Question

¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos tienen residuo $2$ al dividirse entre $6,$ residuo $5$ al dividirse entre 9, y residuo $7$ al dividirse entre $11$ ?

How many positive three-digit integers have a remainder of $2$ when divided by $6,$ a remainder of $5$ when divided by 9, and a remainder of $7$ when divided by $11?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución en video:

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Solución escrita:

Supongamos que $x$ es un número que satisface estas condiciones. Sabemos que $100 \leq x \leq 999.$

La primera afirmación implica que $\begin{align*}x &\equiv 2 \mod 6\\&\equiv -4 \mod 6\end{align*}$ Esto, a su vez, implica que $x+4 \equiv 0 \mod 6 .$

De igual modo, la segunda afirmación implica que $\begin{align*}x &\equiv 5 \mod 9 \\&\equiv -4 \mod 9 \end{align*}$ Esto, a su vez, implica que $x+4 \equiv 0 \mod 9 .$

Finalmente, la tercera afirmación implica que $\begin{align*}x &\equiv 7 \mod 11 \\&\equiv -4 \mod 11\end{align*}$ Esto, a su vez, implica que $x+4 \equiv 0 \mod 11.$

En conjunto, estas tres condiciones significan que $6\mid x+4,$ $9\mid x+4,$ y $11\mid x+4,$ así que $\operatorname{lcm}(6,9,11)\mid x+4 .$ Por lo tanto, $198\mid x+4.$ También sabemos que $104 \leq x+4 \leq 1003 ,$ así que vemos que hay $5$ valores posibles en este intervalo que son múltiplos de $198.$

Así, E es la respuesta correcta.

Suppose $x$ is a number that satisfies these conditions. We know that $100 \leq x \leq 999.$

The first statement implies that $\begin{align*}x &\equiv 2 \mod 6\\&\equiv -4 \mod 6\end{align*}$ This, in turn, implies that $x+4 \equiv 0 \mod 6 .$

Similarly, the second statement implies that $\begin{align*}x &\equiv 5 \mod 9 \\&\equiv -4 \mod 9 \end{align*}$ This, in turn, implies that $x+4 \equiv 0 \mod 9 .$

Finally, the third statement implies that $\begin{align*}x &\equiv 7 \mod 11 \\&\equiv -4 \mod 11\end{align*}$ This, in turn, implies that $x+4 \equiv 0 \mod 11.$

Together, these three conditions mean that $6\mid x+4,$ $9\mid x+4,$ and $11\mid x+4,$ so $\operatorname{lcm}(6,9,11)\mid x+4 .$ Therefore, $198\mid x+4.$ We also know $104 \leq x+4 \leq 1003 ,$ so we can see that there are $5$ possible values in this interval that are multiples of $198.$

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 8 Problema 21

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 21 en otros años