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Soluciones del 1985 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Cuál es el valor del siguiente producto?
3×59×11×7×9×113×5×7\dfrac{3 \times 5}{9 \times 11} \times \dfrac{7 \times 9 \times 11}{3 \times 5 \times 7}
What is the value of the following product?
3×59×11×7×9×113×5×7\dfrac{3 \times 5}{9 \times 11} \times \dfrac{7 \times 9 \times 11}{3 \times 5 \times 7}
11
00
4949
149\dfrac{1}{49}
5050
Conceptos:fracción
Nivel de dificultad: 560
Pista pequeña:
Multiplica los numeradores entre sí y los denominadores entre sí antes de simplificar
Multiply the numerators together and the denominators together before simplifying
Pista grande:
Los mismos factores 3,3, 5,5, 7,7, 9,9, 1111 aparecen tanto en el numerador como en el denominador
The same factors 3,3, 5,5, 7,7, 9,9, 1111 appear in both the numerator and the denominator
Solución:
Al combinar las dos fracciones, el numerador es 3⋅5⋅7⋅9⋅113 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 y el denominador es 9⋅11⋅3⋅5⋅7.9 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7. Es el mismo producto.
Por lo tanto, el valor es 1.1.
Así, la respuesta correcta es A.
Combining the two fractions, the numerator is 3⋅5⋅7⋅9⋅113 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 and the denominator is 9⋅11⋅3⋅5⋅7.9 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7. These are the same product.
So the value is 1.1.
Thus, the correct answer is A .

2.

¿Cuál es el valor de 90+91+92+⋯+98+9990 + 91 + 92 + \cdots + 98 + 99?
What is the value of 90+91+92+⋯+98+99?90 + 91 + 92 + \cdots + 98 + 99?
845845
945945
10051005
10251025
10451045
Conceptos:sucesión aritméticaemparejamiento y agrupación
Nivel de dificultad: 450
Pista pequeña:
Hay 1010 términos, desde 9090 hasta 9999
There are 1010 terms, from 9090 up to 9999
Pista grande:
La suma es igual al promedio del primer y el último término multiplicado por el número de términos
The sum equals the average of the first and last term times the number of terms
Solución:
Hay 1010 términos. El promedio del primero y el último es 90+992=94.5.\dfrac{90 + 99}{2} = 94.5.
Por lo tanto, la suma es 10⋅94.5=945.10 \cdot 94.5 = 945.
Así, la respuesta correcta es B.
There are 1010 terms. The average of the first and last is 90+992=94.5.\dfrac{90 + 99}{2} = 94.5.
So the sum is 10⋅94.5=945.10 \cdot 94.5 = 945.
Thus, the correct answer is B .

3.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?
1075×104\dfrac{10^7}{5 \times 10^4}
What is the value of the following expression?
1075×104\dfrac{10^7}{5 \times 10^4}
0.0020.002
0.20.2
2020
200200
20002000
Conceptos:exponente
Nivel de dificultad: 560
Pista pequeña:
107104=103\dfrac{10^7}{10^4} = 10^3
Pista grande:
Luego divide 103=100010^3 = 1000 entre 55
Then divide 103=100010^3 = 1000 by 55
Solución:
Como 107104=103=1000,\dfrac{10^7}{10^4} = 10^3 = 1000, la expresión es 10005=200.\dfrac{1000}{5} = 200.
Así, la respuesta correcta es D.
Since 107104=103=1000,\dfrac{10^7}{10^4} = 10^3 = 1000, the expression is 10005=200.\dfrac{1000}{5} = 200.
Thus, the correct answer is D .

4.

El área del polígono ABCDEF,ABCDEF, en unidades cuadradas, es
The area of polygon ABCDEF,ABCDEF, in square units, is
2424
3030
4646
6666
7474
Conceptos:áreadescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 820
Pista pequeña:
Extiende los lados AFAF y DCDC para completar un rectángulo entero de 6×96 \times 9
Extend sides AFAF and DCDC to complete a full 6×96 \times 9 rectangle
Pista grande:
Resta el área de la pequeña muesca rectangular que se recortó de la esquina inferior izquierda
Subtract the area of the small rectangular notch that was cut from the lower-left corner
Solución:
Al completar la figura hasta el rectángulo entero de 6×96 \times 9 se obtiene un área de 54.54. La pieza retirada de la esquina inferior izquierda es un rectángulo que mide 22 por 4,4, con área 8.8.
Por lo tanto, el área del polígono es 54−8=46.54 - 8 = 46.
Así, la respuesta correcta es C.
Completing the figure to the full 6×96 \times 9 rectangle gives an area of 54.54. The piece removed from the lower-left corner is a rectangle measuring 22 by 4,4, with area 8.8.
So the polygon’s area is 54−8=46.54 - 8 = 46.
Thus, the correct answer is C .

5.

Las calificaciones de una clase de matemáticas en el último período de evaluación fueron: 55 estudiantes obtuvieron una A, 44 una B, 33 una C, 33 una D y 55 una F. Si A, B, C y D son calificaciones aprobatorias, ¿qué fracción de las calificaciones corresponde a notas aprobatorias?
The grades in a mathematics class for the last grading period were: 55 students earned an A, 44 earned a B, 33 earned a C, 33 earned a D, and 55 earned an F. If A, B, C, and D are satisfactory grades, what fraction of the grades are satisfactory?
12\dfrac{1}{2}
23\dfrac{2}{3}
34\dfrac{3}{4}
45\dfrac{4}{5}
910\dfrac{9}{10}
Conceptos:interpretación de datos y gráficasfracción
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
Suma las cantidades de estudiantes que obtuvieron A, B, C y D
Add the counts for the satisfactory grades A, B, C, and D
Pista grande:
Divide la cantidad de calificaciones aprobatorias entre el número total de calificaciones
Divide the satisfactory count by the total number of grades
Solución:
Las calificaciones aprobatorias suman 5+4+3+3=15,5 + 4 + 3 + 3 = 15, y el número total de calificaciones es 15+5=20.15 + 5 = 20.
Por lo tanto, la fracción de calificaciones aprobatorias es 1520=34.\dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}.
Así, la respuesta correcta es C.
The satisfactory grades number 5+4+3+3=15,5 + 4 + 3 + 3 = 15, and the total number of grades is 15+5=20.15 + 5 = 20.
So the fraction that is satisfactory is 1520=34.\dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}.
Thus, the correct answer is C .

6.

Una resma de papel que contiene 500500 hojas tiene 55 cm de grosor. ¿Aproximadamente cuántas hojas de este tipo de papel habría en una pila de 7.57.5 cm de altura?
A ream of paper containing 500500 sheets is 55 cm thick. Approximately how many sheets of this type of paper would there be in a stack 7.57.5 cm high?
250250
550550
667667
750750
12501250
Conceptos:razón y proporción
Nivel de dificultad: 560
Pista pequeña:
El número de hojas es proporcional a la altura de la pila
The number of sheets is proportional to the height of the stack
Pista grande:
Una pila de 7.57.5 cm mide 1.51.5 veces la altura de una pila de 55 cm
A 7.57.5 cm stack is 1.51.5 times as tall as a 55 cm stack
Solución:
Como 7.57.5 cm es 1.51.5 veces 55 cm, la pila contiene 1.51.5 veces el número de hojas.
Es decir, 1.5×500=7501.5 \times 500 = 750 hojas.
Así, la respuesta correcta es D.
Since 7.57.5 cm is 1.51.5 times 55 cm, the stack holds 1.51.5 times as many sheets.
That is 1.5×500=7501.5 \times 500 = 750 sheets.
Thus, the correct answer is D .

7.

Una figura de “escalones” está formada por cuadrados sombreados y sin sombrear que se alternan en cada fila. Se muestran las filas 11 a 44. Todas las filas empiezan y terminan con un cuadrado sin sombrear. El número de cuadrados sombreados en la fila 3737 es
A “stair-step” figure is made up of alternating shaded and unshaded squares in each row. Rows 11 through 44 are shown. All rows begin and end with an unshaded square. The number of shaded squares in the 3737th row is
3434
3535
3636
3737
3838
Conceptos:reconocimiento de patronesconteo básico
Nivel de dificultad: 860
Pista pequeña:
La fila nn tiene 2n−12n - 1 cuadrados, y se alternan empezando y terminando con uno sin sombrear
Row nn has 2n−12n - 1 squares, and they alternate starting and ending with an unshaded square
Pista grande:
Como los extremos están sin sombrear y los cuadrados se alternan, hay un cuadrado sin sombrear más que cuadrados sombreados en cada fila
Since the ends are unshaded and the squares alternate, there is one more unshaded square than shaded square in each row
Solución:
La fila nn contiene 2n−12n - 1 cuadrados. Como ambos extremos están sin sombrear y los cuadrados se alternan, cada fila tiene un cuadrado sin sombrear más que cuadrados sombreados, así que el número de cuadrados sombreados es n−1.n - 1.
Para la fila 3737, esto es 37−1=36.37 - 1 = 36.
Así, la respuesta correcta es C.
Row nn contains 2n−12n - 1 squares. Because both ends are unshaded and the squares alternate, each row has one more unshaded square than shaded square, so the number of shaded squares is n−1.n - 1.
For the 3737th row, this is 37−1=36.37 - 1 = 36.
Thus, the correct answer is C .

8.

Si a=−2,a = -2, el número más grande del conjunto
{−3a, 4a, 24a, a2, 1}\left\{ -3a,\ 4a,\ \dfrac{24}{a},\ a^2,\ 1 \right\}
es
If a=−2,a = -2, the largest number in the set
{−3a, 4a, 24a, a2, 1}\left\{ -3a,\ 4a,\ \dfrac{24}{a},\ a^2,\ 1 \right\}
is
−3a-3a
4a4a
24a\dfrac{24}{a}
a2a^2
11
Conceptos:sustitución
Nivel de dificultad: 730
Pista pequeña:
Sustituye a=−2a = -2 en cada expresión
Substitute a=−2a = -2 into each expression
Pista grande:
Primero revisa los signos: 4a4a y 24a\frac{24}{a} son negativos, mientras que −3a-3a y a2a^2 son positivos
Check signs first: 4a4a and 24a\frac{24}{a} are negative, while −3a-3a and a2a^2 are positive
Solución:
Al sustituir a=−2a = -2 se obtienen los valores −3a=6,-3a = 6, 4a=−8,4a = -8, 24a=−12,\dfrac{24}{a} = -12, a2=4,a^2 = 4, y 1.1.
El mayor de estos es 6,6, que es −3a.-3a.
Así, la respuesta correcta es A.
Substituting a=−2a = -2 gives the values −3a=6,-3a = 6, 4a=−8,4a = -8, 24a=−12,\dfrac{24}{a} = -12, a2=4,a^2 = 4, and 1.1.
The largest of these is 6,6, which is −3a.-3a.
Thus, the correct answer is A .

9.

¿Cuál es el valor del producto de los 99 factores de abajo?
(1−12)(1−13)(1−14)⋯⋅(1−110) \begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}
What is the value of the product of the 99 factors below?
(1−12)(1−13)(1−14)⋯⋅(1−110) \begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}
110\dfrac{1}{10}
19\dfrac{1}{9}
12\dfrac{1}{2}
1011\dfrac{10}{11}
112\dfrac{11}{2}
Conceptos:telescópicafracción
Nivel de dificultad: 860
Pista pequeña:
Reescribe cada factor: 1−1k=k−1k1 - \dfrac1k = \dfrac{k-1}{k}
Rewrite each factor: 1−1k=k−1k1 - \dfrac1k = \dfrac{k-1}{k}
Pista grande:
Escribe el producto como 12⋅23⋅34⋯910\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10} y observa cómo se cancelan los términos consecutivos
Write the product as 12⋅23⋅34⋯910\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10} and watch consecutive terms cancel
Solución:
Cada factor 1−1k1 - \dfrac1k es igual a k−1k,\dfrac{k-1}{k}, así que el producto es
12⋅23⋅34⋯910.\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}.
Cada numerador cancela el denominador anterior, y queda 110.\dfrac{1}{10}.
Así, la respuesta correcta es A.
Each factor 1−1k1 - \dfrac1k equals k−1k,\dfrac{k-1}{k}, so the product is
12⋅23⋅34⋯910.\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}.
Every numerator cancels the previous denominator, leaving 110.\dfrac{1}{10}.
Thus, the correct answer is A .

10.

¿Qué fracción se encuentra justo a la mitad entre 15\dfrac15 y 13\dfrac13 en la recta numérica?
What fraction lies halfway between 15\dfrac15 and 13\dfrac13 on the number line?
14\dfrac{1}{4}
215\dfrac{2}{15}
415\dfrac{4}{15}
53200\dfrac{53}{200}
815\dfrac{8}{15}
Conceptos:mediafracción
Nivel de dificultad: 730
Pista pequeña:
El punto que está a la mitad entre dos números es su promedio
The point halfway between two numbers is their average
Pista grande:
15+13=815;\dfrac15 + \dfrac13 = \dfrac{8}{15}; luego divide entre 22
15+13=815;\dfrac15 + \dfrac13 = \dfrac{8}{15}; then divide by 22
Solución:
El punto medio de 15\dfrac15 y 13\dfrac13 es su promedio.
15+132=8152=415.\dfrac{\frac15 + \frac13}{2} = \dfrac{\frac{8}{15}}{2} = \dfrac{4}{15}.
Así, la respuesta correcta es C.
The midpoint of 15\dfrac15 and 13\dfrac13 is their average.
15+132=8152=415.\dfrac{\frac15 + \frac13}{2} = \dfrac{\frac{8}{15}}{2} = \dfrac{4}{15}.
Thus, the correct answer is C .

11.

Una hoja de papel formada por seis cuadrados unidos, rotulados como se muestra, se dobla a lo largo de los bordes de los cuadrados para formar un cubo. La etiqueta de la cara opuesta a la cara rotulada XX es
A piece of paper containing six joined squares labeled as shown is folded along the edges of the squares to form a cube. The label of the face opposite the face labeled XX is
ZZ
UU
VV
WW
YY
Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)geometría del cubo
Nivel de dificultad: 920
Pista pequeña:
Elige una cara como frente y dobla el resto de la plantilla a su alrededor
Pick one face to be the front and fold the rest of the net around it
Pista grande:
Si XX queda como la cara inferior, sigue qué cuadrado termina arriba
If XX becomes the bottom face, track which square ends up on top
Solución:
Dobla la plantilla de modo que XX sea la cara inferior. Entonces U,U, V,V, W,W, y ZZ se pliegan para formar las cuatro caras laterales.
El único cuadrado que queda, Y,Y, se convierte en la cara superior, que es opuesta a la cara inferior X.X.
Así, la respuesta correcta es E.
Fold the net so that XX is the bottom face. Then U,U, V,V, W,W, and ZZ wrap around to become the four side faces.
The only remaining square, Y,Y, becomes the top face, which is opposite the bottom face X.X.
Thus, the correct answer is E .

12.

Un cuadrado y un triángulo tienen perímetros iguales. Las longitudes de los tres lados del triángulo son 6.26.2 cm, 8.38.3 cm y 9.59.5 cm. El área del cuadrado, en centímetros cuadrados, es
A square and a triangle have equal perimeters. The lengths of the three sides of the triangle are 6.26.2 cm, 8.38.3 cm, and 9.59.5 cm. The area of the square, in square centimeters, is
24 cm224 \text{ cm}^2
36 cm236 \text{ cm}^2
48 cm248 \text{ cm}^2
64 cm264 \text{ cm}^2
144 cm2144 \text{ cm}^2
Conceptos:perímetrocuadrado (geometría)
Nivel de dificultad: 730
Pista pequeña:
Suma los tres lados del triángulo para obtener el perímetro común
Add the triangle’s three sides to get the common perimeter
Pista grande:
El lado del cuadrado es la cuarta parte de su perímetro
The square’s side is one fourth of its perimeter
Solución:
El perímetro del triángulo es 6.2+8.3+9.5=246.2 + 8.3 + 9.5 = 24 cm, así que el cuadrado también tiene perímetro 2424 cm.
El lado del cuadrado es 244=6\dfrac{24}{4} = 6 cm, así que su área es 62=36 cm2.6^2 = 36 \text{ cm}^2.
Así, la respuesta correcta es B.
The triangle’s perimeter is 6.2+8.3+9.5=246.2 + 8.3 + 9.5 = 24 cm, so the square also has perimeter 2424 cm.
The square’s side is 244=6\dfrac{24}{4} = 6 cm, so its area is 62=36 cm2.6^2 = 36 \text{ cm}^2.
Thus, the correct answer is B .

13.

Si caminas durante 4545 minutos a una velocidad de 44 mph y luego corres durante 3030 minutos a una velocidad de 1010 mph, ¿cuántas millas has recorrido al final de una hora y 1515 minutos?
If you walk for 4545 minutes at a rate of 44 mph and then run for 3030 minutes at a rate of 1010 mph, how many miles have you gone at the end of one hour and 1515 minutes?
3.53.5 millas
3.53.5 miles
88 millas
88 miles
99 millas
99 miles
251325\dfrac13 millas
251325\dfrac13 miles
480480 millas
480480 miles
Conceptos:distancia, velocidad y tiempoconversión de unidades
Nivel de dificultad: 820
Pista pequeña:
Convierte cada tiempo a horas: 4545 minutos =34= \dfrac34 de hora y 3030 minutos =12= \dfrac12 de hora
Convert each time to hours: 4545 minutes =34= \dfrac34 hour and 3030 minutes =12= \dfrac12 hour
Pista grande:
Distancia == velocidad ×\times tiempo para cada parte, y luego suma las dos distancias
Distance == rate ×\times time for each part, then add the two distances
Solución:
Caminando: 4×34=34 \times \dfrac34 = 3 millas. Corriendo: 10×12=510 \times \dfrac12 = 5 millas.
La distancia total es 3+5=83 + 5 = 8 millas.
Así, la respuesta correcta es B.
Walking: 4×34=34 \times \dfrac34 = 3 miles. Running: 10×12=510 \times \dfrac12 = 5 miles.
The total distance is 3+5=83 + 5 = 8 miles.
Thus, the correct answer is B .

14.

La diferencia entre un impuesto sobre las ventas del 6.5%6.5\% y uno del 6%6\% sobre un artículo con precio de $20\$20 antes de impuestos es
The difference between a 6.5%6.5\% sales tax and a 6%6\% sales tax on an item priced at $20\$20 before tax is
$0.01\$0.01
$0.10\$0.10
$0.50\$0.50
$1\$1
$10\$10
Conceptos:porcentaje
Nivel de dificultad: 730
Pista pequeña:
La diferencia entre las tasas de impuesto es 6.5%−6%=0.5%6.5\% - 6\% = 0.5\%
The difference in tax rates is 6.5%−6%=0.5%6.5\% - 6\% = 0.5\%
Pista grande:
Halla el 0.5%0.5\% de $20\$20
Find 0.5%0.5\% of $20\$20
Solución:
Los dos impuestos difieren en un 0.5%0.5\% del precio.
Es decir, 0.005×$20=$0.10.0.005 \times \$20 = \$0.10.
Así, la respuesta correcta es B.
The two taxes differ by 0.5%0.5\% of the price.
That is 0.005×$20=$0.10.0.005 \times \$20 = \$0.10.
Thus, the correct answer is B .

15.

¿Cuántos números enteros entre 100100 y 400400 contienen el dígito 22?
How many whole numbers between 100100 and 400400 contain the digit 2?2?
100100
120120
138138
140140
148148
Conceptos:dígitosinclusión-exclusiónanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1050
Pista pequeña:
Todos los números del 200200 al 299299 ya contienen un 22
Every number from 200200 to 299299 already contains a 22
Pista grande:
Para 100100–199199 y 300300–399,399, cuenta los que tienen un 22 en la posición de las decenas o de las unidades, restando los que se contaron dos veces
For 100100–199199 and 300300–399,399, count those with a 22 in the tens or units place, subtracting the ones counted twice
Solución:
Los 100100 números del 200200 al 299299 contienen un 2.2.
Entre 100100 y 199,199, hay 1010 con un 22 en las decenas y 1010 con un 22 en las unidades, pero 122122 se cuenta dos veces, lo que da 10+10−1=19.10 + 10 - 1 = 19. El rango de 300300 a 399399 aporta igualmente 19.19.
El total es 100+19+19=138.100 + 19 + 19 = 138.
Así, la respuesta correcta es C.
All 100100 numbers from 200200 to 299299 contain a 2.2.
Among 100100 to 199,199, there are 1010 with a 22 in the tens place and 1010 with a 22 in the units place, but 122122 is counted twice, giving 10+10−1=19.10 + 10 - 1 = 19. The range 300300 to 399399 similarly contributes 19.19.
The total is 100+19+19=138.100 + 19 + 19 = 138.
Thus, the correct answer is C .

16.

La razón de niños a niñas en la clase de matemáticas del señor Brown es 2:3.2 : 3. Si hay 3030 estudiantes en la clase, ¿cuántas niñas más que niños hay en la clase?
The ratio of boys to girls in Mr. Brown’s math class is 2:3.2 : 3. If there are 3030 students in the class, how many more girls than boys are in the class?
11
33
55
66
1010
Conceptos:razón y proporción
Nivel de dificultad: 730
Pista pequeña:
La clase se divide en 2+3=52 + 3 = 5 partes iguales
The class splits into 2+3=52 + 3 = 5 equal parts
Pista grande:
Las niñas superan a los niños en exactamente una parte; halla cuántos estudiantes hay en una parte
Girls exceed boys by exactly one part, so find the size of one part
Solución:
Los 3030 estudiantes se dividen en 55 partes iguales de 6.6. Los niños forman 22 partes (1212) y las niñas 33 partes (1818).
Por lo tanto, hay 18−12=618 - 12 = 6 niñas más que niños.
Así, la respuesta correcta es D.
The 3030 students split into 55 equal parts of 6.6. Boys make up 22 parts (1212) and girls 33 parts (1818).
So there are 18−12=618 - 12 = 6 more girls than boys.
Thus, the correct answer is D .

17.

Si tu promedio en tus primeras seis pruebas de matemáticas fue 8484 y tu promedio en tus primeras siete pruebas de matemáticas fue 85,85, entonces tu calificación en la séptima prueba fue
If your average score on your first six mathematics tests was 8484 and your average score on your first seven mathematics tests was 85,85, then your score on the seventh test was
8686
8888
9090
9191
9292
Conceptos:media
Nivel de dificultad: 820
Pista pequeña:
El total de siete pruebas es 7×85,7 \times 85, y el total de seis pruebas es 6×846 \times 84
The total for seven tests is 7×85,7 \times 85, and the total for six tests is 6×846 \times 84
Pista grande:
La séptima calificación es la diferencia entre esos dos totales
The seventh score is the difference between those two totals
Solución:
Siete pruebas con promedio 8585 suman 7×85=5957 \times 85 = 595 puntos; seis pruebas con promedio 8484 suman 6×84=5046 \times 84 = 504 puntos.
La séptima calificación es 595−504=91.595 - 504 = 91.
Así, la respuesta correcta es D.
Seven tests averaging 8585 total 7×85=5957 \times 85 = 595 points; six tests averaging 8484 total 6×84=5046 \times 84 = 504 points.
The seventh score is 595−504=91.595 - 504 = 91.
Thus, the correct answer is D .

18.

Nueve copias de cierto folleto cuestan menos de $10.00\$10.00 mientras que diez copias del mismo folleto (al mismo precio) cuestan más de $11.00.\$11.00. ¿Cuánto cuesta una copia de este folleto?
Nine copies of a certain pamphlet cost less than $10.00\$10.00 while ten copies of the same pamphlet (at the same price) cost more than $11.00.\$11.00. How much does one copy of this pamphlet cost?
$1.07\$1.07
$1.08\$1.08
$1.09\$1.09
$1.10\$1.10
$1.11\$1.11
Conceptos:desigualdadacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 950
Pista pequeña:
Sea el precio p;p; entonces 9p<109p \lt 10 y 10p>1110p \gt 11
Let the price be p;p; then 9p<109p \lt 10 and 10p>1110p \gt 11
Pista grande:
Combina para obtener 1.10<p<1.111…1.10 \lt p \lt 1.111\ldots y halla el precio en centavos enteros
Combine into 1.10<p<1.111…1.10 \lt p \lt 1.111\ldots and find the price in whole cents
Solución:
De 9p<109p \lt 10 obtenemos p<1.111…,p \lt 1.111\ldots, y de 10p>1110p \gt 11 obtenemos p>1.10.p \gt 1.10.
El único precio en centavos enteros entre $1.10\$1.10 y $1.111…\$1.111\ldots es $1.11.\$1.11.
Así, la respuesta correcta es E.
From 9p<109p \lt 10 we get p<1.111…,p \lt 1.111\ldots, and from 10p>1110p \gt 11 we get p>1.10.p \gt 1.10.
The only price in whole cents between $1.10\$1.10 and $1.111…\$1.111\ldots is $1.11.\$1.11.
Thus, the correct answer is E .

19.

Si el largo y el ancho de un rectángulo se aumentan cada uno en un 10%,10\%, entonces el perímetro del rectángulo aumenta en
If the length and width of a rectangle are each increased by 10%,10\%, then the perimeter of the rectangle is increased by
1%1\%
10%10\%
20%20\%
21%21\%
40%40\%
Conceptos:porcentajeperímetro
Nivel de dificultad: 800
Pista pequeña:
El perímetro es 2(ℓ+w)2(\ell + w)
The perimeter is 2(ℓ+w)2(\ell + w)
Pista grande:
Multiplicar tanto ℓ\ell como ww por 1.11.1 multiplica todo el perímetro por 1.11.1
Multiplying both ℓ\ell and ww by 1.11.1 multiplies the whole perimeter by 1.11.1
Solución:
El nuevo perímetro es 2(1.1ℓ+1.1w)=1.1⋅2(ℓ+w),2(1.1\ell + 1.1w) = 1.1 \cdot 2(\ell + w), que es 1.11.1 veces el perímetro anterior.
Eso es un aumento del 10%10\%.
Así, la respuesta correcta es B.
The new perimeter is 2(1.1ℓ+1.1w)=1.1⋅2(ℓ+w),2(1.1\ell + 1.1w) = 1.1 \cdot 2(\ell + w), which is 1.11.1 times the old perimeter.
That is a 10%10\% increase.
Thus, the correct answer is B .

20.

En cierto año, enero tuvo exactamente cuatro martes y cuatro sábados. ¿En qué día de la semana cayó el 11 de enero de ese año?
In a certain year, January had exactly four Tuesdays and four Saturdays. On what day did January 11 fall that year?
lunes
Monday
martes
Tuesday
miércoles
Wednesday
viernes
Friday
sábado
Saturday
Conceptos:fecha y horaaritmética modular
Nivel de dificultad: 1090
Pista pequeña:
Enero tiene 3131 días, es decir, 44 semanas completas más 33 días adicionales
January has 3131 days, which is 44 full weeks plus 33 extra days
Pista grande:
Los tres días de la semana que aparecen cinco veces son los correspondientes al 1,1, el 2,2, y el 3;3; el martes y el sábado no deben estar entre ellos
The three weekdays that occur five times are the days of January 1,1, 2,2, and 3;3; Tuesday and Saturday must not be among them
Solución:
Como 31=4⋅7+3,31 = 4 \cdot 7 + 3, los días de la semana que caen el 1,1, 2,2, y 33 de enero ocurren cinco veces ese mes, y todos los demás días de la semana ocurren cuatro veces.
Para que el martes y el sábado ocurran solo cuatro veces, ninguno de ellos puede ser el día 1,1, 2,2, o 3.3. El único día de inicio que funciona es el miércoles: entonces el miércoles, el jueves y el viernes ocurren cinco veces, mientras que el martes y el sábado ocurren cuatro veces cada uno.
Así, la respuesta correcta es C.
Since 31=4⋅7+3,31 = 4 \cdot 7 + 3, the weekdays falling on January 1,1, 2,2, and 33 each occur five times that month, and every other weekday occurs four times.
For Tuesday and Saturday to occur only four times, neither may be January 1,1, 2,2, or 3.3. The only starting day that works is Wednesday: then Wednesday, Thursday, and Friday occur five times, while Tuesday and Saturday each occur four times.
Thus, the correct answer is C .

21.

El señor Green recibe un aumento del 10%10\% cada año. Después de cuatro aumentos de ese tipo, ¿en qué porcentaje ha aumentado su salario?
Mr. Green receives a 10%10\% raise every year. His salary after four such raises has gone up by what percent?
menos del 40%40\%
less than 40%40\%
40%40\%
44%44\%
45%45\%
más del 45%45\%
more than 45%45\%
Conceptos:porcentajeexponente
Nivel de dificultad: 950
Pista pequeña:
Aplicar un aumento del 10%10\% multiplica el salario por 1.11.1
Applying a 10%10\% raise multiplies the salary by 1.11.1
Pista grande:
Después de cuatro aumentos el salario se multiplica por 1.14;1.1^4; compara eso con 1.451.45
After four raises the salary is multiplied by 1.14;1.1^4; compare that to 1.451.45
Solución:
Después de cuatro aumentos el salario se multiplica por 1.14=1.4641.1.1^4 = 1.4641.
Eso es un aumento del 46.41%,46.41\%, que es más del 45%.45\%.
Así, la respuesta correcta es E.
After four raises the salary is multiplied by 1.14=1.4641.1.1^4 = 1.4641.
That is an increase of 46.41%,46.41\%, which is more than 45%.45\%.
Thus, the correct answer is E .

22.

Supón que todo número entero de 77 dígitos es un posible número de teléfono, excepto los que empiezan con 00 o 1.1. ¿Qué fracción de los números de teléfono corresponde a los que empiezan con 99 y terminan con 00?
Assume every 77-digit whole number is a possible telephone number except those that begin with 00 or 1.1. What fraction of telephone numbers begin with 99 and end with 0?0?
163\dfrac{1}{63}
180\dfrac{1}{80}
181\dfrac{1}{81}
190\dfrac{1}{90}
1100\dfrac{1}{100}
Conceptos:probabilidad básicaprincipio de multiplicación
Nivel de dificultad: 1000
Pista pequeña:
El primer dígito puede ser cualquiera de 22 a 9,9, lo que da 88 opciones
The first digit can be any of 22 through 9,9, which is 88 choices
Pista grande:
Multiplica la fracción que empieza con 99 por la fracción que termina en 00
Multiply the fraction of telephone numbers that begin with 99 by the fraction that end in 00
Solución:
El primer dígito es uno de 88 dígitos permitidos (22 a 99), así que 18\dfrac18 de los números empieza con 9.9. El último dígito puede ser cualquiera de 1010 dígitos, así que 110\dfrac{1}{10} termina en 0.0.
Estas condiciones son independientes, así que la fracción es 18⋅110=180.\dfrac18 \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{80}.
Así, la respuesta correcta es B.
The first digit is one of 88 allowed digits (22 through 99), so 18\dfrac18 of the numbers begin with 9.9. The last digit is any of 1010 digits, so 110\dfrac{1}{10} end in 0.0.
These conditions are independent, so the fraction is 18⋅110=180.\dfrac18 \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{80}.
Thus, the correct answer is B .

23.

La Escuela Intermedia King tiene 12001200 estudiantes. Cada estudiante toma 55 clases al día. Cada maestro imparte 44 clases. Cada clase tiene 3030 estudiantes y 11 maestro. ¿Cuántos maestros hay en la Escuela Intermedia King?
King Middle School has 12001200 students. Each student takes 55 classes a day. Each teacher teaches 44 classes. Each class has 3030 students and 11 teacher. How many teachers are there at King Middle School?
3030
3232
4040
4545
5050
Conceptos:doble conteo
Nivel de dificultad: 950
Pista pequeña:
Cuenta el número total de asistencias estudiante-clase: 1200×51200 \times 5
Count the total number of student-class attendances: 1200×51200 \times 5
Pista grande:
Divide entre 3030 para obtener el número de clases, y luego entre 44 para obtener el número de maestros
Divide by 3030 to get the number of classes, then by 44 to get the number of teachers
Solución:
Cada día hay 1200×5=60001200 \times 5 = 6000 asistencias estudiante-clase. Como cada clase tiene 3030 estudiantes, hay 600030=200\dfrac{6000}{30} = 200 clases.
Cada maestro imparte 44 clases, así que hay 2004=50\dfrac{200}{4} = 50 maestros.
Así, la respuesta correcta es E.
Each day there are 1200×5=60001200 \times 5 = 6000 student-class attendances. Since each class holds 3030 students, there are 600030=200\dfrac{6000}{30} = 200 classes.
Each teacher teaches 44 classes, so there are 2004=50\dfrac{200}{4} = 50 teachers.
Thus, the correct answer is E .

24.

En un triángulo mágico, cada uno de los seis números enteros del 1010 al 1515 se coloca en uno de los círculos de modo que la suma SS de los tres números de cada lado del triángulo sea la misma. El mayor valor posible de SS es
In a magic triangle, each of the six whole numbers 1010 through 1515 is placed in one of the circles so that the sum SS of the three numbers on each side of the triangle is the same. The largest possible value for SS is
3636
3737
3838
3939
4040
Conceptos:cuadrado mágicooptimización
Nivel de dificultad: 1140
Pista pequeña:
Al sumar las tres sumas de los lados, cada número de vértice se cuenta dos veces y cada número de punto medio una vez
Adding the three side sums counts each corner number twice and each midpoint number once
Pista grande:
Sea CC la suma de los números de los vértices. Entonces 3S=75+C;3S = 75 + C; coloca los tres números más grandes en los vértices
Let CC be the sum of the corner numbers. Then 3S=75+C;3S = 75 + C; put the three largest numbers at the corners
Solución:
Sea CC la suma de los números de los vértices. Al sumar las tres sumas de los lados se obtiene 3S=75+C,3S = 75 + C, porque los seis números suman 7575 y cada vértice se cuenta una vez más. Para maximizar S,S, coloca los tres números más grandes 13,13, 14,14, 1515 en los vértices, lo que da C=42.C = 42.
Entonces 3S=75+42=117,3S = 75 + 42 = 117, así que S=39.S = 39. Esto se puede lograr colocando 1212 entre los vértices 1313 y 14,14, colocando 1010 entre 1414 y 15,15, y colocando 1111 entre 1515 y 13.13.
Así, la respuesta correcta es D.
Let CC be the sum of the corner numbers. Adding the three side sums gives 3S=75+C,3S = 75 + C, because the six numbers sum to 7575 and every corner is counted one extra time. To maximize S,S, place the three largest numbers 13,13, 14,14, 1515 at the corners, giving C=42.C = 42.
Then 3S=75+42=117,3S = 75 + 42 = 117, so S=39.S = 39. This is achievable: put 1212 between corners 1313 and 14,14, put 1010 between 1414 and 15,15, and put 1111 between 1515 and 13.13.
Thus, the correct answer is D .

25.

Cinco cartas están sobre una mesa. Cada carta tiene una letra en un lado y un número entero en el otro. Las caras visibles muestran P,P, Q,Q, 3,3, 4,4, y 6.6. Jane dijo: “Si en un lado de cualquier carta hay una vocal, entonces en el otro lado hay un número par.” Mary demostró que Jane estaba equivocada volteando una carta. ¿Qué carta volteó Mary?
Five cards are lying on a table. Each card has a letter on one side and a whole number on the other side. The visible faces show P,P, Q,Q, 3,3, 4,4, and 6.6. Jane said, “If a vowel is on one side of any card, then an even number is on the other side.” Mary showed Jane was wrong by turning over one card. Which card did Mary turn over?
33
44
66
PP
QQ
Conceptos:deducción lógicacontraejemplo
Nivel de dificultad: 1140
Pista pequeña:
Para refutar la regla, encuentra una carta que pueda ocultar una vocal emparejada con un número impar
To disprove the rule, find a card that could hide a vowel paired with an odd number
Pista grande:
Ninguna vocal está visible (PP y QQ son consonantes), así que la carta que hay que revisar es la que muestra un número impar
No vowel is visible (PP and QQ are consonants), so the card to check is the one showing an odd number
Solución:
Para mostrar que la regla “una vocal implica un número par” es falsa, Mary necesita una carta con una vocal en un lado y un número impar en el otro. Ninguna carta muestra una vocal, ya que PP y QQ son consonantes.
La única carta que muestra un número impar es 3.3. Al voltearla se revela una vocal, lo que contradice la afirmación de Jane.
Así, la respuesta correcta es A.
To show the rule “a vowel forces an even number” is false, Mary needs a card with a vowel on one side and an odd number on the other. No card shows a vowel, since PP and QQ are consonants.
The only card showing an odd number is 3.3. Turning it over reveals a vowel, which contradicts Jane’s claim.
Thus, the correct answer is A .