1988 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

El diagrama muestra parte de la escala de un instrumento de medición. La flecha indica una lectura aproximada de

The diagram shows part of a scale of a measuring device. The arrow indicates an approximate reading of

$10.05$

$10.15$

$10.25$

$10.3$

$10.6$

Respuesta: D

Conceptos:estimación

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Las marcas entre $10$ y $11$ dividen esa unidad en cuatro partes iguales, así que cada división pequeña es $0.25$

The marks between $10$ and $11$ divide that unit into four equal parts, so each small division is $0.25$

Pista grande:

La flecha queda justo después de la primera marca tras el $10,$ así que la lectura es un poco mayor que $10.25$

The arrow sits just past the first mark after $10,$ so the reading is a little more than $10.25$

Solución:

La escala se divide en cuartos entre $10$ y $11,$ así que las marcas interiores caen en $10.25,$ $10.5,$ y $10.75.$

La flecha señala justo después de la marca $10.25$ , así que la lectura está entre $10.25$ y $10.5.$ De las opciones, solo $10.3$ cae en ese rango.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The scale is divided into fourths between $10$ and $11,$ so the interior tick marks fall at $10.25,$ $10.5,$ and $10.75.$

The arrow points just past the $10.25$ mark, so the reading is between $10.25$ and $10.5.$ Of the choices, only $10.3$ lies in that range.

Thus, the correct answer is D .

2.

¿Cuál es el producto $8 \times 0.25 \times 2 \times 0.125$ ?

What is the product $8 \times 0.25 \times 2 \times 0.125?$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$2$

Respuesta: C

Conceptos:fracción decimal

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Reescribe los decimales como fracciones: $0.25 = \dfrac14$ y $0.125 = \dfrac18$

Rewrite the decimals as fractions: $0.25 = \dfrac14$ and $0.125 = \dfrac18$

Pista grande:

Empareja $8 \times \dfrac18$ y $\dfrac14 \times 2$ para simplificar

Pair $8 \times \dfrac18$ and $\dfrac14 \times 2$ to simplify

Solución:

Escribe los decimales como fracciones: $8 \times \dfrac14 \times 2 \times \dfrac18.$

Agrupando, $\left(8 \times \dfrac18\right)\left(\dfrac14 \times 2\right)$ $= 1 \times \dfrac12$ $= \dfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Write the decimals as fractions: $8 \times \dfrac14 \times 2 \times \dfrac18.$

Grouping, $\left(8 \times \dfrac18\right)\left(\dfrac14 \times 2\right)$ $= 1 \times \dfrac12$ $= \dfrac12.$

Thus, the correct answer is C .

3.

El valor de

$\dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{20} + \dfrac{3}{30}$

es

The value of

$\dfrac{1}{10} + \dfrac{2}{20} + \dfrac{3}{30}$

is

$0.1$

$0.123$

$0.2$

$0.3$

$0.6$

Respuesta: D

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Cada fracción se reduce al mismo valor

Each fraction reduces to the same value

Pista grande:

$\dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$ y $\dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}$

$\dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$ and $\dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}$

Solución:

Cada fracción es igual a $\dfrac{1}{10} = 0.1,$ ya que $\dfrac{2}{20} = \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}.$

Así que la suma es $0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each fraction equals $\dfrac{1}{10} = 0.1,$ since $\dfrac{2}{20} = \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10}.$

So the sum is $0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.3.$

Thus, the correct answer is D .

4.

La figura consta de cuadrados claros y oscuros alternados. El número de cuadrados oscuros excede al de cuadrados claros en

The figure consists of alternating light and dark squares. The number of dark squares exceeds the number of light squares by

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: B

Conceptos:conteo de figuras en diagramas reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Observa la figura una fila horizontal a la vez

Look at the figure one horizontal row at a time

Pista grande:

En cada fila los cuadrados se alternan, pero ambos extremos son oscuros, así que cada fila tiene exactamente un cuadrado oscuro más que claro. Cuenta cuántas filas hay.

In each row the squares alternate but both ends are dark, so every row has exactly one more dark square than light square. Count how many rows there are.

Solución:

En cada fila horizontal los cuadrados se alternan oscuro, claro, oscuro, y así sucesivamente, empezando y terminando con un cuadrado oscuro. Así que cada fila tiene exactamente un cuadrado oscuro más que claro.

La figura tiene $8$ filas, así que los cuadrados oscuros exceden a los claros en $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In each horizontal row the squares alternate dark, light, dark, and so on, beginning and ending with a dark square. So every row has exactly one more dark square than light square.

The figure has $8$ rows, so the dark squares exceed the light squares by $8.$

Thus, the correct answer is B .

5.

Si $\angle CBD$ es un ángulo recto, entonces este transportador indica que la medida de $\angle ABC$ es aproximadamente

If $\angle CBD$ is a right angle, then this protractor indicates that the measure of $\angle ABC$ is approximately

$20^\circ$

$40^\circ$

$50^\circ$

$70^\circ$

$120^\circ$

Respuesta: C

Conceptos:persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

En el transportador, el rayo $BA$ marca cerca de $20^\circ$ y el rayo $BD$ marca cerca de $160^\circ$

On the protractor, ray $BA$ reads about $20^\circ$ and ray $BD$ reads about $160^\circ$

Pista grande:

Como $\angle CBD = 90^\circ$ y $BD$ marca $160^\circ,$ el rayo $BC$ marca $160^\circ - 90^\circ.$ Entonces $\angle ABC$ es la diferencia entre las lecturas de $BC$ y $BA.$

Since $\angle CBD = 90^\circ$ and $BD$ reads $160^\circ,$ ray $BC$ reads $160^\circ - 90^\circ.$ Then $\angle ABC$ is the difference between the readings of $BC$ and $BA.$

Solución:

Leyendo el transportador, el rayo $BA$ está cerca de $20^\circ$ y el rayo $BD$ está cerca de $160^\circ.$

Como $\angle CBD$ es un ángulo recto, el rayo $BC$ está en $160^\circ - 90^\circ = 70^\circ.$

Entonces $\angle ABC = 70^\circ - 20^\circ = 50^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Reading the protractor, ray $BA$ is at about $20^\circ$ and ray $BD$ is at about $160^\circ.$

Because $\angle CBD$ is a right angle, ray $BC$ is at $160^\circ - 90^\circ = 70^\circ.$

Therefore $\angle ABC = 70^\circ - 20^\circ = 50^\circ.$

Thus, the correct answer is C .

6.

El valor de

$\dfrac{(0.2)^3}{(0.02)^2}$

es

The value of

$\dfrac{(0.2)^3}{(0.02)^2}$

is

$0.2$

$2$

$10$

$15$

$20$

Respuesta: E

Conceptos:decimal exponente

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Calcula el numerador y el denominador por separado: $(0.2)^3 = 0.008$

Compute the numerator and denominator separately: $(0.2)^3 = 0.008$

Pista grande:

$(0.02)^2 = 0.0004,$ luego divide

$(0.02)^2 = 0.0004,$ then divide

Solución:

El numerador es $(0.2)^3 = 0.008$ y el denominador es $(0.02)^2 = 0.0004.$

Así que el valor es $\dfrac{0.008}{0.0004} = \dfrac{80}{4} = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The numerator is $(0.2)^3 = 0.008$ and the denominator is $(0.02)^2 = 0.0004.$

So the value is $\dfrac{0.008}{0.0004} = \dfrac{80}{4} = 20.$

Thus, the correct answer is E .

7.

La expresión $2.46 \times 8.163 \times (5.17 + 4.829)$ es más cercana a

The expression $2.46 \times 8.163 \times (5.17 + 4.829)$ is closest to

$100$

$200$

$300$

$400$

$500$

Respuesta: B

Conceptos:estimación

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Redondea cada factor a un número conveniente: $2.46 \approx 2.5,$ $8.163 \approx 8$

Round each factor to a convenient number: $2.46 \approx 2.5,$ $8.163 \approx 8$

Pista grande:

La suma $5.17 + 4.829 \approx 10,$ así que el producto es aproximadamente $2.5 \times 8 \times 10$

The sum $5.17 + 4.829 \approx 10,$ so the product is about $2.5 \times 8 \times 10$

Solución:

Redondea cada factor: $2.46 \approx 2.5,$ $8.163 \approx 8,$ y $5.17 + 4.829 \approx 10.$

El producto es aproximadamente $2.5 \times 8 \times 10 = 200.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Round each factor: $2.46 \approx 2.5,$ $8.163 \approx 8,$ and $5.17 + 4.829 \approx 10.$

The product is about $2.5 \times 8 \times 10 = 200.$

Thus, the correct answer is B .

8.

Betty usó una calculadora para hallar el producto $0.075 \times 2.56.$ Olvidó introducir los puntos decimales. La calculadora mostró $19200.$ Si Betty hubiera introducido los puntos decimales correctamente, la respuesta habría sido

Betty used a calculator to find the product $0.075 \times 2.56.$ She forgot to enter the decimal points. The calculator showed $19200.$ If Betty had entered the decimal points correctly, the answer would have been

$0.0192$

$0.192$

$1.92$

$19.2$

$192$

Respuesta: B

Conceptos:decimal valor posicional

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Cuenta el número total de cifras decimales en $0.075$ y $2.56$

Count the total number of decimal places in $0.075$ and $2.56$

Pista grande:

Hay $3 + 2 = 5$ cifras decimales, así que coloca el punto decimal esa cantidad de dígitos desde la derecha de $19200$

There are $3 + 2 = 5$ decimal places, so place the decimal point that many digits from the right of $19200$

Solución:

Los factores $0.075$ y $2.56$ tienen $3$ y $2$ cifras decimales, para un total de $5.$

Colocando el punto decimal $5$ dígitos desde la derecha de $19200$ se obtiene $0.19200 = 0.192.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The factors $0.075$ and $2.56$ have $3$ and $2$ decimal places, for a total of $5.$

Placing the decimal point $5$ digits from the right of $19200$ gives $0.19200 = 0.192.$

Thus, the correct answer is B .

9.

Un triángulo isósceles es un triángulo con dos lados de igual longitud. ¿Cuántos de los cinco triángulos en la cuadrícula de abajo son isósceles?

An isosceles triangle is a triangle with two sides of equal length. How many of the five triangles on the square grid below are isosceles?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo isósceles fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Halla las longitudes de los lados de cada triángulo a partir de la cuadrícula: un lado inclinado que abarca $a$ de ancho y $b$ de alto tiene longitud $\sqrt{a^2 + b^2}.$ Un triángulo es isósceles cuando dos de sus lados son iguales.

Find each triangle’s side lengths from the grid: a slanted side spanning $a$ across and $b$ up has length $\sqrt{a^2 + b^2}.$ A triangle is isosceles when two of its sides are equal.

Pista grande:

Calcula las tres longitudes de los lados de cada uno de los cinco triángulos y busca un par que coincida; solo un triángulo termina con tres longitudes distintas.

Work out all three side lengths for each of the five triangles and look for a matching pair; only one triangle ends up with three different side lengths.

Solución:

Lee las longitudes de los lados de cada triángulo a partir de la cuadrícula. Un lado horizontal o vertical se cuenta directamente, y un lado inclinado que abarca $a$ unidades de ancho y $b$ unidades de alto tiene longitud $\sqrt{a^2 + b^2}.$

Triángulo superior izquierdo: sus dos lados inclinados abarcan cada uno $1$ de ancho y $2$ de alto, así que cada uno tiene longitud $\sqrt{5},$ con una base de longitud $2.$ Dos lados iguales, así que es isósceles.

Triángulo superior central: tiene un lado vertical de longitud $2$ y un lado horizontal de longitud $2$ (su tercer lado es la diagonal $2\sqrt{2}$ ). Dos lados iguales, así que es isósceles.

Triángulo superior derecho: sus lados son $2,$ $\sqrt{5},$ y $\sqrt{13},$ que son todos diferentes, así que no es isósceles.

Triángulo inferior izquierdo (ancho y plano): sus dos lados inclinados abarcan cada uno $3$ de ancho y $1$ de alto, así que cada uno tiene longitud $\sqrt{10}.$ Dos lados iguales, así que es isósceles.

Triángulo inferior derecho: dos de sus lados abarcan cada uno $2$ y $1$ (dando longitud $\sqrt{5}$ ), mientras que el tercero es $\sqrt{10}.$ Dos lados iguales, así que es isósceles.

Cuatro de los cinco triángulos son isósceles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Read each triangle’s side lengths from the grid. A horizontal or vertical side is counted directly, and a slanted side spanning $a$ units across and $b$ units up has length $\sqrt{a^2 + b^2}.$

Top-left triangle: its two slanted sides each span $1$ across and $2$ up, so each has length $\sqrt{5},$ with a base of length $2.$ Two equal sides, so it is isosceles.

Top-middle triangle: it has a vertical side of length $2$ and a horizontal side of length $2$ (its third side is the slant $2\sqrt{2}$ ). Two equal sides, so it is isosceles.

Top-right triangle: its sides are $2,$ $\sqrt{5},$ and $\sqrt{13},$ which are all different, so it is not isosceles.

Bottom-left (wide, flat) triangle: its two slanted sides each span $3$ across and $1$ up, so each has length $\sqrt{10}.$ Two equal sides, so it is isosceles.

Bottom-right triangle: two of its sides each span $2$ and $1$ (giving length $\sqrt{5}$ ), while the third is $\sqrt{10}.$ Two equal sides, so it is isosceles.

Four of the five triangles are isosceles.

Thus, the correct answer is D .

10.

El cumpleaños de Chris es un jueves este año. ¿Qué día de la semana será $60$ días después de su cumpleaños?

Chris’ birthday is on a Thursday this year. What day of the week will it be $60$ days after her birthday?

Lunes

Monday

Miércoles

Wednesday

Jueves

Thursday

Viernes

Friday

Sábado

Saturday

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular fecha y hora

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

El día de la semana se repite cada $7$ días, así que solo importa el resto de $60$ al dividir entre $7$

The day of the week repeats every $7$ days, so only the remainder of $60$ upon division by $7$ matters

Pista grande:

$60 = 8 \times 7 + 4,$ así que el día es $4$ días después del jueves

$60 = 8 \times 7 + 4,$ so the day is $4$ days after Thursday

Solución:

Los días de la semana se repiten cada $7$ días. Como $60 = 8 \times 7 + 4,$ el día $60$ días después es $4$ días después del jueves.

Contando hacia adelante desde el jueves: viernes, sábado, domingo, lunes. Así que es un lunes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Days of the week repeat every $7$ days. Since $60 = 8 \times 7 + 4,$ the day $60$ days later is $4$ days after Thursday.

Counting forward from Thursday: Friday, Saturday, Sunday, Monday. So it is a Monday.

Thus, the correct answer is A .

11.

El valor de $\sqrt{164}$ es

The value of $\sqrt{164}$ is

$42$

menor que $10$

less than $10$

entre $10$ y $11$

between $10$ and $11$

entre $11$ y $12$

between $11$ and $12$

entre $12$ y $13$

between $12$ and $13$

Respuesta: E

Conceptos:cuadrado perfecto estimación

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Halla los cuadrados perfectos justo por debajo y justo por encima de $164$

Find perfect squares just below and just above $164$

Pista grande:

$12^2 = 144$ y $13^2 = 169$

$12^2 = 144$ and $13^2 = 169$

Solución:

Como $12^2 = 144$ y $13^2 = 169,$ y $144 \lt 164 \lt 169,$ el valor $\sqrt{164}$ está entre $12$ y $13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $12^2 = 144$ and $13^2 = 169,$ and $144 \lt 164 \lt 169,$ the value $\sqrt{164}$ lies between $12$ and $13.$

Thus, the correct answer is E .

12.

Supón que el costo estimado de $20$ mil millones de dólares para enviar a una persona al planeta Marte se reparte por igual entre los $250$ millones de personas de EE. UU. Entonces la parte de cada persona es

Suppose the estimated $20$ billion dollar cost to send a person to the planet Mars is shared equally by the $250$ million people in the U.S. Then each person’s share is

$\$40$

$\$50$

$\$80$

$\$100$

$\$125$

Respuesta: C

Conceptos:valor posicional

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Escribe los números con potencias de diez: $20$ mil millones $= 2 \times 10^{10}$ y $250$ millones $= 2.5 \times 10^{8}$

Write the numbers with powers of ten: $20$ billion $= 2 \times 10^{10}$ and $250$ million $= 2.5 \times 10^{8}$

Pista grande:

Divide el costo total entre el número de personas

Divide the total cost by the number of people

Solución:

La parte de cada persona es $\dfrac{20 \times 10^9}{250 \times 10^6} = \dfrac{2 \times 10^{10}}{2.5 \times 10^{8}}.$

Esto es igual a $0.8 \times 10^{2} = 80.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each person’s share is $\dfrac{20 \times 10^9}{250 \times 10^6} = \dfrac{2 \times 10^{10}}{2.5 \times 10^{8}}.$

This equals $0.8 \times 10^{2} = 80.$

Thus, the correct answer is C .

13.

Si los rosales se colocan a aproximadamente $1$ pie de distancia, ¿aproximadamente cuántos rosales se necesitan para rodear un patio circular cuyo radio es de $12$ pies?

If rose bushes are spaced about $1$ foot apart, approximately how many bushes are needed to surround a circular patio whose radius is $12$ feet?

$12$

$38$

$48$

$75$

$450$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencia estimación

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Los rosales rodean el borde, así que halla la circunferencia $2\pi r$

The bushes go around the edge, so find the circumference $2\pi r$

Pista grande:

Con $\pi \approx 3.14,$ calcula $2 \times 3.14 \times 12$

With $\pi \approx 3.14,$ compute $2 \times 3.14 \times 12$

Solución:

Los rosales rodean el borde circular, así que su número es aproximadamente la circunferencia $2\pi r = 2\pi(12).$

Usando $\pi \approx 3.14,$ esto es aproximadamente $2 \times 3.14 \times 12 \approx 75$ pies, así que se necesitan alrededor de $75$ rosales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The bushes surround the circular edge, so their number is about the circumference $2\pi r = 2\pi(12).$

Using $\pi \approx 3.14,$ this is about $2 \times 3.14 \times 12 \approx 75$ feet, so roughly $75$ bushes are needed.

Thus, the correct answer is D .

14.

Si $\diamond$ y $\triangle$ son números enteros no negativos y $\diamond \times \triangle = 36,$ el mayor valor posible de $\diamond + \triangle$ es

If $\diamond$ and $\triangle$ are whole numbers and $\diamond \times \triangle = 36,$ the largest possible value of $\diamond + \triangle$ is

$12$

$13$

$15$

$20$

$37$

Respuesta: E

Conceptos:factor optimización

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Enumera los pares de factores de $36$

List the factor pairs of $36$

Pista grande:

La suma es mayor cuando los dos factores están lo más separados posible

The sum is largest when the two factors are as far apart as possible

Solución:

Los pares de factores de $36$ son $1 \times 36,$ $2 \times 18,$ $3 \times 12,$ $4 \times 9,$ y $6 \times 6.$

La suma es mayor para el par más separado, $1 + 36 = 37.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The factor pairs of $36$ are $1 \times 36,$ $2 \times 18,$ $3 \times 12,$ $4 \times 9,$ and $6 \times 6.$

The sum is largest for the most spread-out pair, $1 + 36 = 37.$

Thus, the correct answer is E .

15.

¿Cuál es el recíproco de $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right)$ ?

What is the reciprocal of $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right)?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{6}{5}$

$\dfrac{5}{2}$

$5$

Respuesta: C

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Primero suma las fracciones usando un denominador común de $6$

First add the fractions using a common denominator of $6$

Pista grande:

El recíproco intercambia el numerador y el denominador

The reciprocal flips the numerator and denominator

Solución:

Sumando, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}.$

El recíproco de $\dfrac{5}{6}$ es $\dfrac{6}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Adding, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}.$

The reciprocal of $\dfrac{5}{6}$ is $\dfrac{6}{5}.$

Thus, the correct answer is C .

16.

Colocando no más de una X en cada casilla pequeña, ¿cuál es el mayor número de X que se pueden poner en una cuadrícula de $3 \times 3$ sin obtener tres X en una línea vertical, horizontal o diagonal?

Placing no more than one X in each small square, what is the greatest number of X’s that can be put on a $3 \times 3$ grid without getting three X’s in a row vertically, horizontally, or diagonally?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: E

Conceptos:argumento extremal principio del palomar

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Intenta dejar una casilla vacía en cada fila y columna para que ninguna línea quede completa

Try to leave one square empty in each row and column so no line gets filled

Pista grande:

Con $7$ X solo dos casillas quedan vacías, pero dos casillas vacías no pueden romper las tres filas, así que alguna fila quedaría completa

With $7$ X’s only two squares are empty, but two empty squares cannot break all three rows, so some row would be full

Solución:

Una colocación de $6$ X funciona: deja vacías las tres casillas de una diagonal principal y llena las otras seis. Entonces a cada fila y cada columna le falta una casilla, la diagonal usada tiene una casilla vacía, y la otra diagonal pasa por el centro vacío, así que no hay ninguna línea de tres completa.

Siete X es imposible: solo quedarían dos casillas vacías, y dos casillas vacías pueden estar en como máximo dos de las tres filas, forzando que la fila restante quede completamente llena con tres X.

Así que el mayor número es $6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A placement of $6$ X’s works: leave the three squares along one main diagonal empty and fill the other six. Then each row and each column is missing one square, the used diagonal has an empty square, and the other diagonal passes through the empty center, so no line of three is complete.

Seven X’s is impossible: only two squares would be empty, and two empty squares can lie in at most two of the three rows, forcing the remaining row to be completely filled with three X’s.

So the greatest number is $6.$

Thus, the correct answer is E .

17.

El área sombreada está formada por dos rectángulos perpendiculares que se intersecan, con las dimensiones que se muestran. Su área, en unidades cuadradas, es

The shaded area is formed by two intersecting perpendicular rectangles, with dimensions as shown. Its area, in square units, is

$23$

$38$

$44$

$46$

imposible de determinar con la información dada

unable to be determined from the information given

Respuesta: B

Conceptos:área inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Suma las áreas de los dos rectángulos, pero la región de superposición se cuenta dos veces

Add the areas of the two rectangles, but the overlapping region gets counted twice

Pista grande:

El rectángulo horizontal es $10 \times 2,$ el vertical es $3 \times 8,$ y la superposición es $3 \times 2$

The horizontal rectangle is $10 \times 2,$ the vertical one is $3 \times 8,$ and the overlap is $3 \times 2$

Solución:

El rectángulo horizontal tiene área $10 \times 2 = 20,$ y el rectángulo vertical tiene área $3 \times 8 = 24.$ Su superposición, un rectángulo de $3 \times 2$ , tiene área $6.$

Sumar los dos rectángulos cuenta la superposición dos veces, así que el área sombreada es $20 + 24 - 6 = 38.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The horizontal rectangle has area $10 \times 2 = 20,$ and the vertical rectangle has area $3 \times 8 = 24.$ Their overlap, a $3 \times 2$ rectangle, has area $6.$

Adding the two rectangles counts the overlap twice, so the shaded area is $20 + 24 - 6 = 38.$

Thus, the correct answer is B .

18.

El peso promedio de $6$ niños es $150$ libras y el peso promedio de $4$ niñas es $120$ libras. El peso promedio de los $10$ estudiantes es

The average weight of $6$ boys is $150$ pounds and the average weight of $4$ girls is $120$ pounds. The average weight of the $10$ children is

$135$ libras

$135$ pounds

$137$ libras

$137$ pounds

$138$ libras

$138$ pounds

$140$ libras

$140$ pounds

$141$ libras

$141$ pounds

Respuesta: C

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Halla el peso total de los niños y el peso total de las niñas por separado

Find the total weight of the boys and the total weight of the girls separately

Pista grande:

Divide el peso total combinado entre $10$

Divide the combined total weight by $10$

Solución:

El peso total es $6 \times 150$ $+ 4 \times 120$ $= 900 + 480$ $= 1380$ libras.

El promedio de los $10$ niños es $\dfrac{1380}{10} = 138$ libras.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The total weight is $6 \times 150$ $+ 4 \times 120$ $= 900 + 480$ $= 1380$ pounds.

The average of the $10$ children is $\dfrac{1380}{10} = 138$ pounds.

Thus, the correct answer is C .

19.

¿Cuál es el término número $100$ de la sucesión aritmética $1,$ $5,$ $9,$ $13,$ $17,$ $21,$ $25,$ $\ldots$ ?

What is the $100$ th number in the arithmetic sequence $1,$ $5,$ $9,$ $13,$ $17,$ $21,$ $25,$ $\ldots?$

$397$

$399$

$401$

$403$

$405$

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

La diferencia común es $4,$ así que cada término suma $4$ al anterior

The common difference is $4,$ so each term adds $4$ to the previous one

Pista grande:

Empezando desde $1,$ llegar al término $100$ significa sumar $4$ un total de $99$ veces

Starting from $1,$ reaching the $100$ th term means adding $4$ a total of $99$ times

Solución:

La sucesión empieza en $1$ con diferencia común $4.$ El término $100$ se alcanza sumando $4$ al primer término $99$ veces.

Así que el término $100$ es $1 + 99 \times 4 = 1 + 396 = 397.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sequence starts at $1$ with common difference $4.$ The $100$ th term is reached by adding $4$ to the first term $99$ times.

So the $100$ th term is $1 + 99 \times 4 = 1 + 396 = 397.$

Thus, the correct answer is A .

20.

El indicador de vidrio en una cafetera cilíndrica muestra que quedan $45$ tazas cuando la cafetera está al $36\%$ de su capacidad. ¿Cuántas tazas de café contiene cuando está llena?

The glass gauge on a cylindrical coffee maker shows there are $45$ cups left when the coffee maker is $36\%$ full. How many cups of coffee does it hold when it is full?

$80$

$100$

$125$

$130$

$262$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje razón y proporción

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Plantea una proporción: $45$ tazas es a la cantidad total como $36$ es a $100$

Set up a proportion: $45$ cups is to the full amount as $36$ is to $100$

Pista grande:

Si $36\%$ son $45$ tazas, primero halla cuántas tazas son $4\%$

If $36\%$ is $45$ cups, first find how many cups $4\%$ is

Solución:

Sea $n$ la capacidad total. Entonces $\dfrac{45}{n} = \dfrac{36}{100}.$

Resolviendo, $n = \dfrac{45 \times 100}{36} = 125$ tazas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $n$ be the full capacity. Then $\dfrac{45}{n} = \dfrac{36}{100}.$

Solving, $n = \dfrac{45 \times 100}{36} = 125$ cups.

Thus, the correct answer is C .

21.

Se añade un quinto número, $n,$ al conjunto de números $\{3, 6, 9, 10\}$ para que la media del conjunto de cinco números sea igual a su mediana. El número de valores posibles de $n$ es

A fifth number, $n,$ is added to the set of numbers $\{3, 6, 9, 10\}$ to make the mean of the set of five numbers equal to its median. The number of possible values for $n$ is

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Respuesta: C

Conceptos:media mediana (datos)análisis por casos

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

La media de los cinco números es $\dfrac{28 + n}{5};$ la mediana depende de dónde caiga $n$ en el orden

The mean of the five numbers is $\dfrac{28 + n}{5};$ the median depends on where $n$ lands in the sorted order

Pista grande:

Divide en casos: la mediana es $6,$ es $n$ mismo, o es $9,$ y resuelve la ecuación media $=$ mediana en cada caso

Split into cases: the median is $6,$ is $n$ itself, or is $9,$ and solve the equation mean $=$ median in each

Solución:

Los cinco números tienen suma $28 + n$ y media $\dfrac{28 + n}{5}.$ La mediana es el valor central al ordenarlos, que es $6,$ $n,$ o $9$ según el tamaño de $n.$

Si la mediana es $6$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 6$ da $n = 2,$ que efectivamente es menor que $6.$ Si la mediana es $n$ : $\dfrac{28 + n}{5} = n$ da $n = 7,$ que está entre $6$ y $9.$ Si la mediana es $9$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 9$ da $n = 17,$ que efectivamente es mayor que $9.$

Cada caso da un valor válido, así que $n$ puede ser $2,$ $7,$ o $17$ , tres valores posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five numbers have sum $28 + n$ and mean $\dfrac{28 + n}{5}.$ The median is the middle value when sorted, which is $6,$ $n,$ or $9$ depending on the size of $n.$

If the median is $6$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 6$ gives $n = 2,$ which is indeed less than $6.$ If the median is $n$ : $\dfrac{28 + n}{5} = n$ gives $n = 7,$ which is between $6$ and $9.$ If the median is $9$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 9$ gives $n = 17,$ which is indeed greater than $9.$

Each case yields a valid value, so $n$ can be $2,$ $7,$ or $17$ — three possible values.

Thus, the correct answer is C .

22.

La Sombrerería de Tom aumentó todos los precios originales en $25\%.$ Ahora la tienda tiene una liquidación donde todos los precios tienen $20\%$ de descuento sobre estos precios aumentados. ¿Qué afirmación describe mejor el precio de liquidación de un artículo?

Tom’s Hat Shoppe increased all original prices by $25\%.$ Now the shoppe is having a sale where all prices are $20\%$ off these increased prices. Which statement best describes the sale price of an item?

El precio de liquidación es $5\%$ más alto que el precio original.

The sale price is $5\%$ higher than the original price.

El precio de liquidación es más alto que el precio original, pero en menos de $5\%.$

The sale price is higher than the original price, but by less than $5\%.$

El precio de liquidación es más alto que el precio original, pero en más de $5\%.$

The sale price is higher than the original price, but by more than $5\%.$

El precio de liquidación es más bajo que el precio original.

The sale price is lower than the original price.

El precio de liquidación es igual al precio original.

The sale price is the same as the original price.

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

Aumentar en $25\%$ multiplica el precio por $1.25;$ quitar el $20\%$ multiplica por $0.80$

Increasing by $25\%$ multiplies the price by $1.25;$ taking $20\%$ off multiplies by $0.80$

Pista grande:

Multiplica los dos factores y compara el resultado con $1$

Multiply the two factors together and compare the result to $1$

Solución:

Aumentar en $25\%$ multiplica el precio por $1.25,$ y luego quitar el $20\%$ multiplica por $0.80.$

El factor total es $1.25 \times 0.80 = 1.00,$ así que el precio de liquidación es igual al precio original.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Increasing by $25\%$ multiplies the price by $1.25,$ and then taking $20\%$ off multiplies by $0.80.$

The overall factor is $1.25 \times 0.80 = 1.00,$ so the sale price equals the original price.

Thus, the correct answer is E .

23.

María compra discos de computadora a un precio de $4$ por $\$5$ y los vende a un precio de $3$ por $\$5.$ ¿Cuántos discos de computadora debe vender para obtener una ganancia de $\$100$ ?

Maria buys computer disks at a price of $4$ for $\$5$ and sells them at a price of $3$ for $\$5.$ How many computer disks must she sell in order to make a profit of $\$100?$

$100$

$120$

$200$

$240$

$1200$

Respuesta: D

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Trabaja con un lote conveniente de $12$ discos, ya que $12$ es múltiplo tanto de $4$ como de $3$

Work with a convenient batch of $12$ disks, since $12$ is a multiple of both $4$ and $3$

Pista grande:

Una docena de discos cuesta $\$15$ y se vende por $\$20,$ una ganancia de $\$5$ por docena

A dozen disks costs $\$15$ and sells for $\$20,$ a profit of $\$5$ per dozen

Solución:

Considera los discos por docenas, ya que $12$ es múltiplo tanto de $4$ como de $3.$ Una docena de discos cuesta $3 \times \$5 = \$15$ comprarla y se vende por $4 \times \$5 = \$20,$ para una ganancia de $\$5$ por docena.

Para obtener $\$100$ de ganancia necesita $\dfrac{100}{5} = 20$ docenas, que son $20 \times 12 = 240$ discos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Consider disks in dozens, since $12$ is a multiple of both $4$ and $3.$ A dozen disks costs $3 \times \$5 = \$15$ to buy and sells for $4 \times \$5 = \$20,$ for a profit of $\$5$ per dozen.

To make $\$100$ profit she needs $\dfrac{100}{5} = 20$ dozen, which is $20 \times 12 = 240$ disks.

Thus, the correct answer is D .

24.

El cuadrado del primer diagrama “rueda” en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del hexágono regular fijo hasta que llega al fondo. ¿En qué posición estará el triángulo sólido en el diagrama $4$ ?

The square in the first diagram “rolls” clockwise around the fixed regular hexagon until it reaches the bottom. In which position will the solid triangle be in diagram $4?$

Respuesta: A

Conceptos:transformación polígono regular

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Cada vez que el cuadrado rueda sobre un borde del hexágono, gira alrededor de una esquina compartida y rota $150^\circ$ en el sentido de las manecillas del reloj

Each time the square rolls over one edge of the hexagon it pivots about a shared corner and turns $150^\circ$ clockwise

Pista grande:

Ir del borde superior al borde inferior son $3$ giros, un total de $3 \times 150^\circ = 450^\circ,$ que es una vuelta completa más un cuarto de vuelta adicional en el sentido de las manecillas del reloj

Going from the top edge to the bottom edge is $3$ rolls, a total of $3 \times 150^\circ = 450^\circ,$ which is one full turn plus an extra quarter turn clockwise

Solución:

Cada giro del cuadrado sobre un borde del hexágono lo rota $150^\circ$ en el sentido de las manecillas del reloj. (En la esquina de pivote el cuadrado gira $360^\circ$ menos su propia esquina de $90^\circ$ menos el ángulo interior de $120^\circ$ del hexágono, lo que deja $150^\circ.$ )

Desde la parte superior del hexágono hasta la inferior son $3$ giros, para un total de $3 \times 150^\circ = 450^\circ.$ Eso es una revolución completa ( $360^\circ$ ) más $90^\circ$ adicionales en el sentido de las manecillas del reloj.

El triángulo empieza apuntando hacia arriba, así que después del cuarto de giro adicional en el sentido de las manecillas del reloj apunta hacia la derecha.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each roll of the square over one edge of the hexagon turns it $150^\circ$ clockwise. (At the pivot corner the square turns through $360^\circ$ minus the square’s own $90^\circ$ corner minus the hexagon’s $120^\circ$ interior angle, which leaves $150^\circ.$ )

From the top of the hexagon to the bottom is $3$ rolls, for a total of $3 \times 150^\circ = 450^\circ.$ That is one complete revolution ( $360^\circ$ ) plus an extra $90^\circ$ clockwise.

The triangle starts pointing straight up, so after the extra quarter turn clockwise it points to the right.

Thus, the correct answer is A .

25.

Un palíndromo es un número entero que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Si se ignoran los dos puntos, ciertas horas mostradas en un reloj digital son palíndromos. Tres ejemplos son $1{:}01,$ $4{:}44$ y $12{:}21.$ ¿Cuántas horas palindrómicas se mostrarán durante un período de $12$ horas?

A palindrome is a whole number that reads the same forwards as backwards. If one neglects the colon, certain times displayed on a digital watch are palindromes. Three examples are $1{:}01,$ $4{:}44,$ and $12{:}21.$ How many times during a $12$ -hour period will be palindromes?

$57$

$60$

$63$

$90$

$93$

Respuesta: A

Conceptos:palíndromo análisis por casos

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Divide en horas de un dígito ( $1$ a $9$ ) y horas de dos dígitos ( $10,$ $11,$ $12$ ), ya que el número de dígitos difiere

Split into single-digit hours ( $1$ through $9$ ) and two-digit hours ( $10,$ $11,$ $12$ ), since the number of digits differs

Pista grande:

Para una hora de un dígito $h,$ la hora $h\!:\!m_1 m_2$ es un palíndromo cuando $m_2 = h,$ dejando $m_1$ libre entre $0$ y $5$

For a single-digit hour $h,$ the time $h\!:\!m_1 m_2$ is a palindrome when $m_2 = h,$ leaving $m_1$ free among $0$ through $5$

Solución:

Para una hora de un dígito $h$ (de $1$ a $9$ ), la pantalla $h\!:\!m_1 m_2$ se lee igual al revés cuando $m_2 = h.$ El dígito de las decenas $m_1$ puede ser $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ o $5,$ dando $6$ palíndromos por hora, así que $9 \times 6 = 54.$

Para las horas de dos dígitos $10,$ $11,$ $12,$ la pantalla $h_1 h_2\!:\!m_1 m_2$ es un palíndromo cuando $m_1 = h_2$ y $m_2 = h_1,$ dando exactamente $10{:}01,$ $11{:}11$ y $12{:}21,$ una por hora, para $3$ más.

El total es $54 + 3 = 57.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For a single-digit hour $h$ (from $1$ to $9$ ), the display $h\!:\!m_1 m_2$ reads the same backwards when $m_2 = h.$ The tens digit $m_1$ can be $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ or $5,$ giving $6$ palindromes per hour, so $9 \times 6 = 54.$

For the two-digit hours $10,$ $11,$ $12,$ the display $h_1 h_2\!:\!m_1 m_2$ is a palindrome when $m_1 = h_2$ and $m_2 = h_1,$ giving exactly $10{:}01,$ $11{:}11,$ and $12{:}21$ — one each, for $3$ more.

The total is $54 + 3 = 57.$

Thus, the correct answer is A .

Problemas del 1988 AMC 8

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Pista grande: