Soluciones del 1985 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor del siguiente producto?

$\dfrac{3 \times 5}{9 \times 11} \times \dfrac{7 \times 9 \times 11}{3 \times 5 \times 7}$

What is the value of the following product?

$\dfrac{3 \times 5}{9 \times 11} \times \dfrac{7 \times 9 \times 11}{3 \times 5 \times 7}$

$1$

$0$

$49$

$\dfrac{1}{49}$

$50$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Al combinar las dos fracciones, el numerador es $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11$ y el denominador es $9 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7.$ Es el mismo producto.

Por lo tanto, el valor es $1.$

Así, la respuesta correcta es A.

Combining the two fractions, the numerator is $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11$ and the denominator is $9 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7.$ These are the same product.

So the value is $1.$

Thus, the correct answer is A .

2.

¿Cuál es el valor de $90 + 91 + 92 + \cdots + 98 + 99$ ?

What is the value of $90 + 91 + 92 + \cdots + 98 + 99?$

$845$

$945$

$1005$

$1025$

$1045$

Conceptos:sucesión aritmética emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 450

Solución:

Hay $10$ términos. El promedio del primero y el último es $\dfrac{90 + 99}{2} = 94.5.$

Por lo tanto, la suma es $10 \cdot 94.5 = 945.$

Así, la respuesta correcta es B.

There are $10$ terms. The average of the first and last is $\dfrac{90 + 99}{2} = 94.5.$

So the sum is $10 \cdot 94.5 = 945.$

Thus, the correct answer is B .

3.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\dfrac{10^7}{5 \times 10^4}$

What is the value of the following expression?

$\dfrac{10^7}{5 \times 10^4}$

$0.002$

$0.2$

$20$

$200$

$2000$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Como $\dfrac{10^7}{10^4} = 10^3 = 1000,$ la expresión es $\dfrac{1000}{5} = 200.$

Así, la respuesta correcta es D.

Since $\dfrac{10^7}{10^4} = 10^3 = 1000,$ the expression is $\dfrac{1000}{5} = 200.$

Thus, the correct answer is D .

4.

El área del polígono $ABCDEF,$ en unidades cuadradas, es

The area of polygon $ABCDEF,$ in square units, is

$24$

$30$

$46$

$66$

$74$

Conceptos:área descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 820

Solución:

Al completar la figura hasta el rectángulo entero de $6 \times 9$ se obtiene un área de $54.$ La pieza retirada de la esquina inferior izquierda es un rectángulo que mide $2$ por $4,$ con área $8.$

Por lo tanto, el área del polígono es $54 - 8 = 46.$

Así, la respuesta correcta es C.

Completing the figure to the full $6 \times 9$ rectangle gives an area of $54.$ The piece removed from the lower-left corner is a rectangle measuring $2$ by $4,$ with area $8.$

So the polygon's area is $54 - 8 = 46.$

Thus, the correct answer is C .

5.

Las calificaciones de una clase de matemáticas en el último período de evaluación fueron: $5$ estudiantes obtuvieron una A, $4$ una B, $3$ una C, $3$ una D y $5$ una F. Si A, B, C y D son calificaciones satisfactorias, ¿qué fracción de las calificaciones es satisfactoria?

The grades in a mathematics class for the last grading period were: $5$ students earned an A, $4$ earned a B, $3$ earned a C, $3$ earned a D, and $5$ earned an F. If A, B, C, and D are satisfactory grades, what fraction of the grades are satisfactory?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{9}{10}$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas fracción

Nivel de dificultad: 660

Solución:

Las calificaciones satisfactorias suman $5 + 4 + 3 + 3 = 15,$ y el número total de calificaciones es $15 + 5 = 20.$

Por lo tanto, la fracción satisfactoria es $\dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}.$

Así, la respuesta correcta es C.

The satisfactory grades number $5 + 4 + 3 + 3 = 15,$ and the total number of grades is $15 + 5 = 20.$

So the fraction that is satisfactory is $\dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is C .

6.

Una resma de papel que contiene $500$ hojas tiene $5$ cm de grosor. ¿Aproximadamente cuántas hojas de este tipo de papel habría en una pila de $7.5$ cm de altura?

A ream of paper containing $500$ sheets is $5$ cm thick. Approximately how many sheets of this type of paper would there be in a stack $7.5$ cm high?

$250$

$550$

$667$

$750$

$1250$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Como $7.5$ cm es $1.5$ veces $5$ cm, la pila contiene $1.5$ veces más hojas.

Es decir, $1.5 \times 500 = 750$ hojas.

Así, la respuesta correcta es D.

Since $7.5$ cm is $1.5$ times $5$ cm, the stack holds $1.5$ times as many sheets.

That is $1.5 \times 500 = 750$ sheets.

Thus, the correct answer is D .

7.

Una figura de "escalones" está formada por cuadrados negros y blancos que se alternan en cada fila. Se muestran las filas $1$ a $4$ . Todas las filas empiezan y terminan con un cuadrado blanco. El número de cuadrados negros en la fila $37$ es

A "stair-step" figure is made up of alternating black and white squares in each row. Rows $1$ through $4$ are shown. All rows begin and end with a white square. The number of black squares in the $37$ th row is

$34$

$35$

$36$

$37$

$38$

Conceptos:reconocimiento de patrones conteo básico

Nivel de dificultad: 860

Solución:

La fila $n$ contiene $2n - 1$ cuadrados. Como ambos extremos son blancos y los colores se alternan, cada fila tiene un cuadrado blanco más que cuadrados negros, así que el número de cuadrados negros es $n - 1.$

Para la fila $37$ , esto es $37 - 1 = 36.$

Así, la respuesta correcta es C.

Row $n$ contains $2n - 1$ squares. Because both ends are white and the colors alternate, each row has one more white square than black square, so the number of black squares is $n - 1.$

For the $37$ th row, this is $37 - 1 = 36.$

Thus, the correct answer is C .

8.

Si $a = -2,$ el número más grande del conjunto

$\left\{ -3a,\ 4a,\ \dfrac{24}{a},\ a^2,\ 1 \right\}$

es

If $a = -2,$ the largest number in the set

$\left\{ -3a,\ 4a,\ \dfrac{24}{a},\ a^2,\ 1 \right\}$

is

$-3a$

$4a$

$\dfrac{24}{a}$

$a^2$

$1$

Conceptos:sustitución

Nivel de dificultad: 730

Solución:

Al sustituir $a = -2$ se obtienen los valores $-3a = 6,$ $4a = -8,$ $\dfrac{24}{a} = -12,$ $a^2 = 4,$ y $1.$

El mayor de estos es $6,$ que es $-3a.$

Así, la respuesta correcta es A.

Substituting $a = -2$ gives the values $-3a = 6,$ $4a = -8,$ $\dfrac{24}{a} = -12,$ $a^2 = 4,$ and $1.$

The largest of these is $6,$ which is $-3a.$

Thus, the correct answer is A .

9.

¿Cuál es el valor del producto de los $9$ factores de abajo?

$\begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

What is the value of the product of the $9$ factors below?

$\begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{10}{11}$

$\dfrac{11}{2}$

Conceptos:telescópica fracción

Nivel de dificultad: 860

Solución:

Cada factor $1 - \dfrac1k$ es igual a $\dfrac{k-1}{k},$ así que el producto es

$\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}.$

Cada numerador cancela el denominador anterior, y queda $\dfrac{1}{10}.$

Así, la respuesta correcta es A.

Each factor $1 - \dfrac1k$ equals $\dfrac{k-1}{k},$ so the product is

$\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}.$

Every numerator cancels the previous denominator, leaving $\dfrac{1}{10}.$

Thus, the correct answer is A .

10.

¿Qué fracción se encuentra justo a la mitad entre $\dfrac15$ y $\dfrac13$ en la recta numérica?

What fraction lies halfway between $\dfrac15$ and $\dfrac13$ on the number line?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2}{15}$

$\dfrac{4}{15}$

$\dfrac{53}{200}$

$\dfrac{8}{15}$

Conceptos:media fracción

Nivel de dificultad: 730

Solución:

El punto medio de $\dfrac15$ y $\dfrac13$ es su promedio.

$\dfrac{\frac15 + \frac13}{2} = \dfrac{\frac{8}{15}}{2} = \dfrac{4}{15}.$

Así, la respuesta correcta es C.

The midpoint of $\dfrac15$ and $\dfrac13$ is their average.

$\dfrac{\frac15 + \frac13}{2} = \dfrac{\frac{8}{15}}{2} = \dfrac{4}{15}.$

Thus, the correct answer is C .

11.

Una hoja de papel formada por seis cuadrados unidos, rotulados como se muestra, se dobla a lo largo de los bordes de los cuadrados para formar un cubo. La etiqueta de la cara opuesta a la cara rotulada $X$ es

A piece of paper containing six joined squares labeled as shown is folded along the edges of the squares to form a cube. The label of the face opposite the face labeled $X$ is

$Z$

$U$

$V$

$W$

$Y$

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)geometría del cubo

Nivel de dificultad: 920

Solución:

Dobla la plantilla de modo que $X$ sea la cara inferior. Entonces $U,$ $V,$ $W,$ y $Z$ se envuelven para formar las cuatro caras laterales.

El único cuadrado que queda, $Y,$ se convierte en la cara superior, que es opuesta a la cara inferior $X.$

Así, la respuesta correcta es E.

Fold the net so that $X$ is the bottom face. Then $U,$ $V,$ $W,$ and $Z$ wrap around to become the four side faces.

The only remaining square, $Y,$ becomes the top face, which is opposite the bottom face $X.$

Thus, the correct answer is E .

12.

Un cuadrado y un triángulo tienen perímetros iguales. Las longitudes de los tres lados del triángulo son $6.2$ cm, $8.3$ cm y $9.5$ cm. El área del cuadrado, en centímetros cuadrados, es

A square and a triangle have equal perimeters. The lengths of the three sides of the triangle are $6.2$ cm, $8.3$ cm, and $9.5$ cm. The area of the square, in square centimeters, is

$24 \text{ cm}^2$

$36 \text{ cm}^2$

$48 \text{ cm}^2$

$64 \text{ cm}^2$

$144 \text{ cm}^2$

Conceptos:perímetro cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 730

Solución:

El perímetro del triángulo es $6.2 + 8.3 + 9.5 = 24$ cm, así que el cuadrado también tiene perímetro $24$ cm.

El lado del cuadrado es $\dfrac{24}{4} = 6$ cm, así que su área es $6^2 = 36 \text{ cm}^2.$

Así, la respuesta correcta es B.

The triangle's perimeter is $6.2 + 8.3 + 9.5 = 24$ cm, so the square also has perimeter $24$ cm.

The square's side is $\dfrac{24}{4} = 6$ cm, so its area is $6^2 = 36 \text{ cm}^2.$

Thus, the correct answer is B .

13.

Si caminas durante $45$ minutos a una velocidad de $4$ mph y luego corres durante $30$ minutos a una velocidad de $10$ mph, ¿cuántas millas has recorrido al final de una hora y $15$ minutos?

If you walk for $45$ minutes at a rate of $4$ mph and then run for $30$ minutes at a rate of $10$ mph, how many miles have you gone at the end of one hour and $15$ minutes?

$3.5$ millas

$3.5$ miles

$8$ millas

$8$ miles

$9$ millas

$9$ miles

$25\dfrac13$ millas

$25\dfrac13$ miles

$480$ millas

$480$ miles

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 820

Solución:

Caminando: $4 \times \dfrac34 = 3$ millas. Corriendo: $10 \times \dfrac12 = 5$ millas.

La distancia total es $3 + 5 = 8$ millas.

Así, la respuesta correcta es B.

Walking: $4 \times \dfrac34 = 3$ miles. Running: $10 \times \dfrac12 = 5$ miles.

The total distance is $3 + 5 = 8$ miles.

Thus, the correct answer is B .

14.

La diferencia entre un impuesto de venta del $6.5\%$ y uno del $6\%$ sobre un artículo con precio de $ $20$ antes de impuestos es

The difference between a $6.5\%$ sales tax and a $6\%$ sales tax on an item priced at $ $20$ before tax is

$.01

$.10

$.50

$1

$10

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 730

Solución:

Los dos impuestos difieren en un $0.5\%$ del precio.

Es decir, $0.005 \times \$20 = \$0.10.$

Así, la respuesta correcta es B.

The two taxes differ by $0.5\%$ of the price.

That is $0.005 \times \$20 = \$0.10.$

Thus, the correct answer is B .

15.

¿Cuántos números enteros entre $100$ y $400$ contienen el dígito $2$ ?

How many whole numbers between $100$ and $400$ contain the digit $2?$

$100$

$120$

$138$

$140$

$148$

Conceptos:dígitos inclusión-exclusión análisis por casos

Nivel de dificultad: 1050

Solución:

Los $100$ números del $200$ al $299$ contienen un $2.$

Entre $100$ y $199,$ hay $10$ con un $2$ en las decenas y $10$ con un $2$ en las unidades, pero $122$ se cuenta dos veces, lo que da $10 + 10 - 1 = 19.$ El rango de $300$ a $399$ aporta igualmente $19.$

El total es $100 + 19 + 19 = 138.$

Así, la respuesta correcta es C.

All $100$ numbers from $200$ to $299$ contain a $2.$

Among $100$ to $199,$ there are $10$ with a $2$ in the tens place and $10$ with a $2$ in the units place, but $122$ is counted twice, giving $10 + 10 - 1 = 19.$ The range $300$ to $399$ similarly contributes $19.$

The total is $100 + 19 + 19 = 138.$

Thus, the correct answer is C .

16.

La razón de niños a niñas en la clase de matemáticas del señor Brown es $2 : 3.$ Si hay $30$ estudiantes en la clase, ¿cuántas niñas más que niños hay en la clase?

The ratio of boys to girls in Mr. Brown's math class is $2 : 3.$ If there are $30$ students in the class, how many more girls than boys are in the class?

$1$

$3$

$5$

$6$

$10$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 730

Solución:

Los $30$ estudiantes se dividen en $5$ partes iguales de $6.$ Los niños forman $2$ partes ( $12$ ) y las niñas $3$ partes ( $18$ ).

Por lo tanto, hay $18 - 12 = 6$ niñas más que niños.

Así, la respuesta correcta es D.

The $30$ students split into $5$ equal parts of $6.$ Boys make up $2$ parts ( $12$ ) and girls $3$ parts ( $18$ ).

So there are $18 - 12 = 6$ more girls than boys.

Thus, the correct answer is D .

17.

Si tu promedio en tus primeras seis pruebas de matemáticas fue $84$ y tu promedio en tus primeras siete pruebas de matemáticas fue $85,$ entonces tu calificación en la séptima prueba fue

If your average score on your first six mathematics tests was $84$ and your average score on your first seven mathematics tests was $85,$ then your score on the seventh test was

$86$

$88$

$90$

$91$

$92$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 820

Solución:

Siete pruebas con promedio $85$ suman $7 \times 85 = 595$ puntos; seis pruebas con promedio $84$ suman $6 \times 84 = 504$ puntos.

La séptima calificación es $595 - 504 = 91.$

Así, la respuesta correcta es D.

Seven tests averaging $85$ total $7 \times 85 = 595$ points; six tests averaging $84$ total $6 \times 84 = 504$ points.

The seventh score is $595 - 504 = 91.$

Thus, the correct answer is D .

18.

Nueve copias de cierto folleto cuestan menos de $ $10.00$ mientras que diez copias del mismo folleto (al mismo precio) cuestan más de $ $11.00.$ ¿Cuánto cuesta una copia de este folleto?

Nine copies of a certain pamphlet cost less than $ $10.00$ while ten copies of the same pamphlet (at the same price) cost more than $ $11.00.$ How much does one copy of this pamphlet cost?

$1.07

$1.08

$1.09

$1.10

$1.11

Conceptos:desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 950

Solución:

De $9p \lt 10$ obtenemos $p \lt 1.111\ldots,$ y de $10p \gt 11$ obtenemos $p \gt 1.10.$

El único precio en centavos enteros entre $\$1.10$ y $\$1.111\ldots$ es $\$1.11.$

Así, la respuesta correcta es E.

From $9p \lt 10$ we get $p \lt 1.111\ldots,$ and from $10p \gt 11$ we get $p \gt 1.10.$

The only price in whole cents between $\$1.10$ and $\$1.111\ldots$ is $\$1.11.$

Thus, the correct answer is E .

19.

Si el largo y el ancho de un rectángulo se aumentan cada uno en un $10\%,$ entonces el perímetro del rectángulo aumenta en

If the length and width of a rectangle are each increased by $10\%,$ then the perimeter of the rectangle is increased by

$1\%$

$10\%$

$20\%$

$21\%$

$40\%$

Conceptos:porcentaje perímetro

Nivel de dificultad: 800

Solución:

El nuevo perímetro es $2(1.1\ell + 1.1w) = 1.1 \cdot 2(\ell + w),$ que es $1.1$ veces el perímetro anterior.

Eso es un aumento del $10\%$ .

Así, la respuesta correcta es B.

The new perimeter is $2(1.1\ell + 1.1w) = 1.1 \cdot 2(\ell + w),$ which is $1.1$ times the old perimeter.

That is a $10\%$ increase.

Thus, the correct answer is B .

20.

En cierto año, enero tuvo exactamente cuatro martes y cuatro sábados. ¿En qué día de la semana cayó el $1$ de enero de ese año?

In a certain year, January had exactly four Tuesdays and four Saturdays. On what day did January $1$ fall that year?

lunes

Monday

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

viernes

Friday

sábado

Saturday

Conceptos:fecha y hora aritmética modular

Nivel de dificultad: 1090

Solución:

Como $31 = 4 \cdot 7 + 3,$ los días de la semana que caen el $1,$ $2,$ y $3$ de enero ocurren cinco veces ese mes, y todos los demás días de la semana ocurren cuatro veces.

Para que el martes y el sábado ocurran solo cuatro veces, ninguno de ellos puede ser el día $1,$ $2,$ o $3.$ El único día de inicio que funciona es el miércoles: entonces el miércoles, el jueves y el viernes ocurren cinco veces, mientras que el martes y el sábado ocurren cuatro veces cada uno.

Así, la respuesta correcta es C.

Since $31 = 4 \cdot 7 + 3,$ the weekdays falling on January $1,$ $2,$ and $3$ each occur five times that month, and every other weekday occurs four times.

For Tuesday and Saturday to occur only four times, neither may be January $1,$ $2,$ or $3.$ The only starting day that works is Wednesday: then Wednesday, Thursday, and Friday occur five times, while Tuesday and Saturday each occur four times.

Thus, the correct answer is C .

21.

El señor Green recibe un aumento del $10\%$ cada año. Su salario, después de cuatro de esos aumentos, ¿en qué porcentaje ha aumentado?

Mr. Green receives a $10\%$ raise every year. His salary after four such raises has gone up by what percent?

menos del $40\%$

less than $40\%$

$40\%$

$44\%$

$45\%$

más del $45\%$

more than $45\%$

Conceptos:porcentaje exponente

Nivel de dificultad: 950

Solución:

Después de cuatro aumentos el salario se multiplica por $1.1^4 = 1.4641.$

Eso es un aumento del $46.41\%,$ que es más del $45\%.$

Así, la respuesta correcta es E.

After four raises the salary is multiplied by $1.1^4 = 1.4641.$

That is an increase of $46.41\%,$ which is more than $45\%.$

Thus, the correct answer is E .

22.

Supón que todo número entero de $7$ dígitos es un posible número de teléfono, excepto los que empiezan con $0$ o $1.$ ¿Qué fracción de los números de teléfono empieza con $9$ y termina con $0$ ?

Assume every $7$ -digit whole number is a possible telephone number except those that begin with $0$ or $1.$ What fraction of telephone numbers begin with $9$ and end with $0?$

$\dfrac{1}{63}$

$\dfrac{1}{80}$

$\dfrac{1}{81}$

$\dfrac{1}{90}$

$\dfrac{1}{100}$

Conceptos:probabilidad básica principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1000

Solución:

El primer dígito es uno de $8$ dígitos permitidos ( $2$ a $9$ ), así que $\dfrac18$ de los números empieza con $9.$ El último dígito puede ser cualquiera de $10$ dígitos, así que $\dfrac{1}{10}$ termina en $0.$

Estas condiciones son independientes, así que la fracción es $\dfrac18 \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{80}.$

Así, la respuesta correcta es B.

The first digit is one of $8$ allowed digits ( $2$ through $9$ ), so $\dfrac18$ of the numbers begin with $9.$ The last digit is any of $10$ digits, so $\dfrac{1}{10}$ end in $0.$

These conditions are independent, so the fraction is $\dfrac18 \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{80}.$

Thus, the correct answer is B .

23.

La Escuela Intermedia King tiene $1200$ estudiantes. Cada estudiante toma $5$ clases al día. Cada maestro imparte $4$ clases. Cada clase tiene $30$ estudiantes y $1$ maestro. ¿Cuántos maestros hay en la Escuela Intermedia King?

King Middle School has $1200$ students. Each student takes $5$ classes a day. Each teacher teaches $4$ classes. Each class has $30$ students and $1$ teacher. How many teachers are there at King Middle School?

$30$

$32$

$40$

$45$

$50$

Conceptos:doble conteo

Nivel de dificultad: 950

Solución:

Cada día hay $1200 \times 5 = 6000$ asistencias estudiante-clase. Como cada clase tiene $30$ estudiantes, hay $\dfrac{6000}{30} = 200$ clases.

Cada maestro imparte $4$ clases, así que hay $\dfrac{200}{4} = 50$ maestros.

Así, la respuesta correcta es E.

Each day there are $1200 \times 5 = 6000$ student-class attendances. Since each class holds $30$ students, there are $\dfrac{6000}{30} = 200$ classes.

Each teacher teaches $4$ classes, so there are $\dfrac{200}{4} = 50$ teachers.

Thus, the correct answer is E .

24.

Los seis números enteros $10,$ $11,$ $12,$ $13,$ $14,$ y $15$ se colocan en seis círculos, uno en cada uno de los tres vértices de un triángulo y uno en el punto medio de cada lado, de modo que la suma $S$ de los tres números a lo largo de cada lado del triángulo sea la misma. El mayor valor posible de $S$ es

The six whole numbers $10,$ $11,$ $12,$ $13,$ $14,$ and $15$ are placed in six circles — one at each of the three corners of a triangle and one at the midpoint of each side — so that the sum $S$ of the three numbers along each side of the triangle is the same. The largest possible value for $S$ is

$36$

$37$

$38$

$39$

$40$

Conceptos:cuadrado mágico optimización

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Al sumar las tres sumas de los lados se obtiene $3S = (10 + 11 + \cdots + 15)$ $+ (\text{sum of corners})$ $= 75 + (\text{sum of corners}).$ Para maximizar $S,$ coloca los tres números más grandes $13,$ $14,$ $15$ en los vértices, lo que da una suma de vértices de $42.$

Entonces $3S = 75 + 42 = 117,$ así que $S = 39.$ Esto es alcanzable: con vértices $13,$ $14,$ $15$ y puntos medios $12,$ $10,$ $11,$ cada lado suma $39.$

Así, la respuesta correcta es D.

Adding the three side sums gives $3S = (10 + 11 + \cdots + 15)$ $+ (\text{sum of corners})$ $= 75 + (\text{sum of corners}).$ To maximize $S,$ place the three largest numbers $13,$ $14,$ $15$ at the corners, giving corner sum $42.$

Then $3S = 75 + 42 = 117,$ so $S = 39.$ This is achievable: with corners $13,$ $14,$ $15$ and midpoints $12,$ $10,$ $11,$ each side sums to $39.$

Thus, the correct answer is D .

25.

Cinco cartas están sobre una mesa. Cada carta tiene una letra en un lado y un número entero en el otro. Las caras visibles muestran $P,$ $Q,$ $3,$ $4,$ y $6.$ Jane dijo: "Si en un lado de cualquier carta hay una vocal, entonces en el otro lado hay un número par." Mary demostró que Jane estaba equivocada volteando una carta. ¿Qué carta volteó Mary?

Five cards are lying on a table. Each card has a letter on one side and a whole number on the other side. The visible faces show $P,$ $Q,$ $3,$ $4,$ and $6.$ Jane said, "If a vowel is on one side of any card, then an even number is on the other side." Mary showed Jane was wrong by turning over one card. Which card did Mary turn over?

$3$

$4$

$6$

$P$

$Q$

Conceptos:deducción lógica contraejemplo

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Para mostrar que la regla "una vocal obliga a un número par" es falsa, Mary necesita una carta con una vocal en un lado y un número impar en el otro. Ninguna carta muestra una vocal, ya que $P$ y $Q$ son consonantes.

La única carta que muestra un número impar es $3.$ Al voltearla se revela una vocal, lo que contradice la afirmación de Jane.

Así, la respuesta correcta es A.

To show the rule "a vowel forces an even number" is false, Mary needs a card with a vowel on one side and an odd number on the other. No card shows a vowel, since $P$ and $Q$ are consonants.

The only card showing an odd number is $3.$ Turning it over reveals a vowel, which contradicts Jane's claim.

Thus, the correct answer is A .