Question

Alina escribe los números $1,2,\cdots,9$ en tarjetas separadas, un número por tarjeta. Desea dividir las tarjetas en $3$ grupos de $3$ tarjetas de modo que la suma de los números en cada grupo sea la misma. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Alina writes the numbers $1,2,\cdots,9$ on separate cards, one number per card. She wishes to divide the cards into $3$ groups of $3$ cards so that the sum of the numbers in each group will be the same. In how many ways can this be done?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución en video:

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Solución escrita:

La suma de todos los números es $\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45.$ Esto significa que la suma de cada grupo es $45 \div 3 = 15.$

Considera el grupo que contiene el $9$ . Los otros dos números deben sumar $6.$ Por lo tanto, las otras tarjetas de este grupo son $1$ y $5$ , o $2$ y $4.$

Caso $1:$ Un grupo es $1, 5, 9$

Considera el grupo que contiene el $8$ . Los otros números deben sumar $7.$ La única opción es $3$ y $4$ con las tarjetas restantes.

El otro grupo es entonces $2,6,$ y $7.$ Esto suma $15,$ así que este caso aporta una posibilidad.

Caso $2:$ Un grupo es $2, 4, 9$

Considera el grupo que contiene el $8$ . Como antes, los otros números deben sumar $7.$ La única opción es $1$ y $6.$

El grupo final es $3, 5,$ y $7,$ que suma $15.$ Esta es otra configuración.

Hemos revisado todos los casos, lo que reveló que solo hay $2$ agrupaciones posibles.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The sum of all the numbers is $\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45.$ This means that the sum of each group is $45 \div 3 = 15.$

Consider the group with $9$ in it. The other two numbers must add to $6.$ Therefore, the other cards in this group are $1$ and $5$ or $2$ and $4.$

Case $1:$ One group is $1, 5, 9$

Consider the group with $8$ in it. The other numbers must add to $7.$ The only option is $3$ and $4$ with the remaining cards.

The other group is then $2,6,$ and $7.$ This adds to $15,$ so this case contributes one possibility.

Case $2:$ One group is $2, 4, 9$

Consider the group with $8$ in it. As above, the other numbers have to add to $7.$ The only option is $1$ and $6.$

The final group is $3, 5,$ and $7,$ which adds to $15.$ This is another configuration.

We have gone through all the cases, which revealed that there are only $2$ possible groupings.

Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 21

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 21 en otros años