Soluciones del 1985 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor del siguiente producto?

$\dfrac{3 \times 5}{9 \times 11} \times \dfrac{7 \times 9 \times 11}{3 \times 5 \times 7}$

What is the value of the following product?

$\dfrac{3 \times 5}{9 \times 11} \times \dfrac{7 \times 9 \times 11}{3 \times 5 \times 7}$

$1$

$0$

$49$

$\dfrac{1}{49}$

$50$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Multiplica los numeradores entre sí y los denominadores entre sí antes de simplificar

Multiply the numerators together and the denominators together before simplifying

Pista grande:

Los mismos factores $3,$ $5,$ $7,$ $9,$ $11$ aparecen tanto en el numerador como en el denominador

The same factors $3,$ $5,$ $7,$ $9,$ $11$ appear in both the numerator and the denominator

Solución:

Al combinar las dos fracciones, el numerador es $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11$ y el denominador es $9 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7.$ Es el mismo producto.

Por lo tanto, el valor es $1.$

Así, la respuesta correcta es A.

Combining the two fractions, the numerator is $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11$ and the denominator is $9 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7.$ These are the same product.

So the value is $1.$

Thus, the correct answer is A .

2.

¿Cuál es el valor de $90 + 91 + 92 + \cdots + 98 + 99$ ?

What is the value of $90 + 91 + 92 + \cdots + 98 + 99?$

$845$

$945$

$1005$

$1025$

$1045$

Conceptos:sucesión aritmética emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Hay $10$ términos, desde $90$ hasta $99$

There are $10$ terms, from $90$ up to $99$

Pista grande:

La suma es igual al promedio del primer y el último término multiplicado por el número de términos

The sum equals the average of the first and last term times the number of terms

Solución:

Hay $10$ términos. El promedio del primero y el último es $\dfrac{90 + 99}{2} = 94.5.$

Por lo tanto, la suma es $10 \cdot 94.5 = 945.$

Así, la respuesta correcta es B.

There are $10$ terms. The average of the first and last is $\dfrac{90 + 99}{2} = 94.5.$

So the sum is $10 \cdot 94.5 = 945.$

Thus, the correct answer is B .

3.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\dfrac{10^7}{5 \times 10^4}$

What is the value of the following expression?

$\dfrac{10^7}{5 \times 10^4}$

$0.002$

$0.2$

$20$

$200$

$2000$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

$\dfrac{10^7}{10^4} = 10^3$

Pista grande:

Luego divide $10^3 = 1000$ entre $5$

Then divide $10^3 = 1000$ by $5$

Solución:

Como $\dfrac{10^7}{10^4} = 10^3 = 1000,$ la expresión es $\dfrac{1000}{5} = 200.$

Así, la respuesta correcta es D.

Since $\dfrac{10^7}{10^4} = 10^3 = 1000,$ the expression is $\dfrac{1000}{5} = 200.$

Thus, the correct answer is D .

4.

El área del polígono $ABCDEF,$ en unidades cuadradas, es

The area of polygon $ABCDEF,$ in square units, is

$24$

$30$

$46$

$66$

$74$

Conceptos:área descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Extiende los lados $AF$ y $DC$ para completar un rectángulo entero de $6 \times 9$

Extend sides $AF$ and $DC$ to complete a full $6 \times 9$ rectangle

Pista grande:

Resta el área de la pequeña muesca rectangular que se recortó de la esquina inferior izquierda

Subtract the area of the small rectangular notch that was cut from the lower-left corner

Solución:

Al completar la figura hasta el rectángulo entero de $6 \times 9$ se obtiene un área de $54.$ La pieza retirada de la esquina inferior izquierda es un rectángulo que mide $2$ por $4,$ con área $8.$

Por lo tanto, el área del polígono es $54 - 8 = 46.$

Así, la respuesta correcta es C.

Completing the figure to the full $6 \times 9$ rectangle gives an area of $54.$ The piece removed from the lower-left corner is a rectangle measuring $2$ by $4,$ with area $8.$

So the polygon’s area is $54 - 8 = 46.$

Thus, the correct answer is C .

5.

Las calificaciones de una clase de matemáticas en el último período de evaluación fueron: $5$ estudiantes obtuvieron una A, $4$ una B, $3$ una C, $3$ una D y $5$ una F. Si A, B, C y D son calificaciones aprobatorias, ¿qué fracción de las calificaciones corresponde a notas aprobatorias?

The grades in a mathematics class for the last grading period were: $5$ students earned an A, $4$ earned a B, $3$ earned a C, $3$ earned a D, and $5$ earned an F. If A, B, C, and D are satisfactory grades, what fraction of the grades are satisfactory?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{9}{10}$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas fracción

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Suma las cantidades de estudiantes que obtuvieron A, B, C y D

Add the counts for the satisfactory grades A, B, C, and D

Pista grande:

Divide la cantidad de calificaciones aprobatorias entre el número total de calificaciones

Divide the satisfactory count by the total number of grades

Solución:

Las calificaciones aprobatorias suman $5 + 4 + 3 + 3 = 15,$ y el número total de calificaciones es $15 + 5 = 20.$

Por lo tanto, la fracción de calificaciones aprobatorias es $\dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}.$

Así, la respuesta correcta es C.

The satisfactory grades number $5 + 4 + 3 + 3 = 15,$ and the total number of grades is $15 + 5 = 20.$

So the fraction that is satisfactory is $\dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is C .

6.

Una resma de papel que contiene $500$ hojas tiene $5$ cm de grosor. ¿Aproximadamente cuántas hojas de este tipo de papel habría en una pila de $7.5$ cm de altura?

A ream of paper containing $500$ sheets is $5$ cm thick. Approximately how many sheets of this type of paper would there be in a stack $7.5$ cm high?

$250$

$550$

$667$

$750$

$1250$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

El número de hojas es proporcional a la altura de la pila

The number of sheets is proportional to the height of the stack

Pista grande:

Una pila de $7.5$ cm mide $1.5$ veces la altura de una pila de $5$ cm

A $7.5$ cm stack is $1.5$ times as tall as a $5$ cm stack

Solución:

Como $7.5$ cm es $1.5$ veces $5$ cm, la pila contiene $1.5$ veces el número de hojas.

Es decir, $1.5 \times 500 = 750$ hojas.

Así, la respuesta correcta es D.

Since $7.5$ cm is $1.5$ times $5$ cm, the stack holds $1.5$ times as many sheets.

That is $1.5 \times 500 = 750$ sheets.

Thus, the correct answer is D .

7.

Una figura de “escalones” está formada por cuadrados sombreados y sin sombrear que se alternan en cada fila. Se muestran las filas $1$ a $4$ . Todas las filas empiezan y terminan con un cuadrado sin sombrear. El número de cuadrados sombreados en la fila $37$ es

A “stair-step” figure is made up of alternating shaded and unshaded squares in each row. Rows $1$ through $4$ are shown. All rows begin and end with an unshaded square. The number of shaded squares in the $37$ th row is

$34$

$35$

$36$

$37$

$38$

Conceptos:reconocimiento de patrones conteo básico

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

La fila $n$ tiene $2n - 1$ cuadrados, y se alternan empezando y terminando con uno sin sombrear

Row $n$ has $2n - 1$ squares, and they alternate starting and ending with an unshaded square

Pista grande:

Como los extremos están sin sombrear y los cuadrados se alternan, hay un cuadrado sin sombrear más que cuadrados sombreados en cada fila

Since the ends are unshaded and the squares alternate, there is one more unshaded square than shaded square in each row

Solución:

La fila $n$ contiene $2n - 1$ cuadrados. Como ambos extremos están sin sombrear y los cuadrados se alternan, cada fila tiene un cuadrado sin sombrear más que cuadrados sombreados, así que el número de cuadrados sombreados es $n - 1.$

Para la fila $37$ , esto es $37 - 1 = 36.$

Así, la respuesta correcta es C.

Row $n$ contains $2n - 1$ squares. Because both ends are unshaded and the squares alternate, each row has one more unshaded square than shaded square, so the number of shaded squares is $n - 1.$

For the $37$ th row, this is $37 - 1 = 36.$

Thus, the correct answer is C .

8.

Si $a = -2,$ el número más grande del conjunto

$\left\{ -3a,\ 4a,\ \dfrac{24}{a},\ a^2,\ 1 \right\}$

es

If $a = -2,$ the largest number in the set

$\left\{ -3a,\ 4a,\ \dfrac{24}{a},\ a^2,\ 1 \right\}$

is

$-3a$

$4a$

$\dfrac{24}{a}$

$a^2$

$1$

Conceptos:sustitución

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Sustituye $a = -2$ en cada expresión

Substitute $a = -2$ into each expression

Pista grande:

Primero revisa los signos: $4a$ y $\frac{24}{a}$ son negativos, mientras que $-3a$ y $a^2$ son positivos

Check signs first: $4a$ and $\frac{24}{a}$ are negative, while $-3a$ and $a^2$ are positive

Solución:

Al sustituir $a = -2$ se obtienen los valores $-3a = 6,$ $4a = -8,$ $\dfrac{24}{a} = -12,$ $a^2 = 4,$ y $1.$

El mayor de estos es $6,$ que es $-3a.$

Así, la respuesta correcta es A.

Substituting $a = -2$ gives the values $-3a = 6,$ $4a = -8,$ $\dfrac{24}{a} = -12,$ $a^2 = 4,$ and $1.$

The largest of these is $6,$ which is $-3a.$

Thus, the correct answer is A .

9.

¿Cuál es el valor del producto de los $9$ factores de abajo?

$\begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

What is the value of the product of the $9$ factors below?

$\begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{10}{11}$

$\dfrac{11}{2}$

Conceptos:telescópica fracción

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Reescribe cada factor: $1 - \dfrac1k = \dfrac{k-1}{k}$

Rewrite each factor: $1 - \dfrac1k = \dfrac{k-1}{k}$

Pista grande:

Escribe el producto como $\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}$ y observa cómo se cancelan los términos consecutivos

Write the product as $\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}$ and watch consecutive terms cancel

Solución:

Cada factor $1 - \dfrac1k$ es igual a $\dfrac{k-1}{k},$ así que el producto es

$\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}.$

Cada numerador cancela el denominador anterior, y queda $\dfrac{1}{10}.$

Así, la respuesta correcta es A.

Each factor $1 - \dfrac1k$ equals $\dfrac{k-1}{k},$ so the product is

$\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}.$

Every numerator cancels the previous denominator, leaving $\dfrac{1}{10}.$

Thus, the correct answer is A .

10.

¿Qué fracción se encuentra justo a la mitad entre $\dfrac15$ y $\dfrac13$ en la recta numérica?

What fraction lies halfway between $\dfrac15$ and $\dfrac13$ on the number line?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2}{15}$

$\dfrac{4}{15}$

$\dfrac{53}{200}$

$\dfrac{8}{15}$

Conceptos:media fracción

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

El punto que está a la mitad entre dos números es su promedio

The point halfway between two numbers is their average

Pista grande:

$\dfrac15 + \dfrac13 = \dfrac{8}{15};$ luego divide entre $2$

$\dfrac15 + \dfrac13 = \dfrac{8}{15};$ then divide by $2$

Solución:

El punto medio de $\dfrac15$ y $\dfrac13$ es su promedio.

$\dfrac{\frac15 + \frac13}{2} = \dfrac{\frac{8}{15}}{2} = \dfrac{4}{15}.$

Así, la respuesta correcta es C.

The midpoint of $\dfrac15$ and $\dfrac13$ is their average.

$\dfrac{\frac15 + \frac13}{2} = \dfrac{\frac{8}{15}}{2} = \dfrac{4}{15}.$

Thus, the correct answer is C .

11.

Una hoja de papel formada por seis cuadrados unidos, rotulados como se muestra, se dobla a lo largo de los bordes de los cuadrados para formar un cubo. La etiqueta de la cara opuesta a la cara rotulada $X$ es

A piece of paper containing six joined squares labeled as shown is folded along the edges of the squares to form a cube. The label of the face opposite the face labeled $X$ is

$Z$

$U$

$V$

$W$

$Y$

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)geometría del cubo

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Elige una cara como frente y dobla el resto de la plantilla a su alrededor

Pick one face to be the front and fold the rest of the net around it

Pista grande:

Si $X$ queda como la cara inferior, sigue qué cuadrado termina arriba

If $X$ becomes the bottom face, track which square ends up on top

Solución:

Dobla la plantilla de modo que $X$ sea la cara inferior. Entonces $U,$ $V,$ $W,$ y $Z$ se pliegan para formar las cuatro caras laterales.

El único cuadrado que queda, $Y,$ se convierte en la cara superior, que es opuesta a la cara inferior $X.$

Así, la respuesta correcta es E.

Fold the net so that $X$ is the bottom face. Then $U,$ $V,$ $W,$ and $Z$ wrap around to become the four side faces.

The only remaining square, $Y,$ becomes the top face, which is opposite the bottom face $X.$

Thus, the correct answer is E .

12.

Un cuadrado y un triángulo tienen perímetros iguales. Las longitudes de los tres lados del triángulo son $6.2$ cm, $8.3$ cm y $9.5$ cm. El área del cuadrado, en centímetros cuadrados, es

A square and a triangle have equal perimeters. The lengths of the three sides of the triangle are $6.2$ cm, $8.3$ cm, and $9.5$ cm. The area of the square, in square centimeters, is

$24 \text{ cm}^2$

$36 \text{ cm}^2$

$48 \text{ cm}^2$

$64 \text{ cm}^2$

$144 \text{ cm}^2$

Conceptos:perímetro cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Suma los tres lados del triángulo para obtener el perímetro común

Add the triangle’s three sides to get the common perimeter

Pista grande:

El lado del cuadrado es la cuarta parte de su perímetro

The square’s side is one fourth of its perimeter

Solución:

El perímetro del triángulo es $6.2 + 8.3 + 9.5 = 24$ cm, así que el cuadrado también tiene perímetro $24$ cm.

El lado del cuadrado es $\dfrac{24}{4} = 6$ cm, así que su área es $6^2 = 36 \text{ cm}^2.$

Así, la respuesta correcta es B.

The triangle’s perimeter is $6.2 + 8.3 + 9.5 = 24$ cm, so the square also has perimeter $24$ cm.

The square’s side is $\dfrac{24}{4} = 6$ cm, so its area is $6^2 = 36 \text{ cm}^2.$

Thus, the correct answer is B .

13.

Si caminas durante $45$ minutos a una velocidad de $4$ mph y luego corres durante $30$ minutos a una velocidad de $10$ mph, ¿cuántas millas has recorrido al final de una hora y $15$ minutos?

If you walk for $45$ minutes at a rate of $4$ mph and then run for $30$ minutes at a rate of $10$ mph, how many miles have you gone at the end of one hour and $15$ minutes?

$3.5$ millas

$3.5$ miles

$8$ millas

$8$ miles

$9$ millas

$9$ miles

$25\dfrac13$ millas

$25\dfrac13$ miles

$480$ millas

$480$ miles

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Convierte cada tiempo a horas: $45$ minutos $= \dfrac34$ de hora y $30$ minutos $= \dfrac12$ de hora

Convert each time to hours: $45$ minutes $= \dfrac34$ hour and $30$ minutes $= \dfrac12$ hour

Pista grande:

Distancia $=$ velocidad $\times$ tiempo para cada parte, y luego suma las dos distancias

Distance $=$ rate $\times$ time for each part, then add the two distances

Solución:

Caminando: $4 \times \dfrac34 = 3$ millas. Corriendo: $10 \times \dfrac12 = 5$ millas.

La distancia total es $3 + 5 = 8$ millas.

Así, la respuesta correcta es B.

Walking: $4 \times \dfrac34 = 3$ miles. Running: $10 \times \dfrac12 = 5$ miles.

The total distance is $3 + 5 = 8$ miles.

Thus, the correct answer is B .

14.

La diferencia entre un impuesto sobre las ventas del $6.5\%$ y uno del $6\%$ sobre un artículo con precio de $\$20$ antes de impuestos es

The difference between a $6.5\%$ sales tax and a $6\%$ sales tax on an item priced at $\$20$ before tax is

$\$0.01$

$\$0.10$

$\$0.50$

$\$1$

$\$10$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

La diferencia entre las tasas de impuesto es $6.5\% - 6\% = 0.5\%$

The difference in tax rates is $6.5\% - 6\% = 0.5\%$

Pista grande:

Halla el $0.5\%$ de $\$20$

Find $0.5\%$ of $\$20$

Solución:

Los dos impuestos difieren en un $0.5\%$ del precio.

Es decir, $0.005 \times \$20 = \$0.10.$

Así, la respuesta correcta es B.

The two taxes differ by $0.5\%$ of the price.

That is $0.005 \times \$20 = \$0.10.$

Thus, the correct answer is B .

15.

¿Cuántos números enteros entre $100$ y $400$ contienen el dígito $2$ ?

How many whole numbers between $100$ and $400$ contain the digit $2?$

$100$

$120$

$138$

$140$

$148$

Conceptos:dígitos inclusión-exclusión análisis por casos

Nivel de dificultad: 1050

Pista pequeña:

Todos los números del $200$ al $299$ ya contienen un $2$

Every number from $200$ to $299$ already contains a $2$

Pista grande:

Para $100$ – $199$ y $300$ – $399,$ cuenta los que tienen un $2$ en la posición de las decenas o de las unidades, restando los que se contaron dos veces

For $100$ – $199$ and $300$ – $399,$ count those with a $2$ in the tens or units place, subtracting the ones counted twice

Solución:

Los $100$ números del $200$ al $299$ contienen un $2.$

Entre $100$ y $199,$ hay $10$ con un $2$ en las decenas y $10$ con un $2$ en las unidades, pero $122$ se cuenta dos veces, lo que da $10 + 10 - 1 = 19.$ El rango de $300$ a $399$ aporta igualmente $19.$

El total es $100 + 19 + 19 = 138.$

Así, la respuesta correcta es C.

All $100$ numbers from $200$ to $299$ contain a $2.$

Among $100$ to $199,$ there are $10$ with a $2$ in the tens place and $10$ with a $2$ in the units place, but $122$ is counted twice, giving $10 + 10 - 1 = 19.$ The range $300$ to $399$ similarly contributes $19.$

The total is $100 + 19 + 19 = 138.$

Thus, the correct answer is C .

16.

La razón de niños a niñas en la clase de matemáticas del señor Brown es $2 : 3.$ Si hay $30$ estudiantes en la clase, ¿cuántas niñas más que niños hay en la clase?

The ratio of boys to girls in Mr. Brown’s math class is $2 : 3.$ If there are $30$ students in the class, how many more girls than boys are in the class?

$1$

$3$

$5$

$6$

$10$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

La clase se divide en $2 + 3 = 5$ partes iguales

The class splits into $2 + 3 = 5$ equal parts

Pista grande:

Las niñas superan a los niños en exactamente una parte; halla cuántos estudiantes hay en una parte

Girls exceed boys by exactly one part, so find the size of one part

Solución:

Los $30$ estudiantes se dividen en $5$ partes iguales de $6.$ Los niños forman $2$ partes ( $12$ ) y las niñas $3$ partes ( $18$ ).

Por lo tanto, hay $18 - 12 = 6$ niñas más que niños.

Así, la respuesta correcta es D.

The $30$ students split into $5$ equal parts of $6.$ Boys make up $2$ parts ( $12$ ) and girls $3$ parts ( $18$ ).

So there are $18 - 12 = 6$ more girls than boys.

Thus, the correct answer is D .

17.

Si tu promedio en tus primeras seis pruebas de matemáticas fue $84$ y tu promedio en tus primeras siete pruebas de matemáticas fue $85,$ entonces tu calificación en la séptima prueba fue

If your average score on your first six mathematics tests was $84$ and your average score on your first seven mathematics tests was $85,$ then your score on the seventh test was

$86$

$88$

$90$

$91$

$92$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

El total de siete pruebas es $7 \times 85,$ y el total de seis pruebas es $6 \times 84$

The total for seven tests is $7 \times 85,$ and the total for six tests is $6 \times 84$

Pista grande:

La séptima calificación es la diferencia entre esos dos totales

The seventh score is the difference between those two totals

Solución:

Siete pruebas con promedio $85$ suman $7 \times 85 = 595$ puntos; seis pruebas con promedio $84$ suman $6 \times 84 = 504$ puntos.

La séptima calificación es $595 - 504 = 91.$

Así, la respuesta correcta es D.

Seven tests averaging $85$ total $7 \times 85 = 595$ points; six tests averaging $84$ total $6 \times 84 = 504$ points.

The seventh score is $595 - 504 = 91.$

Thus, the correct answer is D .

18.

Nueve copias de cierto folleto cuestan menos de $\$10.00$ mientras que diez copias del mismo folleto (al mismo precio) cuestan más de $\$11.00.$ ¿Cuánto cuesta una copia de este folleto?

Nine copies of a certain pamphlet cost less than $\$10.00$ while ten copies of the same pamphlet (at the same price) cost more than $\$11.00.$ How much does one copy of this pamphlet cost?

$\$1.07$

$\$1.08$

$\$1.09$

$\$1.10$

$\$1.11$

Conceptos:desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 950

Pista pequeña:

Sea el precio $p;$ entonces $9p \lt 10$ y $10p \gt 11$

Let the price be $p;$ then $9p \lt 10$ and $10p \gt 11$

Pista grande:

Combina para obtener $1.10 \lt p \lt 1.111\ldots$ y halla el precio en centavos enteros

Combine into $1.10 \lt p \lt 1.111\ldots$ and find the price in whole cents

Solución:

De $9p \lt 10$ obtenemos $p \lt 1.111\ldots,$ y de $10p \gt 11$ obtenemos $p \gt 1.10.$

El único precio en centavos enteros entre $\$1.10$ y $\$1.111\ldots$ es $\$1.11.$

Así, la respuesta correcta es E.

From $9p \lt 10$ we get $p \lt 1.111\ldots,$ and from $10p \gt 11$ we get $p \gt 1.10.$

The only price in whole cents between $\$1.10$ and $\$1.111\ldots$ is $\$1.11.$

Thus, the correct answer is E .

19.

Si el largo y el ancho de un rectángulo se aumentan cada uno en un $10\%,$ entonces el perímetro del rectángulo aumenta en

If the length and width of a rectangle are each increased by $10\%,$ then the perimeter of the rectangle is increased by

$1\%$

$10\%$

$20\%$

$21\%$

$40\%$

Conceptos:porcentaje perímetro

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

El perímetro es $2(\ell + w)$

The perimeter is $2(\ell + w)$

Pista grande:

Multiplicar tanto $\ell$ como $w$ por $1.1$ multiplica todo el perímetro por $1.1$

Multiplying both $\ell$ and $w$ by $1.1$ multiplies the whole perimeter by $1.1$

Solución:

El nuevo perímetro es $2(1.1\ell + 1.1w) = 1.1 \cdot 2(\ell + w),$ que es $1.1$ veces el perímetro anterior.

Eso es un aumento del $10\%$ .

Así, la respuesta correcta es B.

The new perimeter is $2(1.1\ell + 1.1w) = 1.1 \cdot 2(\ell + w),$ which is $1.1$ times the old perimeter.

That is a $10\%$ increase.

Thus, the correct answer is B .

20.

En cierto año, enero tuvo exactamente cuatro martes y cuatro sábados. ¿En qué día de la semana cayó el $1$ de enero de ese año?

In a certain year, January had exactly four Tuesdays and four Saturdays. On what day did January $1$ fall that year?

lunes

Monday

martes

Tuesday

miércoles

Wednesday

viernes

Friday

sábado

Saturday

Conceptos:fecha y hora aritmética modular

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Enero tiene $31$ días, es decir, $4$ semanas completas más $3$ días adicionales

January has $31$ days, which is $4$ full weeks plus $3$ extra days

Pista grande:

Los tres días de la semana que aparecen cinco veces son los correspondientes al $1,$ el $2,$ y el $3;$ el martes y el sábado no deben estar entre ellos

The three weekdays that occur five times are the days of January $1,$ $2,$ and $3;$ Tuesday and Saturday must not be among them

Solución:

Como $31 = 4 \cdot 7 + 3,$ los días de la semana que caen el $1,$ $2,$ y $3$ de enero ocurren cinco veces ese mes, y todos los demás días de la semana ocurren cuatro veces.

Para que el martes y el sábado ocurran solo cuatro veces, ninguno de ellos puede ser el día $1,$ $2,$ o $3.$ El único día de inicio que funciona es el miércoles: entonces el miércoles, el jueves y el viernes ocurren cinco veces, mientras que el martes y el sábado ocurren cuatro veces cada uno.

Así, la respuesta correcta es C.

Since $31 = 4 \cdot 7 + 3,$ the weekdays falling on January $1,$ $2,$ and $3$ each occur five times that month, and every other weekday occurs four times.

For Tuesday and Saturday to occur only four times, neither may be January $1,$ $2,$ or $3.$ The only starting day that works is Wednesday: then Wednesday, Thursday, and Friday occur five times, while Tuesday and Saturday each occur four times.

Thus, the correct answer is C .

21.

El señor Green recibe un aumento del $10\%$ cada año. Después de cuatro aumentos de ese tipo, ¿en qué porcentaje ha aumentado su salario?

Mr. Green receives a $10\%$ raise every year. His salary after four such raises has gone up by what percent?

menos del $40\%$

less than $40\%$

$40\%$

$44\%$

$45\%$

más del $45\%$

more than $45\%$

Conceptos:porcentaje exponente

Nivel de dificultad: 950

Pista pequeña:

Aplicar un aumento del $10\%$ multiplica el salario por $1.1$

Applying a $10\%$ raise multiplies the salary by $1.1$

Pista grande:

Después de cuatro aumentos el salario se multiplica por $1.1^4;$ compara eso con $1.45$

After four raises the salary is multiplied by $1.1^4;$ compare that to $1.45$

Solución:

Después de cuatro aumentos el salario se multiplica por $1.1^4 = 1.4641.$

Eso es un aumento del $46.41\%,$ que es más del $45\%.$

Así, la respuesta correcta es E.

After four raises the salary is multiplied by $1.1^4 = 1.4641.$

That is an increase of $46.41\%,$ which is more than $45\%.$

Thus, the correct answer is E .

22.

Supón que todo número entero de $7$ dígitos es un posible número de teléfono, excepto los que empiezan con $0$ o $1.$ ¿Qué fracción de los números de teléfono corresponde a los que empiezan con $9$ y terminan con $0$ ?

Assume every $7$ -digit whole number is a possible telephone number except those that begin with $0$ or $1.$ What fraction of telephone numbers begin with $9$ and end with $0?$

$\dfrac{1}{63}$

$\dfrac{1}{80}$

$\dfrac{1}{81}$

$\dfrac{1}{90}$

$\dfrac{1}{100}$

Conceptos:probabilidad básica principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

El primer dígito puede ser cualquiera de $2$ a $9,$ lo que da $8$ opciones

The first digit can be any of $2$ through $9,$ which is $8$ choices

Pista grande:

Multiplica la fracción que empieza con $9$ por la fracción que termina en $0$

Multiply the fraction of telephone numbers that begin with $9$ by the fraction that end in $0$

Solución:

El primer dígito es uno de $8$ dígitos permitidos ( $2$ a $9$ ), así que $\dfrac18$ de los números empieza con $9.$ El último dígito puede ser cualquiera de $10$ dígitos, así que $\dfrac{1}{10}$ termina en $0.$

Estas condiciones son independientes, así que la fracción es $\dfrac18 \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{80}.$

Así, la respuesta correcta es B.

The first digit is one of $8$ allowed digits ( $2$ through $9$ ), so $\dfrac18$ of the numbers begin with $9.$ The last digit is any of $10$ digits, so $\dfrac{1}{10}$ end in $0.$

These conditions are independent, so the fraction is $\dfrac18 \cdot \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{80}.$

Thus, the correct answer is B .

23.

La Escuela Intermedia King tiene $1200$ estudiantes. Cada estudiante toma $5$ clases al día. Cada maestro imparte $4$ clases. Cada clase tiene $30$ estudiantes y $1$ maestro. ¿Cuántos maestros hay en la Escuela Intermedia King?

King Middle School has $1200$ students. Each student takes $5$ classes a day. Each teacher teaches $4$ classes. Each class has $30$ students and $1$ teacher. How many teachers are there at King Middle School?

$30$

$32$

$40$

$45$

$50$

Conceptos:doble conteo

Nivel de dificultad: 950

Pista pequeña:

Cuenta el número total de asistencias estudiante-clase: $1200 \times 5$

Count the total number of student-class attendances: $1200 \times 5$

Pista grande:

Divide entre $30$ para obtener el número de clases, y luego entre $4$ para obtener el número de maestros

Divide by $30$ to get the number of classes, then by $4$ to get the number of teachers

Solución:

Cada día hay $1200 \times 5 = 6000$ asistencias estudiante-clase. Como cada clase tiene $30$ estudiantes, hay $\dfrac{6000}{30} = 200$ clases.

Cada maestro imparte $4$ clases, así que hay $\dfrac{200}{4} = 50$ maestros.

Así, la respuesta correcta es E.

Each day there are $1200 \times 5 = 6000$ student-class attendances. Since each class holds $30$ students, there are $\dfrac{6000}{30} = 200$ classes.

Each teacher teaches $4$ classes, so there are $\dfrac{200}{4} = 50$ teachers.

Thus, the correct answer is E .

24.

En un triángulo mágico, cada uno de los seis números enteros del $10$ al $15$ se coloca en uno de los círculos de modo que la suma $S$ de los tres números de cada lado del triángulo sea la misma. El mayor valor posible de $S$ es

In a magic triangle, each of the six whole numbers $10$ through $15$ is placed in one of the circles so that the sum $S$ of the three numbers on each side of the triangle is the same. The largest possible value for $S$ is

$36$

$37$

$38$

$39$

$40$

Conceptos:cuadrado mágico optimización

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Al sumar las tres sumas de los lados, cada número de vértice se cuenta dos veces y cada número de punto medio una vez

Adding the three side sums counts each corner number twice and each midpoint number once

Pista grande:

Sea $C$ la suma de los números de los vértices. Entonces $3S = 75 + C;$ coloca los tres números más grandes en los vértices

Let $C$ be the sum of the corner numbers. Then $3S = 75 + C;$ put the three largest numbers at the corners

Solución:

Sea $C$ la suma de los números de los vértices. Al sumar las tres sumas de los lados se obtiene $3S = 75 + C,$ porque los seis números suman $75$ y cada vértice se cuenta una vez más. Para maximizar $S,$ coloca los tres números más grandes $13,$ $14,$ $15$ en los vértices, lo que da $C = 42.$

Entonces $3S = 75 + 42 = 117,$ así que $S = 39.$ Esto se puede lograr colocando $12$ entre los vértices $13$ y $14,$ colocando $10$ entre $14$ y $15,$ y colocando $11$ entre $15$ y $13.$

Así, la respuesta correcta es D.

Let $C$ be the sum of the corner numbers. Adding the three side sums gives $3S = 75 + C,$ because the six numbers sum to $75$ and every corner is counted one extra time. To maximize $S,$ place the three largest numbers $13,$ $14,$ $15$ at the corners, giving $C = 42.$

Then $3S = 75 + 42 = 117,$ so $S = 39.$ This is achievable: put $12$ between corners $13$ and $14,$ put $10$ between $14$ and $15,$ and put $11$ between $15$ and $13.$

Thus, the correct answer is D .

25.

Cinco cartas están sobre una mesa. Cada carta tiene una letra en un lado y un número entero en el otro. Las caras visibles muestran $P,$ $Q,$ $3,$ $4,$ y $6.$ Jane dijo: “Si en un lado de cualquier carta hay una vocal, entonces en el otro lado hay un número par.” Mary demostró que Jane estaba equivocada volteando una carta. ¿Qué carta volteó Mary?

Five cards are lying on a table. Each card has a letter on one side and a whole number on the other side. The visible faces show $P,$ $Q,$ $3,$ $4,$ and $6.$ Jane said, “If a vowel is on one side of any card, then an even number is on the other side.” Mary showed Jane was wrong by turning over one card. Which card did Mary turn over?

$3$

$4$

$6$

$P$

$Q$

Conceptos:deducción lógica contraejemplo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Para refutar la regla, encuentra una carta que pueda ocultar una vocal emparejada con un número impar

To disprove the rule, find a card that could hide a vowel paired with an odd number

Pista grande:

Ninguna vocal está visible ( $P$ y $Q$ son consonantes), así que la carta que hay que revisar es la que muestra un número impar

No vowel is visible ( $P$ and $Q$ are consonants), so the card to check is the one showing an odd number

Solución:

Para mostrar que la regla “una vocal implica un número par” es falsa, Mary necesita una carta con una vocal en un lado y un número impar en el otro. Ninguna carta muestra una vocal, ya que $P$ y $Q$ son consonantes.

La única carta que muestra un número impar es $3.$ Al voltearla se revela una vocal, lo que contradice la afirmación de Jane.

Así, la respuesta correcta es A.

To show the rule “a vowel forces an even number” is false, Mary needs a card with a vowel on one side and an odd number on the other. No card shows a vowel, since $P$ and $Q$ are consonants.

The only card showing an odd number is $3.$ Turning it over reveals a vowel, which contradicts Jane’s claim.

Thus, the correct answer is A .