Question

¿Cuántos triángulos isósceles distintos tienen longitudes de lados enteras y perímetro $23$ ?

How many different isosceles triangles have integer side lengths and perimeter $23?$

$2$

$4$

$6$

$9$

$11$

Sea $a$ la longitud de los lados iguales y $b$ la base. Entonces $2a+b=23$ , así que $b$ debe ser impar.

La desigualdad triangular exige $b<2a$ . Como $b=23-2a$ , esto da $23-2a<2a$ , así que $a>23/4$ . Por lo tanto $a\ge6$ .

Además $b\ge1$ , así que $2a\le22$ y $a\le11$ . Los valores posibles $a=6,7,8,9,10,11$ todos funcionan, dando $6$ triángulos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let the equal side length be $a$ and the base be $b$ . Then $2a+b=23$ , so $b$ must be odd.

The triangle inequality requires $b<2a$ . Since $b=23-2a$ , this gives $23-2a<2a$ , so $a>23/4$ . Thus $a\ge6$ .

Also $b\ge1$ , so $2a\le22$ and $a\le11$ . The possible values $a=6,7,8,9,10,11$ all work, giving $6$ triangles.

Thus, C is the correct answer.