Question

¿Cuál es el valor del producto de los $9$ factores de abajo?

$\begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

What is the value of the product of the $9$ factors below?

$\begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{10}{11}$

$\dfrac{11}{2}$

Solución:

Cada factor $1 - \dfrac1k$ es igual a $\dfrac{k-1}{k},$ así que el producto es

$\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}.$

Cada numerador cancela el denominador anterior, y queda $\dfrac{1}{10}.$

Así, la respuesta correcta es A.

Each factor $1 - \dfrac1k$ equals $\dfrac{k-1}{k},$ so the product is

$\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}.$

Every numerator cancels the previous denominator, leaving $\dfrac{1}{10}.$

Thus, the correct answer is A .

1985 AMC 8 Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años