Question

La araña Charlotte camina por una telaraña con forma de estrella de $5$ puntas, como se muestra en la figura de abajo. La telaraña tiene $5$ puntos exteriores y $5$ puntos interiores. Cada vez que Charlotte llega a un punto, elige al azar un punto vecino y se mueve hacia él. Charlotte comienza en uno de los puntos exteriores y hace $3$ movimientos (se permite volver a visitar puntos). ¿Cuál es la probabilidad de que ahora esté en uno de los puntos exteriores de la estrella?

Charlotte the spider is walking along a web shaped like a $5$ -pointed star, shown in the figure below. The web has $5$ outer points and $5$ inner points. Each time Charlotte reaches a point, she randomly chooses a neighboring point and moves to that point. Charlotte starts at one of the outer points and makes $3$ moves (re-visiting points is allowed). What is the probability she is now at one of the outer points of the star?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Desde un punto exterior, Charlotte debe moverse a un punto interior. Desde un punto interior, $2$ de los $4$ puntos vecinos son exteriores, así que la probabilidad de moverse a un punto exterior es $1/2$ . Tras un movimiento está en un punto interior. Tras dos movimientos está en un exterior con probabilidad $1/2$ y en un interior con probabilidad $1/2$ . Tras el tercer movimiento, solo el caso interior puede pasar a exterior, con probabilidad $1/2$ , así que la probabilidad final es $\frac12\cdot\frac12=\frac14$ .

From an outer point, Charlotte must move to an inner point. From an inner point, $2$ of the $4$ neighboring points are outer, so the probability of moving to an outer point is $1/2$ . After one move she is inner. After two moves she is outer with probability $1/2$ and inner with probability $1/2$ . After the third move, only the inner case can move to outer, with probability $1/2$ , so the final probability is $\frac12\cdot\frac12=\frac14$ .

2026 AMC 8 Problema 21

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 21 en otros años