Question

Se añade un quinto número, $n,$ al conjunto de números $\{3, 6, 9, 10\}$ para que la media del conjunto de cinco números sea igual a su mediana. El número de valores posibles de $n$ es

A fifth number, $n,$ is added to the set of numbers $\{3, 6, 9, 10\}$ to make the mean of the set of five numbers equal to its median. The number of possible values for $n$ is

$1$

$2$

$3$

$4$

más de $4$

more than $4$

Solución:

Los cinco números tienen suma $28 + n$ y media $\dfrac{28 + n}{5}.$ La mediana es el valor central al ordenarlos, que es $6,$ $n,$ o $9$ según el tamaño de $n.$

Si la mediana es $6$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 6$ da $n = 2,$ que efectivamente es menor que $6.$ Si la mediana es $n$ : $\dfrac{28 + n}{5} = n$ da $n = 7,$ que está entre $6$ y $9.$ Si la mediana es $9$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 9$ da $n = 17,$ que efectivamente es mayor que $9.$

Cada caso da un valor válido, así que $n$ puede ser $2,$ $7,$ o $17$ , tres valores posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five numbers have sum $28 + n$ and mean $\dfrac{28 + n}{5}.$ The median is the middle value when sorted, which is $6,$ $n,$ or $9$ depending on the size of $n.$

If the median is $6$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 6$ gives $n = 2,$ which is indeed less than $6.$ If the median is $n$ : $\dfrac{28 + n}{5} = n$ gives $n = 7,$ which is between $6$ and $9.$ If the median is $9$ : $\dfrac{28 + n}{5} = 9$ gives $n = 17,$ which is indeed greater than $9.$

Each case yields a valid value, so $n$ can be $2,$ $7,$ or $17$ — three possible values.

Thus, the correct answer is C .

1988 AMC 8 Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años