1988 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

El diagrama muestra parte de la escala de un instrumento de medición. La flecha indica una lectura aproximada de

The diagram shows part of a scale of a measuring device. The arrow indicates an approximate reading of

$10.05$

$10.15$

$10.25$

$10.3$

$10.6$

Respuesta: D

Conceptos:estimación

Nivel de dificultad: 370

Solución:

La escala se divide en cuartos entre $10$ y $11,$ así que las marcas interiores caen en $10.25,$ $10.5,$ y $10.75.$

La flecha señala justo después de la marca $10.25$ , así que la lectura está entre $10.25$ y $10.5.$ De las opciones, solo $10.3$ cae en ese rango.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The scale is divided into fourths between $10$ and $11,$ so the interior tick marks fall at $10.25,$ $10.5,$ and $10.75.$

The arrow points just past the $10.25$ mark, so the reading is between $10.25$ and $10.5.$ Of the choices, only $10.3$ lies in that range.

Thus, the correct answer is D .

2.

¿Cuál es el producto $8 \times .25 \times 2 \times .125$ ?

What is the product $8 \times .25 \times 2 \times .125?$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$2$

Respuesta: C

Conceptos:fracción decimal

Nivel de dificultad: 450

Solución:

Escribe los decimales como fracciones: $8 \times \dfrac14 \times 2 \times \dfrac18.$

Agrupando, $\left(8 \times \dfrac18\right)\left(\dfrac14 \times 2\right)$ $= 1 \times \dfrac12$ $= \dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Write the decimals as fractions: $8 \times \dfrac14 \times 2 \times \dfrac18.$

Grouping, $\left(8 \times \dfrac18\right)\left(\dfrac14 \times 2\right)$ $= 1 \times \dfrac12$ $= \dfrac12.$

Thus, the correct answer is C .

3.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{20} + \dfrac{3}{30}$

What is the value of the following expression?

$\dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{20} + \dfrac{3}{30}$

$.1$

$.123$

$.2$

$.3$

$.6$

Respuesta: D

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 450

Solución:

Cada fracción es igual a $\dfrac{1}{10} = .1,$ ya que $\dfrac{2}{20} = \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}.$

Así que la suma es $.1 + .1 + .1 = .3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each fraction equals $\dfrac{1}{10} = .1,$ since $\dfrac{2}{20} = \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}.$

So the sum is $.1 + .1 + .1 = .3.$

Thus, the correct answer is D .

4.

La figura consta de cuadrados claros y oscuros alternados. El número de cuadrados oscuros excede al de cuadrados claros en

The figure consists of alternating light and dark squares. The number of dark squares exceeds the number of light squares by

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: B

Conceptos:conteo de figuras en diagramas reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 560

Solución:

En cada fila horizontal los cuadrados se alternan oscuro, claro, oscuro, y así sucesivamente, empezando y terminando con un cuadrado oscuro. Así que cada fila tiene exactamente un cuadrado oscuro más que claro.

La figura tiene $8$ filas, así que los cuadrados oscuros exceden a los claros en $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In each horizontal row the squares alternate dark, light, dark, and so on, beginning and ending with a dark square. So every row has exactly one more dark square than light square.

The figure has $8$ rows, so the dark squares exceed the light squares by $8.$

Thus, the correct answer is B .

5.

Si $\angle CBD$ es un ángulo recto, entonces este transportador indica que la medida de $\angle ABC$ es aproximadamente

If $\angle CBD$ is a right angle, then this protractor indicates that the measure of $\angle ABC$ is approximately

$20^\circ$

$40^\circ$

$50^\circ$

$70^\circ$

$120^\circ$

Respuesta: C

Conceptos:persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 800

Solución:

Leyendo el transportador, el rayo $BA$ está cerca de $20^\circ$ y el rayo $BD$ está cerca de $160^\circ.$

Como $\angle CBD$ es un ángulo recto, el rayo $BC$ está en $160^\circ - 90^\circ = 70^\circ.$

Entonces $\angle ABC = 70^\circ - 20^\circ = 50^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Reading the protractor, ray $BA$ is at about $20^\circ$ and ray $BD$ is at about $160^\circ.$

Because $\angle CBD$ is a right angle, ray $BC$ is at $160^\circ - 90^\circ = 70^\circ.$

Therefore $\angle ABC = 70^\circ - 20^\circ = 50^\circ.$

Thus, the correct answer is C .

6.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\dfrac{(.2)^3}{(.02)^2}$

What is the value of the following expression?

$\dfrac{(.2)^3}{(.02)^2}$

$.2$

$2$

$10$

$15$

$20$

Respuesta: E

Conceptos:decimal exponente

Nivel de dificultad: 730

Solución:

El numerador es $(.2)^3 = .008$ y el denominador es $(.02)^2 = .0004.$

Así que el valor es $\dfrac{.008}{.0004} = \dfrac{80}{4} = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The numerator is $(.2)^3 = .008$ and the denominator is $(.02)^2 = .0004.$

So the value is $\dfrac{.008}{.0004} = \dfrac{80}{4} = 20.$

Thus, the correct answer is E .

7.

La expresión $2.46 \times 8.163 \times (5.17 + 4.829)$ es más cercana a

The expression $2.46 \times 8.163 \times (5.17 + 4.829)$ is closest to

$100$

$200$

$300$

$400$

$500$

Respuesta: B

Conceptos:estimación

Nivel de dificultad: 730

Solución:

Redondea cada factor: $2.46 \approx 2.5,$ $8.163 \approx 8,$ y $5.17 + 4.829 \approx 10.$

El producto es aproximadamente $2.5 \times 8 \times 10 = 200.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Round each factor: $2.46 \approx 2.5,$ $8.163 \approx 8,$ and $5.17 + 4.829 \approx 10.$

The product is about $2.5 \times 8 \times 10 = 200.$

Thus, the correct answer is B .

8.

Betty usó una calculadora para hallar el producto $0.075 \times 2.56.$ Olvidó introducir los puntos decimales. La calculadora mostró $19200.$ Si Betty hubiera introducido los puntos decimales correctamente, la respuesta habría sido

Betty used a calculator to find the product $0.075 \times 2.56.$ She forgot to enter the decimal points. The calculator showed $19200.$ If Betty had entered the decimal points correctly, the answer would have been

$.0192$

$.192$

$1.92$

$19.2$

$192$

Respuesta: B

Conceptos:decimal valor posicional

Nivel de dificultad: 800

Solución:

Los factores $0.075$ y $2.56$ tienen $3$ y $2$ cifras decimales, para un total de $5.$

Colocando el punto decimal $5$ dígitos desde la derecha de $19200$ se obtiene $0.19200 = .192.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The factors $0.075$ and $2.56$ have $3$ and $2$ decimal places, for a total of $5.$

Placing the decimal point $5$ digits from the right of $19200$ gives $0.19200 = .192.$

Thus, the correct answer is B .

9.

Un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados de igual longitud. ¿Cuántos de los cinco triángulos en la cuadrícula de abajo son isósceles?

An isosceles triangle is a triangle with two sides of equal length. How many of the five triangles on the square grid below are isosceles?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo isósceles fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Lee las longitudes de los lados de cada triángulo a partir de la cuadrícula. Un lado horizontal o vertical se cuenta directamente, y un lado inclinado que abarca $a$ unidades de ancho y $b$ unidades de alto tiene longitud $\sqrt{a^2 + b^2}.$

Triángulo superior izquierdo: sus dos lados inclinados abarcan cada uno $1$ de ancho y $2$ de alto, así que cada uno tiene longitud $\sqrt{5},$ con una base de longitud $2.$ Dos lados iguales, así que es isósceles.

Triángulo superior central: tiene un lado vertical de longitud $2$ y un lado horizontal de longitud $2$ (su tercer lado es la diagonal $2\sqrt{2}$ ). Dos lados iguales, así que es isósceles.

Triángulo superior derecho: sus lados son $2,$ $\sqrt{5},$ y $\sqrt{13},$ que son todos diferentes, así que no es isósceles.

Triángulo inferior izquierdo (ancho y plano): sus dos lados inclinados abarcan cada uno $3$ de ancho y $1$ de alto, así que cada uno tiene longitud $\sqrt{10}.$ Dos lados iguales, así que es isósceles.

Triángulo inferior derecho: dos de sus lados abarcan cada uno $2$ y $1$ (dando longitud $\sqrt{5}$ ), mientras que el tercero es $\sqrt{10}.$ Dos lados iguales, así que es isósceles.

Cuatro de los cinco triángulos son isósceles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Read each triangle's side lengths from the grid. A horizontal or vertical side is counted directly, and a slanted side spanning $a$ units across and $b$ units up has length $\sqrt{a^2 + b^2}.$

Top-left triangle: its two slanted sides each span $1$ across and $2$ up, so each has length $\sqrt{5},$ with a base of length $2.$ Two equal sides, so it is isosceles.

Top-middle triangle: it has a vertical side of length $2$ and a horizontal side of length $2$ (its third side is the slant $2\sqrt{2}$ ). Two equal sides, so it is isosceles.

Top-right triangle: its sides are $2,$ $\sqrt{5},$ and $\sqrt{13},$ which are all different, so it is not isosceles.

Bottom-left (wide, flat) triangle: its two slanted sides each span $3$ across and $1$ up, so each has length $\sqrt{10}.$ Two equal sides, so it is isosceles.

Bottom-right triangle: two of its sides each span $2$ and $1$ (giving length $\sqrt{5}$ ), while the third is $\sqrt{10}.$ Two equal sides, so it is isosceles.

Four of the five triangles are isosceles.

Thus, the correct answer is D .

10.

El cumpleaños de Chris es un jueves este año. ¿Qué día de la semana será $60$ días después de su cumpleaños?

Chris' birthday is on a Thursday this year. What day of the week will it be $60$ days after her birthday?

Lunes

Monday

Miércoles

Wednesday

Jueves

Thursday

Viernes

Friday

Sábado

Saturday

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular fecha y hora

Nivel de dificultad: 820

Solución:

Los días de la semana se repiten cada $7$ días. Como $60 = 8 \times 7 + 4,$ el día $60$ días después es $4$ días después del jueves.

Contando hacia adelante desde el jueves: viernes, sábado, domingo, lunes. Así que es un lunes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Days of the week repeat every $7$ days. Since $60 = 8 \times 7 + 4,$ the day $60$ days later is $4$ days after Thursday.

Counting forward from Thursday: Friday, Saturday, Sunday, Monday. So it is a Monday.

Thus, the correct answer is A .

11.

El valor de $\sqrt{164}$ es

The value of $\sqrt{164}$ is

$42$

menor que $10$

less than $10$

entre $10$ y $11$

between $10$ and $11$

entre $11$ y $12$

between $11$ and $12$

entre $12$ y $13$

between $12$ and $13$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrado perfecto estimación

Nivel de dificultad: 660

Solución:

Como $12^2 = 144$ y $13^2 = 169,$ y $144 \lt 164 \lt 169,$ el valor $\sqrt{164}$ está entre $12$ y $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $12^2 = 144$ and $13^2 = 169,$ and $144 \lt 164 \lt 169,$ the value $\sqrt{164}$ lies between $12$ and $13.$

Thus, the correct answer is E .

12.

Supón que el costo estimado de $20$ mil millones de dólares para enviar a una persona al planeta Marte se reparte por igual entre los $250$ millones de personas de EE. UU. Entonces la parte de cada persona es

Suppose the estimated $20$ billion dollar cost to send a person to the planet Mars is shared equally by the $250$ million people in the U.S. Then each person's share is

$40

$50

$80

$100

$125

Respuesta: C

Conceptos:valor posicional

Nivel de dificultad: 730

Solución:

La parte de cada persona es $\dfrac{20 \text{ billion}}{250 \text{ million}} = \dfrac{2 \times 10^{10}}{2.5 \times 10^{8}}.$

Esto es igual a $.8 \times 10^{2} = 80.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each person's share is $\dfrac{20 \text{ billion}}{250 \text{ million}} = \dfrac{2 \times 10^{10}}{2.5 \times 10^{8}}.$

This equals $.8 \times 10^{2} = 80.$

Thus, the correct answer is C .

13.

Si los rosales se colocan a aproximadamente $1$ pie de distancia, ¿aproximadamente cuántos rosales se necesitan para rodear un patio circular cuyo radio es de $12$ pies?

If rose bushes are spaced about $1$ foot apart, approximately how many bushes are needed to surround a circular patio whose radius is $12$ feet?

$12$

$38$

$48$

$75$

$450$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencia estimación

Nivel de dificultad: 860

Solución:

Los rosales rodean el borde circular, así que su número es aproximadamente la circunferencia $2\pi r = 2\pi(12).$

Usando $\pi \approx 3.14,$ esto es aproximadamente $2 \times 3.14 \times 12 \approx 75$ pies, así que se necesitan alrededor de $75$ rosales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The bushes surround the circular edge, so their number is about the circumference $2\pi r = 2\pi(12).$

Using $\pi \approx 3.14,$ this is about $2 \times 3.14 \times 12 \approx 75$ feet, so roughly $75$ bushes are needed.

Thus, the correct answer is D .

14.

Si $\diamond$ y $\triangle$ son números enteros y $\diamond \times \triangle = 36,$ el mayor valor posible de $\diamond + \triangle$ es

If $\diamond$ and $\triangle$ are whole numbers and $\diamond \times \triangle = 36,$ the largest possible value of $\diamond + \triangle$ is

$12$

$13$

$15$

$20$

$37$

Respuesta: E

Conceptos:factor optimización

Nivel de dificultad: 730

Solución:

Los pares de factores de $36$ son $1 \times 36,$ $2 \times 18,$ $3 \times 12,$ $4 \times 9,$ y $6 \times 6.$

La suma es mayor para el par más separado, $1 + 36 = 37.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The factor pairs of $36$ are $1 \times 36,$ $2 \times 18,$ $3 \times 12,$ $4 \times 9,$ and $6 \times 6.$

The sum is largest for the most spread-out pair, $1 + 36 = 37.$

Thus, the correct answer is E .

15.

¿Cuál es el recíproco de $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right)$ ?

What is the reciprocal of $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right)?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{6}{5}$

$\dfrac{5}{2}$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 660

Solución:

Sumando, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}.$

El recíproco de $\dfrac{5}{6}$ es $\dfrac{6}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Adding, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}.$

The reciprocal of $\dfrac{5}{6}$ is $\dfrac{6}{5}.$

Thus, the correct answer is C .

16.

Colocando no más de una X en cada casilla pequeña, ¿cuál es el mayor número de X que se pueden poner en una cuadrícula de $3 \times 3$ sin obtener tres X en una línea vertical, horizontal o diagonal?

Placing no more than one X in each small square, what is the greatest number of X's that can be put on a $3 \times 3$ grid without getting three X's in a row vertically, horizontally, or diagonally?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:argumento extremal principio del palomar

Nivel de dificultad: 1120

Solución:

Una colocación de $6$ X funciona: deja vacías las tres casillas de una diagonal principal y llena las otras seis. Entonces a cada fila y cada columna le falta una casilla, la diagonal usada tiene una casilla vacía, y la otra diagonal pasa por el centro vacío, así que no hay ninguna línea de tres completa.

Siete X es imposible: solo quedarían dos casillas vacías, y dos casillas vacías pueden estar en como máximo dos de las tres filas, forzando que la fila restante quede completamente llena con tres X.

Así que el mayor número es $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A placement of $6$ X's works: leave the three squares along one main diagonal empty and fill the other six. Then each row and each column is missing one square, the used diagonal has an empty square, and the other diagonal passes through the empty center, so no line of three is complete.

Seven X's is impossible: only two squares would be empty, and two empty squares can lie in at most two of the three rows, forcing the remaining row to be completely filled with three X's.

So the greatest number is $6.$

Thus, the correct answer is E .

17.

El área sombreada está formada por dos rectángulos perpendiculares que se intersecan, con las dimensiones que se muestran. Su área, en unidades cuadradas, es

The shaded area is formed by two intersecting perpendicular rectangles, with dimensions as shown. Its area, in square units, is

$23$

$38$

$44$

$46$

imposible de determinar con la información dada

unable to be determined from the information given

Respuesta: B

Conceptos:área inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 960

Solución:

El rectángulo horizontal tiene área $10 \times 2 = 20,$ y el rectángulo vertical tiene área $3 \times 8 = 24.$ Su superposición, un rectángulo de $3 \times 2$ , tiene área $6.$

Sumar los dos rectángulos cuenta la superposición dos veces, así que el área sombreada es $20 + 24 - 6 = 38.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The horizontal rectangle has area $10 \times 2 = 20,$ and the vertical rectangle has area $3 \times 8 = 24.$ Their overlap, a $3 \times 2$ rectangle, has area $6.$

Adding the two rectangles counts the overlap twice, so the shaded area is $20 + 24 - 6 = 38.$

Thus, the correct answer is B .

18.

El peso promedio de $6$ niños es $150$ libras y el peso promedio de $4$ niñas es $120$ libras. El peso promedio de los $10$ niños es

The average weight of $6$ boys is $150$ pounds and the average weight of $4$ girls is $120$ pounds. The average weight of the $10$ children is

$135$ libras

$135$ pounds

$137$ libras

$137$ pounds

$138$ libras

$138$ pounds

$140$ libras

$140$ pounds

$141$ libras

$141$ pounds

Respuesta: C

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 860

Solución:

El peso total es $6 \times 150$ $+ 4 \times 120$ $= 900 + 480$ $= 1380$ libras.

El promedio de los $10$ niños es $\dfrac{1380}{10} = 138$ libras.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total weight is $6 \times 150$ $+ 4 \times 120$ $= 900 + 480$ $= 1380$ pounds.

The average of the $10$ children is $\dfrac{1380}{10} = 138$ pounds.

Thus, the correct answer is C .

19.

¿Cuál es el $100$ -ésimo número de la sucesión aritmética $1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, \ldots$ ?

What is the $100$ th number in the arithmetic sequence $1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, \ldots?$

$397$

$399$

$401$

$403$

$405$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 820

Solución:

La sucesión empieza en $1$ con diferencia común $4.$ El término $100$ se alcanza sumando $4$ al primer término $99$ veces.

Así que el término $100$ es $1 + 99 \times 4 = 1 + 396 = 397.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sequence starts at $1$ with common difference $4.$ The $100$ th term is reached by adding $4$ to the first term $99$ times.

So the $100$ th term is $1 + 99 \times 4 = 1 + 396 = 397.$

Thus, the correct answer is A .

20.

El indicador de vidrio en una cafetera cilíndrica muestra que quedan $45$ tazas cuando la cafetera está al $36\%$ de su capacidad. ¿Cuántas tazas de café contiene cuando está llena?

The glass gauge on a cylindrical coffee maker shows there are $45$ cups left when the coffee maker is $36\%$ full. How many cups of coffee does it hold when it is full?

$80$

$100$

$125$

$130$

$262$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 930

Solución:

Sea $n$ la capacidad total. Entonces $\dfrac{45}{n} = \dfrac{36}{100}.$

Resolviendo, $n = \dfrac{45 \times 100}{36} = 125$ tazas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $n$ be the full capacity. Then $\dfrac{45}{n} = \dfrac{36}{100}.$

Solving, $n = \dfrac{45 \times 100}{36} = 125$ cups.

Thus, the correct answer is C .

21.

Se añade un quinto número, $n,$ al conjunto de números $\{3, 6, 9, 10\}$ para que la media del conjunto de cinco números sea igual a su mediana. El número de valores posibles de $n$ es

A fifth number, $n,$ is added to the set of numbers $\{3, 6, 9, 10\}$ to make the mean of the set of five numbers equal to its median. The number of possible values for $n$ is

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Respuesta: C

Conceptos:media mediana (datos)análisis por casos

Nivel de dificultad: 1260

Solución:

Los cinco números tienen suma $28 + n$ y media $\dfrac{28 + n}{5}.$ La mediana es el valor central al ordenarlos, que es $6,$ $n,$ o $9$ según el tamaño de $n.$

Si la mediana es $6$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 6$ da $n = 2,$ que efectivamente es menor que $6.$ Si la mediana es $n$ : $\dfrac{28 + n}{5} = n$ da $n = 7,$ que está entre $6$ y $9.$ Si la mediana es $9$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 9$ da $n = 17,$ que efectivamente es mayor que $9.$

Cada caso da un valor válido, así que $n$ puede ser $2,$ $7,$ o $17$ , tres valores posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five numbers have sum $28 + n$ and mean $\dfrac{28 + n}{5}.$ The median is the middle value when sorted, which is $6,$ $n,$ or $9$ depending on the size of $n.$

If the median is $6$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 6$ gives $n = 2,$ which is indeed less than $6.$ If the median is $n$ : $\dfrac{28 + n}{5} = n$ gives $n = 7,$ which is between $6$ and $9.$ If the median is $9$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 9$ gives $n = 17,$ which is indeed greater than $9.$

Each case yields a valid value, so $n$ can be $2,$ $7,$ or $17$ — three possible values.

Thus, the correct answer is C .

22.

La Sombrerería de Tom aumentó todos los precios originales en $25\%.$ Ahora la tienda tiene una liquidación donde todos los precios tienen $20\%$ de descuento sobre estos precios aumentados. ¿Qué afirmación describe mejor el precio de liquidación de un artículo?

Tom's Hat Shoppe increased all original prices by $25\%.$ Now the shoppe is having a sale where all prices are $20\%$ off these increased prices. Which statement best describes the sale price of an item?

El precio de liquidación es $5\%$ más alto que el precio original.

The sale price is $5\%$ higher than the original price.

El precio de liquidación es más alto que el precio original, pero en menos de $5\%.$

The sale price is higher than the original price, but by less than $5\%.$

El precio de liquidación es más alto que el precio original, pero en más de $5\%.$

The sale price is higher than the original price, but by more than $5\%.$

El precio de liquidación es más bajo que el precio original.

The sale price is lower than the original price.

El precio de liquidación es igual al precio original.

The sale price is the same as the original price.

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1060

Solución:

Aumentar en $25\%$ multiplica el precio por $1.25,$ y luego quitar el $20\%$ multiplica por $0.80.$

El factor total es $1.25 \times 0.80 = 1.00,$ así que el precio de liquidación es igual al precio original.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Increasing by $25\%$ multiplies the price by $1.25,$ and then taking $20\%$ off multiplies by $0.80.$

The overall factor is $1.25 \times 0.80 = 1.00,$ so the sale price equals the original price.

Thus, the correct answer is E .

23.

Maria compra discos de computadora a un precio de $4$ por $5 y los vende a un precio de $3$ por $5. ¿Cuántos discos de computadora debe vender para obtener una ganancia de $100?

Maria buys computer disks at a price of $4$ for $5 and sells them at a price of $3$ for $5. How many computer disks must she sell in order to make a profit of $100?

$100$

$120$

$200$

$240$

$1200$

Respuesta: D

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 1110

Solución:

Considera los discos por docenas, ya que $12$ es múltiplo tanto de $4$ como de $3.$ Una docena de discos cuesta $3 \times \$5 = \$15$ comprarla y se vende por $4 \times \$5 = \$20,$ para una ganancia de $5 por docena.

Para obtener $100 de ganancia necesita $\dfrac{100}{5} = 20$ docenas, que son $20 \times 12 = 240$ discos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Consider disks in dozens, since $12$ is a multiple of both $4$ and $3.$ A dozen disks costs $3 \times \$5 = \$15$ to buy and sells for $4 \times \$5 = \$20,$ for a profit of $5 per dozen.

To make $100 profit she needs $\dfrac{100}{5} = 20$ dozen, which is $20 \times 12 = 240$ disks.

Thus, the correct answer is D .

24.

El cuadrado del primer diagrama "rueda" en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del hexágono regular fijo hasta que llega al fondo. ¿En qué posición estará el triángulo sólido en el diagrama $4$ ?

The square in the first diagram "rolls" clockwise around the fixed regular hexagon until it reaches the bottom. In which position will the solid triangle be in diagram $4?$

Respuesta: A

Conceptos:transformación polígono regular

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Cada giro del cuadrado sobre un borde del hexágono lo rota $150^\circ$ en el sentido de las manecillas del reloj. (En la esquina de pivote el cuadrado gira $360^\circ$ menos su propia esquina de $90^\circ$ menos el ángulo interior de $120^\circ$ del hexágono, lo que deja $150^\circ.$ )

Desde la parte superior del hexágono hasta la inferior son $3$ giros, para un total de $3 \times 150^\circ = 450^\circ.$ Eso es una revolución completa ( $360^\circ$ ) más $90^\circ$ adicionales en el sentido de las manecillas del reloj.

El triángulo empieza apuntando hacia arriba, así que después del cuarto de giro adicional en el sentido de las manecillas del reloj apunta hacia la derecha.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each roll of the square over one edge of the hexagon turns it $150^\circ$ clockwise. (At the pivot corner the square turns through $360^\circ$ minus the square's own $90^\circ$ corner minus the hexagon's $120^\circ$ interior angle, which leaves $150^\circ.$ )

From the top of the hexagon to the bottom is $3$ rolls, for a total of $3 \times 150^\circ = 450^\circ.$ That is one complete revolution ( $360^\circ$ ) plus an extra $90^\circ$ clockwise.

The triangle starts pointing straight up, so after the extra quarter turn clockwise it points to the right.

Thus, the correct answer is A .

25.

Un palíndromo es un número entero que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Si se ignoran los dos puntos, ciertas horas mostradas en un reloj digital son palíndromos. Tres ejemplos son 1:01, 4:44 y 12:21. ¿Cuántas horas durante un período de $12$ horas serán palíndromos?

A palindrome is a whole number that reads the same forwards as backwards. If one neglects the colon, certain times displayed on a digital watch are palindromes. Three examples are 1:01, 4:44, and 12:21. How many times during a $12$ -hour period will be palindromes?

$57$

$60$

$63$

$90$

$93$

Respuesta: A

Conceptos:palíndromo análisis por casos

Nivel de dificultad: 1380

Solución:

Para una hora de un dígito $h$ (de $1$ a $9$ ), la pantalla $h\!:\!m_1 m_2$ se lee igual al revés cuando $m_2 = h.$ El dígito de las decenas $m_1$ puede ser $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ o $5,$ dando $6$ palíndromos por hora, así que $9 \times 6 = 54.$

Para las horas de dos dígitos $10,$ $11,$ $12,$ la pantalla $h_1 h_2\!:\!m_1 m_2$ es un palíndromo cuando $m_1 = h_2$ y $m_2 = h_1,$ dando exactamente 10:01, 11:11 y 12:21, uno cada una, para $3$ más.

El total es $54 + 3 = 57.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For a single-digit hour $h$ (from $1$ to $9$ ), the display $h\!:\!m_1 m_2$ reads the same backwards when $m_2 = h.$ The tens digit $m_1$ can be $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ or $5,$ giving $6$ palindromes per hour, so $9 \times 6 = 54.$

For the two-digit hours $10,$ $11,$ $12,$ the display $h_1 h_2\!:\!m_1 m_2$ is a palindrome when $m_1 = h_2$ and $m_2 = h_1,$ giving exactly 10:01, 11:11, and 12:21 — one each, for $3$ more.

The total is $54 + 3 = 57.$

Thus, the correct answer is A .

Problemas del 1988 AMC 8

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: A

Solución: