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2005 AMC 8 Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2005 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2005 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

En el cuadrilátero ABCD,ABCD, los lados AB‾\overline{AB} y BC‾\overline{BC} tienen ambos longitud 10,10, los lados CD‾\overline{CD} y DA‾\overline{DA} tienen ambos longitud 17,17, y la medida del ángulo ADCADC es 60∘.60^\circ. ¿Cuál es la longitud de la diagonal AC‾\overline{AC}?
In quadrilateral ABCD,ABCD, sides AB‾\overline{AB} and BC‾\overline{BC} both have length 10,10, sides CD‾\overline{CD} and DA‾\overline{DA} both have length 17,17, and the measure of angle ADCADC is 60∘.60^\circ. What is the length of diagonal AC‾?\overline{AC}?
13.513.5
1414
15.515.5
1717
18.518.5
Respuesta: D
Conceptos:triángulo isóscelestriángulo equiláterosuma de ángulos
Nivel de dificultad: 1020
Pista pequeña:
Fíjate solo en △ADC\triangle ADC
Look only at △ADC\triangle ADC.
Pista grande:
Es isósceles y tiene un ángulo de 60∘60^\circ
It is isosceles and has a 60∘60^\circ angle.
Solución:
Nota que △ADC\triangle ADC es isósceles. Esto significa que ∠DAC=∠DCA.\angle DAC = \angle DCA.
Obtenemos que ∠DAC+∠DCA+∠ADC=180∘∠DAC+∠DCA=120∘∠DAC=∠DCA=60∘. \begin{gather*} \angle DAC + \angle DCA \\ {}+ \angle ADC = 180^{\circ} \\ \angle DAC + \angle DCA = 120^{\circ} \\ \angle DAC = \angle DCA = 60^{\circ}. \end{gather*}
Esto muestra que △ADC\triangle ADC es equilátero. Esto nos da que AC=CD=17. AC = CD = 17.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Note that △ADC\triangle ADC is isosceles. This means that ∠DAC=∠DCA.\angle DAC = \angle DCA.
We get that ∠DAC+∠DCA+∠ADC=180∘∠DAC+∠DCA=120∘∠DAC=∠DCA=60∘. \begin{gather*} \angle DAC + \angle DCA \\ {}+ \angle ADC = 180^{\circ} \\ \angle DAC + \angle DCA = 120^{\circ} \\ \angle DAC = \angle DCA = 60^{\circ}. \end{gather*}
This shows that △ADC\triangle ADC is equilateral. This gives us that AC=CD=17. AC = CD = 17.
Thus, D is the correct answer.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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