Question

Un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados de igual longitud. ¿Cuántos de los cinco triángulos en la cuadrícula de abajo son isósceles?

An isosceles triangle is a triangle with two sides of equal length. How many of the five triangles on the square grid below are isosceles?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

Lee las longitudes de los lados de cada triángulo a partir de la cuadrícula. Un lado horizontal o vertical se cuenta directamente, y un lado inclinado que abarca $a$ unidades de ancho y $b$ unidades de alto tiene longitud $\sqrt{a^2 + b^2}.$

Triángulo superior izquierdo: sus dos lados inclinados abarcan cada uno $1$ de ancho y $2$ de alto, así que cada uno tiene longitud $\sqrt{5},$ con una base de longitud $2.$ Dos lados iguales, así que es isósceles.

Triángulo superior central: tiene un lado vertical de longitud $2$ y un lado horizontal de longitud $2$ (su tercer lado es la diagonal $2\sqrt{2}$ ). Dos lados iguales, así que es isósceles.

Triángulo superior derecho: sus lados son $2,$ $\sqrt{5},$ y $\sqrt{13},$ que son todos diferentes, así que no es isósceles.

Triángulo inferior izquierdo (ancho y plano): sus dos lados inclinados abarcan cada uno $3$ de ancho y $1$ de alto, así que cada uno tiene longitud $\sqrt{10}.$ Dos lados iguales, así que es isósceles.

Triángulo inferior derecho: dos de sus lados abarcan cada uno $2$ y $1$ (dando longitud $\sqrt{5}$ ), mientras que el tercero es $\sqrt{10}.$ Dos lados iguales, así que es isósceles.

Cuatro de los cinco triángulos son isósceles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Read each triangle's side lengths from the grid. A horizontal or vertical side is counted directly, and a slanted side spanning $a$ units across and $b$ units up has length $\sqrt{a^2 + b^2}.$

Top-left triangle: its two slanted sides each span $1$ across and $2$ up, so each has length $\sqrt{5},$ with a base of length $2.$ Two equal sides, so it is isosceles.

Top-middle triangle: it has a vertical side of length $2$ and a horizontal side of length $2$ (its third side is the slant $2\sqrt{2}$ ). Two equal sides, so it is isosceles.

Top-right triangle: its sides are $2,$ $\sqrt{5},$ and $\sqrt{13},$ which are all different, so it is not isosceles.

Bottom-left (wide, flat) triangle: its two slanted sides each span $3$ across and $1$ up, so each has length $\sqrt{10}.$ Two equal sides, so it is isosceles.

Bottom-right triangle: two of its sides each span $2$ and $1$ (giving length $\sqrt{5}$ ), while the third is $\sqrt{10}.$ Two equal sides, so it is isosceles.

Four of the five triangles are isosceles.

Thus, the correct answer is D .

1988 AMC 8 Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años