrita:

Como los $10$ cuadrados tienen lados enteros positivos, cada uno tiene área por lo menos $1$ . Por tanto, el área total es al menos $10$ . Un cuadrado de lado entero no mayor que $3$ tiene área como máximo $3^2=9$ , así que el lado del cuadrado grande no puede ser menor que $4$ .

La siguiente configuración divide un cuadrado de $4\times4$ en diez cuadrados de lados enteros, ocho de ellos unitarios. Por tanto, el lado $4$ se puede alcanzar y es el mínimo.

Así, la respuesta es B.

Since all $10$ squares have positive integer side lengths, each has area at least $1$ . Their total area is therefore at least $10$ . A square with integer side length at most $3$ has area at most $3^2=9$ , so its side length cannot be less than $4$ .

The following configuration cuts a $4\times4$ square into ten integer-sided squares, eight of which are unit squares. Therefore side length $4$ is attainable and is the minimum.

Thus, the answer is B .

18.

¿Cuál es el menor entero positivo que no es primo ni cuadrado y que no tiene ningún factor primo menor que $50$ ?

What is the smallest positive integer that is neither prime nor square and that has no prime factor less than $50?$

$3127$

$3133$

$3137$

$3139$

$3149$

Conceptos:factorización en primos primo

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

El número debe ser compuesto pero no un cuadrado.

The number must be composite but not a square.

Pista grande:

Usa los dos primos distintos más pequeños que sean al menos $50$ .

Use the smallest two distinct primes that are at least $50$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

El número es compuesto, no primo, y no tiene ningún factor primo menor que $50$ . Por lo tanto, los factores primos posibles más pequeños son $53$ , $59$ , $61$ , y así sucesivamente.

Un cuadrado como $53^2$ no está permitido, y $53^3$ es mucho mayor que $53\cdot59$ . El menor compuesto no cuadrado permitido es $53\cdot59=3127$ .

Así, la respuesta es A.

The number is composite, not prime, and has no prime factor below $50$ . The smallest possible prime factors are therefore $53$ , $59$ , $61$ , and so on.

A square such as $53^2$ is not allowed, and $53^3$ is much larger than $53\cdot59$ . The smallest allowed nonsquare composite is $53\cdot59=3127$ .

Thus, the answer is A .

19.

En un frasco de canicas rojas, verdes y azules, todas menos $6$ son rojas, todas menos $8$ son verdes, y todas menos $4$ son azules. ¿Cuántas canicas hay en el frasco?

In a jar of red, green, and blue marbles, all but $6$ are red marbles, all but $8$ are green, and all but $4$ are blue. How many marbles are in the jar?

$6$

$8$

$9$

$10$

$18$

Conceptos:sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Traduce cada afirmación de “todas menos” en una suma de dos colores.

Translate each “all but” statement into a sum of two colors.

Pista grande:

Al sumar las tres ecuaciones, cada canica se cuenta dos veces.

Adding the three equations counts every marble twice.

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean $r,g,b$ las cantidades de canicas rojas, verdes y azules, respectivamente. Por las afirmaciones dadas, sabemos que $r+g+b -r=6,$ $r+g+b-g = 8,$ $r+g+b-b = 4$ Sumar estas ecuaciones da $3(r+g+b) -(r+g+b) = 18.$ Esto significa que $2(r+g+b) = 18,$ así que $r+g+b = 9.$ Por lo tanto, la cantidad total de canicas es $9.$

Así, la respuesta es C.

Let $r,g,b$ be the number of red marbles, green marbles, and blue marbles respectively. We then know $r+g+b -r=6,$ $r+g+b-g = 8,$ $r+g+b-b = 4$ by the statements given. Adding these equations yields $3(r+g+b) -(r+g+b) = 18.$ This would mean $2(r+g+b) = 18,$ so $r+g+b = 9.$ Therefore, the sum of all of the marbles is $9.$

Thus, the answer is C .

20.

¿Cuál es el orden correcto de los tres números $\frac{5}{19} ,$ $\frac{7}{21} ,$ y $\frac{9}{23} ,$ de menor a mayor?

What is the correct ordering of the three numbers $\frac{5}{19} ,$ $\frac{7}{21} ,$ and $\frac{9}{23} ,$ in increasing order?

$\dfrac{9}{23} \lt \dfrac{7}{21} \lt \dfrac{5}{19}$

$\dfrac{5}{19} \lt \dfrac{7}{21} \lt \dfrac{9}{23}$

$\dfrac{9}{23} \lt \dfrac{5}{19} \lt \dfrac{7}{21}$

$\dfrac{5}{19} \lt \dfrac{9}{23} \lt \dfrac{7}{21}$

$\dfrac{7}{21} \lt \dfrac{5}{19} \lt \dfrac{9}{23}$

Conceptos:fracción desigualdad

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Compara las fracciones con $\frac{1}{3}$ .

Compare the fractions to $\frac{1}{3}$ .

Pista grande:

Escribe cada fracción como $\frac{1}{3}$ más o menos una pequeña cantidad.

Write each fraction as $\frac{1}{3}$ plus or minus a small amount.

Solución en video:

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Solución escrita:

La fracción del medio es $\dfrac{7}{21}=\dfrac13$ . Además, $\dfrac{5}{19}\lt\dfrac13$ porque $3\cdot5=15\lt19$ , mientras que $\dfrac{9}{23}\gt\dfrac13$ porque $3\cdot9=27\gt23$ . Por lo tanto, $\dfrac{5}{19}\lt\dfrac{7}{21}\lt\dfrac{9}{23}.$

Así, la respuesta es B.

The middle fraction is $\dfrac{7}{21}=\dfrac13$ . Also, $\dfrac{5}{19}\lt\dfrac13$ because $3\cdot5=15\lt19$ , while $\dfrac{9}{23}\gt\dfrac13$ because $3\cdot9=27\gt23$ . Therefore $\dfrac{5}{19}\lt\dfrac{7}{21}\lt\dfrac{9}{23}.$

Thus, the answer is B .

21.

Marla tiene un cubo blanco grande con una arista de $10$ pies. También tiene suficiente pintura verde para cubrir $300$ pies cuadrados. Marla usa toda la pintura para crear un cuadrado blanco centrado en cada cara, rodeado por un borde verde. ¿Cuál es el área de uno de los cuadrados blancos, en pies cuadrados?

Marla has a large white cube that has an edge of $10$ feet. She also has enough green paint to cover $300$ square feet. Marla uses all the paint to create a white square centered on each face, surrounded by a green border. What is the area of one of the white squares, in square feet?

$5\sqrt2$

$10$

$10\sqrt2$

$50$

$50\sqrt2$

Conceptos:área de superficie geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

La pintura verde cubre la mitad del área superficial del cubo.

The green paint covers half of the cube surface area.

Pista grande:

El área restante sin pintar se reparte por igual entre las seis caras.

The remaining unpainted area is split equally among the six faces.

Solución en video:

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Solución escrita:

El área superficial total es $6\cdot 10\cdot 10 = 600.$ Por lo tanto, $600-300 = 300$ pies cuadrados quedan sin cubrir. Esto es $\dfrac{300}{6} = 50$ pies cuadrados por cara.

Así, la respuesta es D.

The total surface area is $6\cdot 10\cdot 10 = 600.$ Therefore, $600-300 = 300$ square feet aren’t covered. This would be $\dfrac{300}{6} = 50$ square feet per face.

Thus, the answer is D .

22.

Sea $R$ un conjunto de nueve enteros distintos. Seis de los elementos son $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $9,$ y $14.$ ¿Cuál es el número de posibles valores de la mediana de $R$ ?

Let $R$ be a set of nine distinct integers. Six of the elements of the set are $2,$ $3,$ $4,$ $6,$ $9,$ and $14.$ What is the number of possible values of the median of $R?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:mediana (datos)análisis por casos

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

La mediana es el quinto número tras ordenar los nueve enteros.

The median is the fifth number after sorting the nine integers.

Pista grande:

Prueba qué enteros desde $3$ hasta $9$ pueden ocupar la quinta posición.

Test which integers from $3$ through $9$ can occupy the fifth position.

Solución en video:

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Solución escrita:

En un conjunto ordenado de nueve enteros distintos, la mediana es el quinto número.

La mediana no puede ser menor que $3$ , pues entonces $3$ , $4$ , $6$ , $9$ y $14$ ya darían al menos cinco elementos mayores. No puede ser mayor que $9$ , pues $2$ , $3$ , $4$ , $6$ y $9$ ya darían al menos cinco elementos menores.

Cada entero desde $3$ hasta $9$ puede convertirse en la mediana eligiendo adecuadamente los tres enteros que faltan. Por lo tanto, hay $7$ medianas posibles. Así, la respuesta es D.

In a sorted set of nine distinct integers, the median is the fifth number.

The median cannot be below $3$ , since then $3$ , $4$ , $6$ , $9$ , and $14$ would already give at least five larger elements. It cannot be above $9$ , since $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , and $9$ would already give at least five smaller elements.

Each integer from $3$ through $9$ can be made the median by choosing the three missing integers appropriately. Therefore there are $7$ possible medians. Thus, the answer is D .

23.

Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen perímetros iguales. Si el área del triángulo es $4$ , ¿cuál es el área del hexágono?

An equilateral triangle and a regular hexagon have equal perimeters. If the triangle’s area is $4$ , what is the area of the hexagon?

$4$

$5$

$6$

$4\sqrt3$

$6\sqrt3$

Conceptos:triángulo equilátero polígono regular razón de áreas

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Perímetros iguales hacen que el lado del hexágono sea la mitad del lado del triángulo.

Equal perimeters make the hexagon side half the triangle side.

Pista grande:

Un hexágono regular se forma con seis triángulos equiláteros congruentes.

A regular hexagon is made from six congruent equilateral triangles.

Solución en video:

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Solución escrita:

Denotemos la longitud del lado del triángulo por $s.$ Entonces el perímetro es $3s.$ Por lo tanto, la longitud del lado del hexágono es $\frac{3s}{6} = \frac s2.$

Como se muestra arriba, un hexágono se puede formar con $6$ triángulos equiláteros de lado $\dfrac{s}{2}$ . Cada uno se obtiene reduciendo el triángulo original por un factor de $\dfrac{1}{2},$ de modo que su área se reduce por un factor de $(\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4} .$ Por tanto, el área de cada triángulo pequeño es $4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1.$ Como hay $6$ de ellos, el área total es $6\cdot 1 = 6.$

Así, la respuesta es C.

Let the side length of the triangle be $s.$ This means the perimeter is $3s.$ Therefore, the side length for the hexagon is $\frac{3s}{6} = \frac s2.$

A hexagon can be made of $6$ equilateral triangles with side length $\dfrac{s}{2}$ as shown above. Each triangle is the original triangle scaled down by $\dfrac{1}{2},$ so the area is scaled down by $(\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4} .$ Therefore, the area of each of these triangles is $4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1.$ Since there are $6$ of them, the area is $6\cdot 1 = 6.$

Thus, the answer is C .

24.

Un círculo de radio $2$ se corta en cuatro arcos congruentes. Los cuatro arcos se unen para formar la figura de estrella que se muestra. ¿Cuál es la razón entre el área de la figura de estrella y el área del círculo original?

A circle of radius $2$ is cut into four congruent arcs. The four arcs are joined to form the star figure shown. What is the ratio of the area of the star figure to the area of the original circle?

$\dfrac{4-\pi}{\pi}$

$\dfrac{1}\pi$

$\dfrac{\sqrt2}{\pi}$

$\dfrac{\pi-1}{\pi}$

$\dfrac{3}\pi$

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Reacomoda los cuatro arcos circulares de vuelta dentro del círculo original.

Rearrange the four circular arcs back inside the original circle.

Pista grande:

Compara la estrella con el cuadrado formado al unir los cuatro puntos de corte.

Compare the star with the square formed by joining the four cut points.

Solución en video:

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Solución escrita:

El área del círculo original es $\pi\cdot2^2=4\pi$ .

Une los cuatro extremos de los arcos de cuarto de círculo para formar un cuadrado. El cuadrado tiene diagonales $4$ y $4$ , así que su área es $\frac12\cdot4\cdot4=8$ .

La parte dentro del círculo pero fuera de este cuadrado tiene área $4\pi-8$ . Esas cuatro piezas son congruentes con las piezas dentro del cuadrado pero fuera de la estrella.

Así, el área de la estrella es $8-(4\pi-8)=16-4\pi$ . La razón buscada es $\dfrac{16-4\pi}{4\pi}=\dfrac{4-\pi}{\pi}$ . Así, la respuesta es A.

The area of the original circle is $\pi\cdot2^2=4\pi$ .

Join the four quarter-circle endpoints to form a square. The square has diagonals $4$ and $4$ , so its area is $\frac12\cdot4\cdot4=8$ .

The part inside the circle but outside this square has area $4\pi-8$ . Those four pieces are congruent to the pieces inside the square but outside the star.

Thus the star area is $8-(4\pi-8)=16-4\pi$ . The desired ratio is $\dfrac{16-4\pi}{4\pi}=\dfrac{4-\pi}{\pi}$ . Thus, the answer is A .

25.

Un cuadrado de área $4$ está inscrito en un cuadrado de área $5$ , con un vértice del cuadrado menor en cada lado del cuadrado mayor. Un vértice del cuadrado menor divide un lado del cuadrado mayor en dos segmentos, uno de longitud $a$ y el otro de longitud $b$ . ¿Cuál es el valor de $ab$ ?

A square with area $4$ is inscribed in a square with area $5$ , with one vertex of the smaller square on each side of the larger square. A vertex of the smaller square divides a side of the larger square into two segments, one of length $a$ and the other of length $b$ . What is the value of $ab ?$

$\dfrac{1}5$

$\dfrac{2}5$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$4$

Conceptos:cuadrado (geometría)congruencia (geometría)descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

El área entre los cuadrados se divide en cuatro triángulos rectángulos congruentes.

The area between the squares is split into four congruent right triangles.

Pista grande:

Cada triángulo pequeño tiene área $\frac{ab}{2}$ .

Each small triangle has area $\frac{ab}{2}$ .

Solución en video:

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Solución escrita:

Como todos los triángulos se pueden obtener unos de otros rotándolos, todos son congruentes. Por lo tanto, podemos colocar la $a$ como se muestra. El área total de los triángulos es $5-4 = 1,$ así que tenemos $4$ triángulos congruentes con un área combinada de $1.$ Esto significa que el área de cada triángulo es $\dfrac{1}{4}.$ El área de cada triángulo también es $\frac {ab}2,$ así que $\frac{ab}2 = \dfrac{1}{4}.$ Esto significa que $ab = \dfrac{1}{2} .$

Así, la respuesta correcta es C.

Since all the triangles can be made from each other by rotating them around, they are all congruent. Therefore, we can place the $a$ as we have. The total area of the triangles is $5-4 = 1,$ so we have $4$ congruent triangles with a combined area of $1.$ This means the area of each triangle is $\dfrac{1}{4}.$ The area of each triangle is also $\frac {ab}2,$ so $\frac{ab}2 = \dfrac{1}{4}.$ This means $ab = \dfrac{1}{2} .$

Thus, the correct answer is C .