2005 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

Connie multiplica un número por $2$ y obtiene $60$ como respuesta. Sin embargo, debería haber dividido el número entre $2$ para obtener la respuesta correcta. ¿Cuál es la respuesta correcta?

Connie multiplies a number by $2$ and gets $60$ as her answer. However, she should have divided the number by $2$ to get the correct answer. What is the correct answer?

$7.5$

$15$

$30$

$120$

$240$

Respuesta: B

Conceptos:trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Deshaz la multiplicación equivocada de Connie para hallar el número original

Undo Connie’s mistaken multiplication to find the original number.

Pista grande:

Luego divide ese número original entre $2$

Then divide that original number by $2$ .

Solución:

Como Connie multiplicó por $2,$ su número original era $60 \div 2 = 30.$ Para obtener la respuesta correcta, debe dividir entre $2$ y así obtener $30 \div 2 = 15.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since Connie multiplied by $2,$ her original number was $60 \div 2 = 30.$ To get the correct answer, she must divide by $2$ to get $30 \div 2 = 15.$

Thus, B is the correct answer.

2.

Karl compró cinco carpetas en Pay-A-Lot a un costo de $\$2.50$ cada una. Pay-A-Lot tuvo una promoción de $20\%$ de descuento al día siguiente. ¿Cuánto podría haber ahorrado Karl en la compra si hubiera esperado un día?

Karl bought five folders from Pay-A-Lot at a cost of $\$2.50$ each. Pay-A-Lot had a $20\%$ -off sale the following day. How much could Karl have saved on the purchase by waiting a day?

$\$ 1.00$

$\$ 2.00$

$\$ 2.50$

$\$ 2.75$

$\$ 5.00$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje dinero

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Halla el precio total de las cinco carpetas

Find the total price of the five folders.

Pista grande:

El ahorro sería el $20\%$ de ese total

The savings would be $20\%$ of that total.

Solución:

Karl pagó $5\cdot\$2.50=\$12.50$ por las carpetas.

Un descuento del $20\%$ sobre $\$12.50$ ahorraría $0.20\cdot12.50=2.50$ dólares.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Karl paid $5\cdot\$2.50=\$12.50$ for the folders.

A $20\%$ discount on $\$12.50$ would save $0.20\cdot12.50=2.50$ dollars.

Thus, C is the correct answer.

3.

¿Cuál es el número mínimo de cuadraditos que deben sombrearse para que un eje de simetría quede sobre la diagonal $\overline{BD}$ del cuadrado $ABCD$ ?

What is the minimum number of small squares that must be shaded so that a line of symmetry lies on the diagonal $\overline{BD}$ of square $ABCD$ ?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:simetría transformación

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Refleja los cuadraditos sombreados a través de la diagonal $\overline{BD}$

Reflect the shaded squares across diagonal $\overline{BD}$ .

Pista grande:

Solo hay que emparejar los cuadraditos sombreados que no tienen un cuadradito reflejado correspondiente

Only shaded squares without a matching reflected square need to be paired.

Solución:

Para que la diagonal $\overline{BD}$ sea un eje de simetría, cada cuadradito sombreado fuera de la diagonal debe tener un cuadradito sombreado reflejado correspondiente al otro lado de la diagonal.

Hay $4$ cuadraditos sombreados cuyas posiciones reflejadas no están sombreadas, así que se deben sombrear $4$ cuadraditos adicionales.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

For diagonal $\overline{BD}$ to be a line of symmetry, every shaded square off the diagonal must have a matching reflected shaded square on the other side of the diagonal.

There are $4$ shaded squares whose reflected partners are not shaded, so $4$ additional small squares must be shaded.

Thus, D is the correct answer.

4.

Un cuadrado y un triángulo tienen perímetros iguales. Las longitudes de los tres lados del triángulo son $6.1$ cm, $8.2$ cm y $9.7$ cm. ¿Cuál es el área del cuadrado en centímetros cuadrados?

A square and a triangle have equal perimeters. The lengths of the three sides of the triangle are $6.1$ cm, $8.2$ cm and $9.7$ cm. What is the area of the square in square centimeters?

$24$

$25$

$36$

$48$

$64$

Respuesta: C

Conceptos:perímetro cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Primero halla el perímetro del triángulo

First find the triangle’s perimeter.

Pista grande:

Ese perímetro es también el perímetro del cuadrado

That perimeter is also the square’s perimeter.

Solución:

El perímetro del triángulo es $6.1 + 8.2 + 9.7 = 24 \text{ cm.}$ Esto significa que la longitud del lado del cuadrado es $24 \div 4 = 6 \text{ cm.}$ Por lo tanto, el área del cuadrado es $6^2 = 36 \text{ cm}^2.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The perimeter of the triangle is $6.1 + 8.2 + 9.7 = 24 \text{ cm.}$ This means that the side length of the square is $24 \div 4 = 6 \text{ cm.}$ Therefore, the area of the square is $6^2 = 36 \text{ cm}^2.$

Thus, C is the correct answer.

5.

Las latas de refresco se venden en paquetes de $6,$ $12$ y $24$ latas. ¿Cuál es el número mínimo de paquetes necesarios para comprar exactamente $90$ latas de refresco?

Soda is sold in packs of $6,$ $12$ and $24$ cans. What is the minimum number of packs needed to buy exactly $90$ cans of soda?

$4$

$5$

$6$

$8$

$15$

Respuesta: B

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Usa la mayor cantidad posible de paquetes de $24$ sin pasarte de $90$

Use as many $24$ -packs as possible without going over $90$ .

Pista grande:

Tras tres paquetes de $24$ , completa las latas restantes con la menor cantidad de paquetes

After three $24$ -packs, finish the remaining cans with the fewest packs.

Solución:

Cuatro paquetes no pueden ser suficientes. Cuatro paquetes de $24$ contendrían $96$ latas, y sustituir cualquier paquete de $24$ por uno menor reduce el total en $12$ o $18$ latas. No hay manera de reducir $96$ exactamente en $6$ latas para llegar a $90$ .

Cinco paquetes sí funcionan: tres paquetes de $24$ , uno de $12$ y uno de $6$ contienen $3\cdot24+12+6=90$ latas. Por tanto, el número mínimo es $5$ .

Así, B es la respuesta correcta.

Four packs cannot be enough. Four $24$ -packs would contain $96$ cans, and replacing any $24$ -pack by a smaller pack decreases the total by either $12$ or $18$ cans. There is no way to decrease $96$ by exactly $6$ cans to reach $90$ .

Five packs do work: three $24$ -packs, one $12$ -pack, and one $6$ -pack contain $3\cdot24+12+6=90$ cans. Therefore, the minimum number is $5$ .

Thus, B is the correct answer.

6.

Supón que $d$ es un dígito. ¿Para cuántos valores de $d$ se cumple $2.00d5 > 2.005?$

Suppose $d$ is a digit. For how many values of $d$ is $2.00d5 > 2.005?$

$0$

$4$

$5$

$6$

$10$

Respuesta: C

Conceptos:decimal valor posicional

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Compara el dígito de las milésimas de $2.00d5$ con el de $2.005$

Compare the thousandths digit of $2.00d5$ with that of $2.005$ .

Pista grande:

El dígito $d$ debe ser al menos $5$

The digit $d$ must be at least $5$ .

Solución:

Los números $2.00d5$ y $2.005$ difieren por primera vez en las milésimas: se compara $d$ con $5$ .

Así, $2.00d5>2.005$ exactamente cuando $d\ge 5$ . Los dígitos posibles son $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ , es decir $5$ valores.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The numbers $2.00d5$ and $2.005$ first differ in the thousandths place: $d$ is compared with $5$ .

Thus $2.00d5>2.005$ exactly when $d\ge 5$ . The possible digits are $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9$ , for $5$ values.

Thus, C is the correct answer.

7.

Bill camina $\frac{1}{2}$ milla hacia el sur, luego $\frac{3}{4}$ milla hacia el este y finalmente $\frac{1}{2}$ milla hacia el sur. ¿A cuántas millas, en línea recta, está de su punto de partida?

Bill walks $\frac{1}{2}$ mile south, then $\frac{3}{4}$ mile east, and finally $\frac{1}{2}$ mile south. How many miles is he, in a direct line, from his starting point?

$1$

$1 \frac{1}{4}$

$1 \frac{1}{2}$

$1 \frac{3}{4}$

$2$

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pitágoras fracción

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Combina los dos tramos hacia el sur en un solo desplazamiento vertical

Combine the two southward parts into one vertical displacement.

Pista grande:

Usa el teorema de Pitágoras con catetos $1$ y $\frac{3}{4}$

Use the Pythagorean theorem with legs $1$ and $\frac{3}{4}$ .

Solución:

Nota que lo que buscamos es la longitud de la diagonal. Podemos usar el teorema de Pitágoras para hallarla. $\sqrt{\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}^2}$ $= \sqrt{1 + \dfrac{9}{16}} = \sqrt{\dfrac{25}{16}} = \dfrac{5}{4}$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that what we want is the length of the diagonal. We can use the Pythagorean theorem to find this. $\sqrt{\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}^2}$ $= \sqrt{1 + \dfrac{9}{16}} = \sqrt{\dfrac{25}{16}} = \dfrac{5}{4}$

Thus, B is the correct answer.

8.

Supón que $m$ y $n$ son enteros positivos impares. ¿Cuál de los siguientes también debe ser un entero impar?

Suppose $m$ and $n$ are positive odd integers. Which of the following must also be an odd integer?

$m + 3n$

$3m - n$

$3m^2 + 3n^2$

$(nm + 3)^2$

$3mn$

Respuesta: E

Conceptos:paridad

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Prueba las opciones usando las reglas de paridad para números impares

Test the choices using parity rules for odd numbers.

Pista grande:

El producto de enteros impares es impar

The product of odd integers is odd.

Solución:

Recuerda las cuatro reglas siguientes:

• impar más impar y par más par es par

• par más impar es impar

• par por cualquier cosa es par

• impar por impar es impar

Estas reglas se pueden verificar fácilmente representando cualquier número impar como $2m+1$ y cualquier número par como $2n$ respectivamente, para enteros $m,$ $n.$

Con esto en mente, examinemos cada opción de respuesta individualmente:

A:

Nota que $3$ es impar. Módulo $2$ , esto nos da $1 + 1 \cdot 1 \equiv 0 \pmod 2.$ Por nuestras reglas anteriores, sabemos que esto es par.

B: $1 \cdot 1 - 1 \equiv 0 \pmod 2.$ Una vez más, esto es par.

C: $1 \cdot 1^2 + 1 \cdot 1^2 \equiv 0 \pmod 2.$ Esto también es par.

D: $(1 \cdot 1 + 1)^2 \equiv 0 \pmod 2.$ Esto también es par.

E: $1 \cdot 1 \cdot 1 \equiv 1 \pmod 2.$ Esto es impar.

Por lo tanto, E es la única opción de respuesta que es un entero impar.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Recall the four following rules:

• odd plus odd and even plus even is even

• even plus odd is odd

• even times anything is even

• odd times odd is odd

These rules can be easily verified by representing arbitrary odd numbers as $2m+1$ and arbitrary even numbers as $2n$ respectively, for integers $m,$ $n.$

With this in mind, let’s examine each answer choice individually:

A:

Note that $3$ is odd. Modulo $2$ , this gives us $1 + 1 \cdot 1 \equiv 0 \pmod 2.$ From our above rules, we know that this is even.

B: $1 \cdot 1 - 1 \equiv 0 \pmod 2.$ Once again, this is even.

C: $1 \cdot 1^2 + 1 \cdot 1^2 \equiv 0 \pmod 2.$ This is also even.

D: $(1 \cdot 1 + 1)^2 \equiv 0 \pmod 2.$ Unfortunately, this is also even.

E: $1 \cdot 1 \cdot 1 \equiv 1 \pmod 2.$ This is odd.

Therefore, E is the only answer choice that is an odd integer.

Thus, E is the correct answer.

9.

En el cuadrilátero $ABCD,$ los lados $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ tienen ambos longitud $10,$ los lados $\overline{CD}$ y $\overline{DA}$ tienen ambos longitud $17,$ y la medida del ángulo $ADC$ es $60^\circ.$ ¿Cuál es la longitud de la diagonal $\overline{AC}$ ?

In quadrilateral $ABCD,$ sides $\overline{AB}$ and $\overline{BC}$ both have length $10,$ sides $\overline{CD}$ and $\overline{DA}$ both have length $17,$ and the measure of angle $ADC$ is $60^\circ.$ What is the length of diagonal $\overline{AC}?$

$13.5$

$14$

$15.5$

$17$

$18.5$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo isósceles triángulo equilátero suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Fíjate solo en $\triangle ADC$

Look only at $\triangle ADC$ .

Pista grande:

Es isósceles y tiene un ángulo de $60^\circ$

It is isosceles and has a $60^\circ$ angle.

Solución:

Nota que $\triangle ADC$ es isósceles. Esto significa que $\angle DAC = \angle DCA.$

Obtenemos que $\begin{gather*} \angle DAC + \angle DCA \\ {}+ \angle ADC = 180^{\circ} \\ \angle DAC + \angle DCA = 120^{\circ} \\ \angle DAC = \angle DCA = 60^{\circ}. \end{gather*}$

Esto muestra que $\triangle ADC$ es equilátero. Esto nos da que $AC = CD = 17.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that $\triangle ADC$ is isosceles. This means that $\angle DAC = \angle DCA.$

We get that $\begin{gather*} \angle DAC + \angle DCA \\ {}+ \angle ADC = 180^{\circ} \\ \angle DAC + \angle DCA = 120^{\circ} \\ \angle DAC = \angle DCA = 60^{\circ}. \end{gather*}$

This shows that $\triangle ADC$ is equilateral. This gives us that $AC = CD = 17.$

Thus, D is the correct answer.

10.

Joe había caminado la mitad del camino de su casa a la escuela cuando se dio cuenta de que iba tarde. Corrió el resto del camino a la escuela. Corrió $3$ veces más rápido de lo que caminaba. Joe tardó $6$ minutos en caminar la mitad del camino a la escuela. ¿Cuántos minutos tardó Joe en ir de su casa a la escuela?

Joe had walked half way from home to school when he realized he was late. He ran the rest of the way to school. He ran $3$ times as fast as he walked. Joe took $6$ minutes to walk half way to school. How many minutes did it take Joe to get from home to school?

$7$

$7.3$

$7.7$

$8$

$8.3$

Respuesta: D

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Joe corre la misma media distancia que antes había caminado

Joe runs the same half-distance he previously walked.

Pista grande:

Correr tres veces más rápido toma un tercio del tiempo

Running three times as fast takes one third as much time.

Solución:

Joe tardó $6$ minutos en caminar la primera mitad de la distancia.

Corrió la segunda mitad, la misma distancia, a $3$ veces su velocidad al caminar, así que esa mitad tomó $6\div3=2$ minutos.

Su tiempo total fue $6+2=8$ minutos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Joe took $6$ minutes to walk the first half of the distance.

He ran the second half, the same distance, at $3$ times his walking speed, so that half took $6\div3=2$ minutes.

His total time was $6+2=8$ minutes.

Thus, D is the correct answer.

11.

La tasa de impuesto sobre las ventas en Bergville es del $6\%$ . Durante una promoción en la Bergville Coat Closet, el precio de un abrigo se descuenta un $20\%$ de su precio de $\$90.00$ . Dos empleados, Jack y Jill, calculan la cuenta de forma independiente. Jack registra $\$90.00$ y suma el $6\%$ de impuesto sobre las ventas, luego resta el $20\%$ de este total. Jill registra $\$90.00$ , resta el $20\%$ del precio y luego suma el $6\%$ del precio descontado por el impuesto sobre las ventas. ¿Cuánto es el total de Jack menos el total de Jill?

The sales tax rate in Bergville is $6\%$ . During a sale at the Bergville Coat Closet, the price of a coat is discounted $20\%$ from its $\$90.00$ price. Two clerks, Jack and Jill, calculate the bill independently. Jack rings up $\$90.00$ and adds $6\%$ sales tax, then subtracts $20\%$ from this total. Jill rings up $\$90.00$ , subtracts $20\%$ of the price, then adds $6\%$ of the discounted price for sales tax. What is Jack’s total minus Jill’s total?

$-\$ 1.06$

$-\$ 0.53$

$\$ 0$

$\$ 0.53$

$\$ 1.06$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Sumar el impuesto y aplicar el descuento consisten ambos en multiplicar

Adding tax and taking the discount are both multiplications.

Pista grande:

La multiplicación da el mismo resultado en cualquier orden

Multiplication gives the same result in either order.

Solución:

El total de Jack es $90.00\cdot1.06\cdot0.80$ dólares.

El total de Jill es $90.00\cdot0.80\cdot1.06$ dólares.

Estos productos son iguales porque la multiplicación es conmutativa, así que el total de Jack menos el total de Jill es $\$0$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Jack’s total is $90.00\cdot1.06\cdot0.80$ dollars.

Jill’s total is $90.00\cdot0.80\cdot1.06$ dollars.

These products are equal because multiplication is commutative, so Jack’s total minus Jill’s total is $\$0$ .

Thus, C is the correct answer.

12.

Big Al, el simio, comió $100$ plátanos del $1$ al $5$ de mayo. Cada día comió seis plátanos más que el día anterior. ¿Cuántos plátanos comió Big Al el $5$ de mayo?

Big Al, the ape, ate $100$ bananas from May $1$ through May $5.$ Each day he ate six more bananas than on the previous day. How many bananas did Big Al eat on May $5?$

$20$

$22$

$30$

$32$

$34$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética media

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Las cinco cantidades diarias forman una sucesión aritmética

The five daily amounts form an arithmetic sequence.

Pista grande:

El día del medio es igual al promedio de los cinco días

The middle day equals the average of the five days.

Solución:

Sea $x$ el número de plátanos que Big Al comió el $3$ de mayo. Entonces Big Al comió las siguientes cantidades a partir del $1$ de mayo: $x - 12, x - 6, x, x + 6, x + 12.$

La suma es $5x,$ que vale $100.$ Por tanto, $x = 20.$ El $5$ de mayo, Big Al comió $20 + 12 = 32$ plátanos.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of bananas Big Al ate on May $3.$ Then Big Al ate the following amounts starting from May $1:$ $x - 12, x - 6, x, x + 6, x + 12.$

The sum of this is $5x,$ which equals $100.$ This gives us that $x = 20.$ Then on May $5,$ Big Al ate $20 + 12 = 32$ bananas.

Thus, D is the correct answer.

13.

El área del polígono $ABCDEF$ es $52$ con $AB=8,$ $BC=9$ y $FA=5.$ ¿Cuánto es $DE+EF$ ?

The area of polygon $ABCDEF$ is $52$ with $AB=8,$ $BC=9$ and $FA=5.$ What is $DE+EF?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: C

Conceptos:descomposición de áreas rectángulo

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Completa la figura hasta formar un rectángulo

Complete the figure to a rectangle.

Pista grande:

Resta el área del polígono del área del rectángulo para obtener el rectángulo faltante

Subtract the polygon area from the rectangle area to get the missing rectangle.

Solución:

Completa la figura hasta formar el rectángulo $ABCG$ , que tiene área $8\cdot9=72$ .

El rectángulo faltante $FEDG$ tiene área $72-52=20$ . Su altura es $DE=BC-FA=9-5=4$ .

Por lo tanto $EF=20\div4=5$ , así que $DE+EF=4+5=9$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Complete the shape to rectangle $ABCG$ , which has area $8\cdot9=72$ .

The missing rectangle $FEDG$ has area $72-52=20$ . Its height is $DE=BC-FA=9-5=4$ .

Therefore $EF=20\div4=5$ , so $DE+EF=4+5=9$ .

Thus, C is the correct answer.

14.

La Little Twelve Basketball Conference tiene dos divisiones, con seis equipos en cada división. Cada equipo juega dos veces contra cada uno de los demás equipos de su propia división y una vez contra cada equipo de la otra división. ¿Cuántos partidos de la conferencia se programan?

The Little Twelve Basketball Conference has two divisions, with six teams in each division. Each team plays each of the other teams in its own division twice and every team in the other division once. How many conference games are scheduled?

$80$

$96$

$100$

$108$

$192$

Respuesta: B

Conceptos:doble conteo conteo básico

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Cuenta los partidos de cada equipo y luego corrige el doble conteo

Count each team’s games, then correct for double-counting.

Pista grande:

Cada partido se cuenta una vez por cada uno de sus dos equipos

Each game is counted once for each of its two teams.

Solución:

Enfoquémonos en un equipo. Este equipo juega contra $5$ equipos dos veces en su propia división, para un total de $2 \cdot 5 = 10$ partidos.

Este equipo también juega $6$ partidos con equipos de la otra división. Por lo tanto, juega un total de $10 + 6 = 16$ partidos.

Hay $12$ equipos en total, así que hay $12 \cdot 16 = 192$ partidos contados. Cada partido, sin embargo, involucra $2$ equipos, así que tenemos que dividir entre $2.$

Esto nos da que el número total real de partidos es $192 \div 2 = 96.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let us focus on one team. This team plays against $5$ other teams twice in its own division, for a total of $2 \cdot 5 = 10$ games.

This team also plays $6$ games with teams from the other division. Therefore, they play a total of $10 + 6 = 16$ games.

There are $12$ teams total, so there are $12 \cdot 16 = 192$ games conducted. Each game, however, involves $2$ teams, so we have to divide by $2.$

This gives us the actual total number of games to be $192 \div 2 = 96.$

Thus, B is the correct answer.

15.

¿Cuántos triángulos isósceles distintos tienen longitudes de lados enteras y perímetro $23$ ?

How many different isosceles triangles have integer side lengths and perimeter $23?$

$2$

$4$

$6$

$9$

$11$

Respuesta: C

Conceptos:desigualdad triangular paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Sea $a$ la longitud de los lados iguales y $b$ la base

Let the equal side length be $a$ and the base be $b$ .

Pista grande:

Usa $2a+b=23$ y la desigualdad triangular

Use $2a+b=23$ and the triangle inequality.

Solución:

Sea $a$ la longitud de los lados iguales y $b$ la base. Entonces $2a+b=23$ , así que $b$ debe ser impar.

La desigualdad triangular exige $b<2a$ . Como $b=23-2a$ , esto da $23-2a<2a$ , así que $a>\frac{23}{4}$ . Por lo tanto $a\ge6$ .

Además $b\ge1$ , así que $2a\le22$ y $a\le11$ . Los valores posibles $a=6,$ $7,$ $8,$ $9,$ $10,$ y $11$ todos funcionan, dando $6$ triángulos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let the equal side length be $a$ and the base be $b$ . Then $2a+b=23$ , so $b$ must be odd.

The triangle inequality requires $b<2a$ . Since $b=23-2a$ , this gives $23-2a<2a$ , so $a>\frac{23}{4}$ . Thus $a\ge6$ .

Also $b\ge1$ , so $2a\le22$ and $a\le11$ . The possible values $a=6,$ $7,$ $8,$ $9,$ $10,$ and $11$ all work, giving $6$ triangles.

Thus, C is the correct answer.

16.

Un marciano de cinco patas tiene un cajón lleno de calcetines, cada uno de los cuales es rojo, blanco o azul, y hay al menos cinco calcetines de cada color. El marciano saca un calcetín a la vez sin mirar. ¿Cuántos calcetines debe sacar el marciano del cajón para estar seguro de que habrá $5$ calcetines del mismo color?

A five-legged Martian has a drawer full of socks, each of which is red, white or blue, and there are at least five socks of each color. The Martian pulls out one sock at a time without looking. How many socks must the Martian remove from the drawer to be certain there will be $5$ socks of the same color?

$6$

$9$

$12$

$13$

$15$

Respuesta: D

Conceptos:principio del palomar

Nivel de dificultad: 1230

Pista pequeña:

En el peor caso, el marciano saca primero solo $4$ calcetines de cada color

In the worst case, the Martian gets only $4$ socks of each color first.

Pista grande:

El siguiente calcetín debe formar cinco de algún color

The next sock must make five of some color.

Solución:

Nota que el marciano puede sacar $4$ calcetines de cada color sin obtener $5$ del mismo color. El calcetín número $13$ , sin embargo, debe ser el $5$ º calcetín de algún color.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that the Martian can pull out $4$ socks of each color without drawing $5$ of the same color. The $13$ th sock, however, must be the $5$ th sock of some color.

Thus, D is the correct answer.

17.

Los resultados de una carrera de entrenamiento de un equipo de cross-country se grafican abajo. ¿Qué estudiante tiene la mayor velocidad promedio?

The results of a cross-country team’s training run are graphed below. Which student has the greatest average speed?

$\text{Angela}$

$\text{Briana}$

$\text{Carla}$

$\text{Debra}$

$\text{Evelyn}$

Respuesta: E

Conceptos:interpretación de datos y gráficas pendiente

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

La velocidad promedio es la distancia dividida entre el tiempo

Average speed is distance divided by time.

Pista grande:

En la gráfica, compara las pendientes desde el origen

On the graph, compare slopes from the origin.

Solución:

La velocidad promedio es la distancia entre el tiempo, lo cual está dado por la pendiente de la recta que pasa por el punto y el origen.

Evelyn tiene la pendiente más pronunciada, lo que nos indica que tuvo la mayor velocidad promedio.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Average speed is distance over time, which is given by the slope of the line through the point and the origin.

Evelyn has the steepest slope, telling us that she had the greatest average speed.

Thus, E is the correct answer.

18.

¿Cuántos números de tres dígitos son divisibles entre $13$ ?

How many three-digit numbers are divisible by $13?$

$7$

$67$

$69$

$76$

$77$

Respuesta: C

Conceptos:conteo de enteros en un rango múltiplo

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Un múltiplo de $13$ de tres dígitos tiene la forma $13k$

A three-digit multiple of $13$ has form $13k$ .

Pista grande:

Halla los valores mínimo y máximo posibles de $k$

Find the smallest and largest possible values of $k$ .

Solución:

Queremos hallar cuántos valores de $k$ hacen que $13k$ sea un número de tres dígitos.

El menor $k$ posible tal que $13k \gt 99$ es $k = 8.$

El mayor $k$ posible tal que $13k \lt 1000$ es $k = 76.$

Esto nos dice que $k$ puede ir desde $8$ hasta $76,$ lo que nos da $69$ valores para $k.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We want to find how many $k$ exist such that $13k$ is a three-digit number.

The smallest possible $k$ such that $13k \gt 99$ is $k = 8.$

The largest possible $k$ such that $13k \lt 1000$ is $k = 76.$

This tells us that $k$ can range from $8$ to $76,$ which gives us $69$ values for $k.$

Thus, C is the correct answer.

19.

¿Cuál es el perímetro del trapecio $ABCD$ ?

What is the perimeter of trapezoid $ABCD?$

$180$

$188$

$196$

$200$

$204$

Respuesta: A

Conceptos:trapecio Terna pitagórica perímetro

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Traza perpendiculares para dividir el trapecio en triángulos rectángulos y un rectángulo

Drop perpendiculars to split the trapezoid into right triangles and a rectangle.

Pista grande:

Usa los triángulos rectángulos $18-24-30$ y $7-24-25$

Use the $18-24-30$ and $7-24-25$ right triangles.

Solución:

Traza la altura desde $C$ que llega a $\overline{AD}$ en $F$ . La altura existente desde $B$ llega a $\overline{AD}$ en $E$ .

Por el teorema de Pitágoras, $AE=\sqrt{30^2-24^2}=18$ y $FD=\sqrt{25^2-24^2}=7$ . Además $EF=BC=50$ .

Por lo tanto $AD=18+50+7=75$ , y el perímetro del trapecio es $30+50+25+75=180$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Drop the altitude from $C$ to meet $\overline{AD}$ at $F$ . The existing altitude from $B$ meets $\overline{AD}$ at $E$ .

By the Pythagorean theorem, $AE=\sqrt{30^2-24^2}=18$ and $FD=\sqrt{25^2-24^2}=7$ . Also $EF=BC=50$ .

Thus $AD=18+50+7=75$ , and the trapezoid perimeter is $30+50+25+75=180$ .

Thus, A is the correct answer.

20.

Alice y Bob juegan en un círculo cuya circunferencia contiene $12$ puntos igualmente espaciados. Los puntos están numerados en sentido horario, del $1$ al $12.$ Ambos empiezan en el punto $12.$ Alice se mueve en sentido horario y Bob, en sentido antihorario. En cada turno, Alice avanza $5$ puntos en sentido horario y Bob avanza $9$ puntos en sentido antihorario. El juego termina cuando se detienen en el mismo punto. ¿Cuántos turnos harán falta?

Alice and Bob play a game involving a circle whose circumference is divided by $12$ equally-spaced points. The points are numbered clockwise, from $1$ to $12.$ Both start on point $12.$ Alice moves clockwise and Bob, counterclockwise. In a turn of the game, Alice moves $5$ points clockwise and Bob moves $9$ points counterclockwise. The game ends when they stop on the same point. How many turns will this take?

$6$

$8$

$12$

$14$

$24$

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Sigue el movimiento relativo de Alice y Bob alrededor del círculo

Track the relative motion of Alice and Bob around the circle.

Pista grande:

Su desplazamiento relativo es de $14$ puntos por turno, módulo $12$

Together they close the gap by $14$ points each turn, modulo $12$ .

Solución:

Tras un turno, Alice se ha movido $5$ puntos en sentido horario y Bob se ha movido $9$ puntos en sentido antihorario. Su movimiento relativo es de $5+9=14$ puntos por turno.

Se encuentran cuando $14k$ es un múltiplo de $12$ , donde $k$ es el número de turnos.

Como $14k\equiv2k\pmod{12}$ , el menor $k$ positivo que hace que $2k$ sea múltiplo de $12$ es $6$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

After one turn, Alice has moved $5$ points clockwise and Bob has moved $9$ points counterclockwise. Their relative movement is $5+9=14$ points per turn.

They meet when $14k$ is a multiple of $12$ , where $k$ is the number of turns.

Since $14k\equiv2k\pmod{12}$ , the smallest positive $k$ making $2k$ a multiple of $12$ is $6$ .

Thus, A is the correct answer.

21.

¿Cuántos triángulos distintos se pueden dibujar usando tres de los puntos de abajo como vértices?

How many distinct triangles can be drawn using three of the dots below as vertices?

$9$

$12$

$18$

$20$

$24$

Respuesta: C

Conceptos:combinaciones conteo complementario

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Hay $6$ puntos en total

There are $6$ dots total.

Pista grande:

Resta las elecciones de tres puntos colineales de todas las elecciones de $3$ puntos

Subtract the choices of three collinear dots from all $3$ -dot choices.

Solución:

Nota que elegir cualquiera de estos $3$ puntos forma un triángulo, excepto por las $2$ ternas que forman una línea recta.

Hay $\binom{6}{3} = 20$ formas de elegir los puntos, y luego restamos $2$ para obtener $20 - 2 = 18.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Notice that choosing any of these $3$ dots forms a triangle, except for the $2$ triples that form a straight line.

There are $\binom{6}{3} = 20$ ways to choose the points, and then we subtract $2$ to get $20 - 2 = 18.$

Thus, C is the correct answer.

22.

Una empresa vende detergente en cajas de tres tamaños diferentes: pequeña (S), mediana (M) y grande (L). El tamaño mediano cuesta $50 \%$ más que el tamaño pequeño y contiene $20 \%$ menos detergente que el tamaño grande. El tamaño grande contiene el doble de detergente que el tamaño pequeño y cuesta $30 \%$ más que el tamaño mediano. Ordena los tres tamaños de la mejor a la peor compra.

A company sells detergent in three different sized boxes: small (S), medium (M) and large (L). The medium size costs $50 \%$ more than the small size and contains $20 \%$ less detergent than the large size. The large size contains twice as much detergent as the small size and costs $30 \%$ more than the medium size. Rank the three sizes from best to worst buy.

$SML$

$LMS$

$MSL$

$LSM$

$MLS$

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Elige números convenientes para los tamaños pequeño y grande

Choose convenient numbers for the small and large sizes.

Pista grande:

Compara el precio por onza de cada tamaño

Compare price per ounce for each size.

Solución:

Elige valores convenientes: sea el costo de la caja pequeña $\$1.00$ y su contenido $10$ onzas. Entonces la caja grande contiene $20$ onzas.

La caja mediana cuesta $\$1.50$ y contiene $20\%$ menos que la caja grande, o $16$ onzas. La caja grande cuesta $30\%$ más que la mediana, o $\$1.95$ .

Los costos por onza son $S: \frac{1.00}{10}=0.100$ , $M: \frac{1.50}{16}=0.09375$ y $L: \frac{1.95}{20}=0.0975$ .

De la mejor a la peor compra, el orden es $M,$ $L,$ $S$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Choose convenient values: let the small box cost $\$1.00$ and contain $10$ ounces. Then the large box contains $20$ ounces.

The medium box costs $\$1.50$ and contains $20\%$ less than the large box, or $16$ ounces. The large box costs $30\%$ more than the medium, or $\$1.95$ .

The costs per ounce are $S: \frac{1.00}{10}=0.100$ , $M: \frac{1.50}{16}=0.09375$ , and $L: \frac{1.95}{20}=0.0975$ .

From best to worst buy, the order is $M,$ $L,$ $S$ .

Thus, E is the correct answer.

23.

El triángulo rectángulo isósceles $ABC$ encierra un semicírculo de área $2\pi.$ El círculo tiene su centro $O$ sobre la hipotenusa $\overline{AB}$ y es tangente a los lados $\overline{AC}$ y $\overline{BC}.$ ¿Cuál es el área del triángulo $ABC$ ?

Isosceles right triangle $ABC$ encloses a semicircle of area $2\pi.$ The circle has its center $O$ on hypotenuse $\overline{AB}$ and is tangent to sides $\overline{AC}$ and $\overline{BC}.$ What is the area of triangle $ABC?$

$6$

$8$

$3 \pi$

$10$

$4 \pi$

Respuesta: B

Conceptos:área del círculo simetría

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Refleja el triángulo y el semicírculo a través de la hipotenusa

Reflect the triangle and semicircle across the hypotenuse.

Pista grande:

Esto forma un círculo inscrito en un cuadrado

This makes a circle inscribed in a square.

Solución:

Refleja el triángulo y el semicírculo a través de la hipotenusa $\overline{AB}$ . Esto forma un círculo completo inscrito en un cuadrado.

El semicírculo tiene área $2\pi$ , así que el círculo completo tiene área $4\pi$ y radio $2$ . Por lo tanto, la longitud del lado del cuadrado es $4$ .

El área del cuadrado es $16$ , así que el triángulo original tiene la mitad de esa área, $8$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Reflect the triangle and semicircle across hypotenuse $\overline{AB}$ . This forms a full circle inscribed in a square.

The semicircle has area $2\pi$ , so the full circle has area $4\pi$ and radius $2$ . The square side length is therefore $4$ .

The square area is $16$ , so the original triangle has half that area, $8$ .

Thus, B is the correct answer.

24.

Cierta calculadora tiene solo dos teclas [ $+1$ ] y [ $\times 2$ ]. Cuando presionas una de las teclas, la calculadora muestra automáticamente el resultado. Por ejemplo, si la calculadora mostraba originalmente “ $9$ ” y presionaste [ $+1$ ], mostraría “ $10.$ ” Si luego presionaras [ $\times 2$ ], mostraría “ $20.$ ” Empezando con la pantalla en “ $1,$ ” ¿cuál es el menor número de pulsaciones de teclas que necesitarías para llegar a “ $200$ ”?

A certain calculator has only two keys [ $+1$ ] and [ $\times 2$ ]. When you press one of the keys, the calculator automatically displays the result. For instance, if the calculator originally displayed “ $9$ ” and you pressed [ $+1$ ], it would display “ $10.$ ” If you then pressed [ $\times 2$ ], it would display “ $20.$ ” Starting with the display “ $1,$ ” what is the fewest number of keystrokes you would need to reach “ $200$ ”?

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:trabajar hacia atrás optimización

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Trabaja hacia atrás desde $200$ hasta $1$

Work backward from $200$ to $1$ .

Pista grande:

Para una cota inferior, nota qué pueden y qué no pueden alcanzar ocho pulsaciones cerca de $200$

For a lower bound, note what eight keystrokes can and cannot reach near $200$ .

Solución:

Trabaja hacia atrás desde $200$ . Cuando el número es par, deshaz $\times2$ dividiendo entre $2$ ; cuando es impar, deshaz $+1$ restando $1$ .

$200,100,50,25,24,12,6,3,2,1$ usa $9$ pasos inversos, así que $9$ pulsaciones son suficientes.

Ocho pulsaciones no son suficientes: el mayor valor menor que $200$ que puede alcanzarse en $8$ pulsaciones se obtiene con $\times2,+1$ seguido de seis duplicaciones, lo que da $3\cdot2^6=192$ . La siguiente posibilidad mayor es al menos $256$ , así que $200$ no se puede alcanzar en $8$ pulsaciones.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Work backward from $200$ . When the number is even, undo $\times2$ by dividing by $2$ ; when it is odd, undo $+1$ by subtracting $1$ .

$200,100,50,25,24,12,6,3,2,1$ uses $9$ reverse steps, so $9$ keystrokes are enough.

Eight keystrokes are not enough: the largest value below $200$ reachable in $8$ keystrokes is obtained by $\times2,+1$ followed by six doublings, giving $3\cdot2^6=192$ . The next larger possibilities overshoot to at least $256$ , so $200$ cannot be reached in $8$ keystrokes.

Thus, B is the correct answer.

25.

Un cuadrado con longitud de lado $2$ y un círculo comparten el mismo centro. El área total de las regiones que están dentro del círculo y fuera del cuadrado es igual al área total de las regiones que están fuera del círculo y dentro del cuadrado. ¿Cuál es el radio del círculo?

A square with side length $2$ and a circle share the same center. The total area of the regions that are inside the circle and outside the square is equal to the total area of the regions that are outside the circle and inside the square. What is the radius of the circle?

$\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}$

$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{3}$

$\sqrt{\pi}$

Respuesta: A

Conceptos:área del círculo cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Las áreas de las partes exclusivas del círculo y del cuadrado son iguales

The two outside-area totals are equal.

Pista grande:

Esto hace que el cuadrado y el círculo tengan la misma área total

That makes the square and circle have equal total area.

Solución:

Sea $S$ el área común dentro tanto del cuadrado como del círculo. El problema dice que el área solo del círculo es igual al área solo del cuadrado.

Sumar $S$ a ambas áreas iguales muestra que el área total del círculo es igual al área total del cuadrado.

El área del cuadrado es $2^2=4$ , así que $\pi r^2=4$ . Por lo tanto $r=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $S$ be the common area inside both the square and circle. The problem says the circle-only area equals the square-only area.

Adding $S$ to both equal areas shows that the total area of the circle equals the total area of the square.

The square area is $2^2=4$ , so $\pi r^2=4$ . Hence $r=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ .

Thus, A is the correct answer.

Problemas del 2005 AMC 8

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1230

Pista pequeña:

Pista grande: