Question

Una lista de $8$ números se forma comenzando con dos números dados. Cada número nuevo de la lista es el producto de los dos anteriores. Halla el primer número si los últimos tres son $16, 64, 1024$ :

$?, \underline{\phantom{x}}, \underline{\phantom{x}}, \underline{\phantom{x}}, \underline{\phantom{x}}, 16, 64, 1024$

A list of $8$ numbers is formed by beginning with two given numbers. Each new number in the list is the product of the two previous numbers. Find the first number if the last three are $16, 64, 1024$ :

$?, \underline{\phantom{x}}, \underline{\phantom{x}}, \underline{\phantom{x}}, \underline{\phantom{x}}, 16, 64, 1024$

$\dfrac{1}{64}$

$\dfrac{1}{4}$

$1$

$2$

$4$

Solución:

Como cada término es el producto de los dos anteriores, dividir cualquier término entre el término justo anterior recupera el término dos posiciones antes. Trabajando hacia atrás desde los últimos tres términos $16, 64, 1024$ :

$\begin{gathered} 64 \div 16 = 4, \quad 16 \div 4 = 4, \\ 4 \div 4 = 1, \quad 4 \div 1 = 4, \\ 1 \div 4 = \dfrac14. \end{gathered}$

Estos completan los términos anteriores, dando la lista completa $\dfrac14, 4, 1, 4, 4, 16, 64, 1024$ . El primer número es $\dfrac14$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since each term is the product of the two before it, dividing any term by the term just before it recovers the term two positions earlier. Working backwards from the last three terms $16, 64, 1024$ :

$\begin{gathered} 64 \div 16 = 4, \quad 16 \div 4 = 4, \\ 4 \div 4 = 1, \quad 4 \div 1 = 4, \\ 1 \div 4 = \dfrac14. \end{gathered}$

These fill in the earlier terms, giving the full list $\dfrac14, 4, 1, 4, 4, 16, 64, 1024$ . The first number is $\dfrac14$ .

Thus, the correct answer is A .

1990 AMC 8 Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años