Question

La escuela Konigsberg ha asignado los grados $1$ al $7$ a las cápsulas $A$ a $G,$ un grado por cápsula. Algunas de las cápsulas están conectadas por pasillos, como se muestra en la figura de abajo. La escuela notó que cada par de cápsulas conectadas tiene asignados grados que difieren en $2$ o más niveles de grado. (Por ejemplo, los grados $1$ y $2$ no estarán en cápsulas conectadas directamente por un pasillo.) ¿Cuál es la suma de los niveles de grado asignados a las cápsulas $C,$ $E$ y $F$ ?

The Konigsberg School has assigned grades $1$ through $7$ to pods $A$ through $G,$ one grade per pod. Some of the pods are connected by walkways, as shown in the figure below. The school noticed that each pair of connected pods has been assigned grades differing by $2$ or more grade levels. (For example, grades $1$ and $2$ will not be in pods directly connected by a walkway.) What is the sum of the grade levels assigned to pods $C,$ $E,$ and $F?$

$12$

$13$

$14$

$15$

$16$

Solución en video:

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Solución escrita:

Las cápsulas $A,$ $B,$ $C$ y $F$ están todas conectadas entre sí por pares. Cuatro números del $1$ al $7$ que estén todos separados por al menos $2$ deben ser $\{1,3,5,7\}$ . Por lo tanto $D,$ $E$ y $G$ reciben los grados pares $\{2,4,6\}$ .

La cápsula $G$ está conectada con $A$ y $F$ . Si $G=4$ , entonces $A$ y $F$ tendrían que ser $1$ y $7$ , dejando $B$ y $C$ como $3$ y $5$ . Pero entonces $E$ , que está conectada con $C$ y $F$ , no puede ser ninguno de los grados pares restantes sin quedar a solo $1$ de distancia de alguno de ellos. Así que $G$ no puede ser $4$ .

Si $G=2$ , entonces $A$ y $F$ deben ser $5$ y $7$ . Si $F=5$ , entonces $E$ no puede ser $4$ ni $6$ , así que $F=7$ . Además, $C$ no puede ser $3$ , porque entonces $E$ tampoco podría ser $4$ ni $6$ . Por lo tanto $C=1$ y $E=4$ , lo que da $C+E+F=1+4+7=12$ .

El caso $G=6$ es simétrico, y da $C=7,$ $E=4,$ y $F=1$ . La misma suma es $12$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Pods $A,$ $B,$ $C,$ and $F$ are all pairwise connected. Four numbers from $1$ through $7$ that are all at least $2$ apart must be $\{1,3,5,7\}$ . Thus $D,$ $E,$ and $G$ get the even grades $\{2,4,6\}$ .

Pod $G$ is connected to $A$ and $F$ . If $G=4$ , then $A$ and $F$ would have to be $1$ and $7$ , leaving $B$ and $C$ as $3$ and $5$ . But then $E$ , which is connected to $C$ and $F$ , cannot be either remaining even grade without being only $1$ away from one of them. So $G$ cannot be $4$ .

If $G=2$ , then $A$ and $F$ must be $5$ and $7$ . If $F=5$ , then $E$ cannot be $4$ or $6$ , so $F=7$ . Also, $C$ cannot be $3$ , since then $E$ again cannot be $4$ or $6$ . Therefore $C=1$ and $E=4$ , giving $C+E+F=1+4+7=12$ .

The case $G=6$ is symmetric, giving $C=7,$ $E=4,$ and $F=1$ . The same sum is $12$ .

Thus, A is the correct answer.

2025 AMC 8 Problema 21

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 21 en otros años