Question

Supón que $a,$ $b,$ y $c$ son números reales distintos de cero, y $a+b+c=0.$ ¿Cuáles son los valores posibles de $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}?$

Suppose $a,$ $b,$ and $c$ are nonzero real numbers, and $a+b+c=0.$ What are the possible value(s) for $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}?$

$0$

$1$ y $-1$

$1$ and $-1$

$2$ y $-2$

$2$ and $-2$

$0$ , $2$ y $-2$

$0$ , $2$ , and $-2$

$0$ , $1$ y $-1$

$0$ , $1$ , and $-1$

Solución en video:

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Solución escrita:

Como la suma es $0,$ los números no pueden ser todos positivos o negativos. Nota también que si $x < 0,$ $\dfrac{x}{|x|} = -1,$ y si $x > 0,$ $\dfrac{x}{|x|} = 1.$

Esto da dos casos: dos son positivos y uno negativo, o viceversa. Primero el Caso I: dos son positivos y uno es negativo.

Sin pérdida de generalidad, sean $a, b > 0$ y $c < 0.$ Entonces $abc < 0.$ Esto significa que $\dfrac{a}{|a|} = \dfrac{b}{|b|} = 1$ y $\dfrac{c}{|c|} = \dfrac{abc}{|abc|} = -1.$ Entonces $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|} = 0.$

Si dos son negativos y uno positivo, es el Caso II:

Sin pérdida de generalidad, sean $a, b < 0$ y $c > 0.$ Entonces $abc > 0.$ Esto significa que $\dfrac{a}{|a|} = \dfrac{b}{|b|} = -1$ y $\dfrac{c}{|c|} = \dfrac{abc}{|abc|} = 1.$ Entonces $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|} = 0.$

De cualquier manera, $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}$ es igual a $0.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since the sum is $0,$ all the numbers cannot be positive or negative. This gives two cases: two are positive and one is negative or vice versa. Also note that if $x < 0,$ $\dfrac{x}{|x|} = -1,$ and if $x > 0,$ $\dfrac{x}{|x|} = 1.$

Case I: two are positive and one is negative

WLOG, let $a, b > 0$ and $c < 0.$ Then $abc < 0.$ This means that $\dfrac{a}{|a|} = \dfrac{b}{|b|} = 1$ and $\dfrac{c}{|c|} = \dfrac{abc}{|abc|} = -1.$ Then $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|} = 0.$

Case II: two are negative and one is positive

WLOG, let $a, b < 0$ and $c > 0.$ Then $abc > 0.$ This means that $\dfrac{a}{|a|} = \dfrac{b}{|b|} = -1$ and $\dfrac{c}{|c|} = \dfrac{abc}{|abc|} = 1.$ Then $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|} = 0.$

Either way, $\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}$ equals $0.$

Thus, A is the correct answer.

2017 AMC 8 Problema 21

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 21 en otros años