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Soluciones del 2026 AMC 8

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? 1+2−3+4+5−6+ 1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 6 + {} 7+8−9+10+11−12 7 + 8 - 9 + 10 + 11 - 12
What is the value of the following expression? 1+2−3+4+5−6+ 1 + 2 - 3 + 4 + 5 - 6 + {} 7+8−9+10+11−12 7 + 8 - 9 + 10 + 11 - 12
1818
2121
2424
2727
3030
Conceptos:operaciones con números enterosemparejamiento y agrupación
Nivel de dificultad: 370
Pista pequeña:
Agrupa los términos de tres en tres.
Group the terms in threes
Pista grande:
Los grupos son (1+2−3),(4+5−6),…(1+2-3), (4+5-6), \ldots.
(1+2−3),(4+5−6),…(1+2-3), (4+5-6), \ldots
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Solución escrita:
Agrupamos la expresión como (1+2−3)(1+2-3) +(4+5−6)+(4+5-6) +(7+8−9)+(7+8-9) +(10+11−12)+(10+11-12). Las sumas de estos grupos son 0,3,6,90,3,6,9, respectivamente, así que el total es 0+3+6+9=180+3+6+9=18.
Group the expression as (1+2−3)(1+2-3) +(4+5−6)+(4+5-6) +(7+8−9)+(7+8-9) +(10+11−12)+(10+11-12). These group sums are 0,3,6,90,3,6,9, respectively, so the total is 0+3+6+9=180+3+6+9=18.

2.

En el arreglo que se muestra abajo, tres 33 están rodeados por 22, que a su vez están rodeados por un borde de 11. ¿Cuál es la suma de los números del arreglo?
11111111222221123332112222211111111 \begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}
In the array shown below, three 33s are surrounded by 22s, which are in turn surrounded by a border of 11s. What is the sum of the numbers in the array?
11111111222221123332112222211111111 \begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}
4949
5151
5353
5555
5757
Conceptos:conteo básico
Nivel de dificultad: 660
Pista pequeña:
Cuenta cuántas casillas son 11, 22 y 33.
Count how many entries are 11, 22, and 33
Pista grande:
Usa una suma ponderada: 1⋅#1+2⋅#2+3⋅#31\cdot\#1+2\cdot\#2+3\cdot\#3.
Use a weighted sum: 1⋅#1+2⋅#2+3⋅#31\cdot\#1+2\cdot\#2+3\cdot\#3
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Solución escrita:
Hay 2020 casillas en el borde iguales a 11, 1212 casillas iguales a 22 y 33 casillas iguales a 33. La suma es 20⋅1+12⋅2+3⋅320\cdot1+12\cdot2+3\cdot3 =20+24+9=20+24+9 =53=53.
There are 2020 border entries equal to 11, 1212 entries equal to 22, and 33 entries equal to 33. The sum is 20⋅1+12⋅2+3⋅320\cdot1+12\cdot2+3\cdot3 =20+24+9=20+24+9 =53=53.

3.

Haruki tiene un trozo de alambre de 2424 centímetros de largo. Quiere doblarlo para formar cada una de las siguientes figuras, una a la vez.
Un hexágono regular de lado 55 cm.
Un cuadrado de área 3636 cm².
Un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 66 y 88 cm.
¿Cuáles de las figuras puede formar Haruki?
Haruki has a piece of wire that is 2424 centimeters long. He wants to bend it to form each of the following shapes, one at a time.
A regular hexagon with side length 55 cm.
A square of area 3636 cm².
A right triangle whose legs are 66 and 88 cm long.
Which of the shapes can Haruki make?
Solo el triángulo
Triangle only
Solo el hexágono y el cuadrado
Hexagon and square only
Solo el hexágono y el triángulo
Hexagon and triangle only
Solo el cuadrado y el triángulo
Square and triangle only
El hexágono, el triángulo y el cuadrado
Hexagon, triangle, and square
Conceptos:perímetroTerna pitagórica
Nivel de dificultad: 720
Pista pequeña:
Compara el perímetro de cada figura con 2424.
Compare each shape’s perimeter with 2424
Pista grande:
El triángulo rectángulo tiene hipotenusa 1010.
The right triangle has hypotenuse 1010
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Solución escrita:
El hexágono regular tendría perímetro 6⋅5=306\cdot5=30, demasiado largo para el alambre. El cuadrado tiene lado 66, así que su perímetro es 2424. El triángulo rectángulo tiene hipotenusa 1010, así que su perímetro es 6+8+10=246+8+10=24. Haruki solo puede formar el cuadrado y el triángulo.
The regular hexagon would have perimeter 6⋅5=306\cdot5=30, too long for the wire. The square has side length 66, so its perimeter is 2424. The right triangle has hypotenuse 1010, so its perimeter is 6+8+10=246+8+10=24. Haruki can make the square and the triangle only.

4.

Los ahorros de Brynn disminuyeron un 20%20\% en julio y luego aumentaron un 50%50\% en agosto. ¿Qué porcentaje del monto original son ahora los ahorros de Brynn?
Brynn’s savings decreased by 20%20\% in July, then increased by 50%50\% in August. Brynn’s savings are now what percent of the original amount?
8080
9090
100100
110110
120120
Conceptos:porcentaje
Nivel de dificultad: 770
Pista pequeña:
Usa 100100 como el monto original.
Use 100100 as the original amount
Pista grande:
Después de julio, multiplica por 0.80.8; después de agosto, multiplica por 1.51.5.
After July, multiply by 0.80.8; after August, multiply by 1.51.5
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Solución escrita:
Si el monto original es 100100, entonces tras una disminución del 20%20\% Brynn tiene 8080. Al aumentar un 50%50\% se obtiene 80⋅1.5=12080\cdot1.5=120, así que los ahorros son el 120%120\% del monto original.
If the original amount is 100100, then after a 20%20\% decrease Brynn has 8080. Increasing by 50%50\% gives 80⋅1.5=12080\cdot1.5=120, so the savings are 120%120\% of the original amount.

5.

Casey hizo un viaje por carretera de 100100 millas, deteniéndose solo para almorzar en el camino. El viaje tomó 33 horas en total y su velocidad promedio mientras conducía fue de 4040 millas por hora. ¿Cuántos minutos duró el descanso para almorzar?
Casey went on a road trip that covered 100100 miles, stopping only for a lunch break along the way. The trip took 33 hours in total and her average speed while driving was 4040 miles per hour. In minutes, how long was the lunch break?
1515
3030
4040
4545
6060
Conceptos:distancia, velocidad y tiempo
Nivel de dificultad: 870
Pista pequeña:
Halla el tiempo de conducción a partir de la distancia y la velocidad.
Find the driving time from distance and speed
Pista grande:
El descanso para almorzar es el tiempo total menos el tiempo de conducción.
The lunch break is the total time minus the driving time
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Solución escrita:
Conducir 100100 millas a 4040 millas por hora toma 10040=2.5\frac{100}{40}=2.5 horas. Todo el viaje tomó 33 horas, así que el descanso para almorzar duró 0.50.5 horas, es decir, 3030 minutos.
Driving 100100 miles at 4040 miles per hour takes 10040=2.5\frac{100}{40}=2.5 hours. The whole trip took 33 hours, so the lunch break lasted 0.50.5 hours, which is 3030 minutes.

6.

Peter vive cerca de un campo rectangular lleno de zarzamoras. El campo mide 1010 metros de largo y 88 metros de ancho, y Peter puede alcanzar cualquier zarzamora que esté a menos de 11 metro de un borde del campo. La parte del campo que puede alcanzar está sombreada en la figura de abajo. ¿Qué fracción del área del campo puede alcanzar Peter?
Peter lives near a rectangular field that is filled with blackberry bushes. The field is 1010 meters long and 88 meters wide, and Peter can reach any blackberries that are within 11 meter of an edge of the field. The portion of the field he can reach is shaded in the figure below. What fraction of the area of the field can Peter reach?
16\dfrac{1}{6}
14\dfrac{1}{4}
13\dfrac{1}{3}
38\dfrac{3}{8}
25\dfrac{2}{5}
Conceptos:áreafracción
Nivel de dificultad: 900
Pista pequeña:
Halla el rectángulo interior que no puede alcanzar.
Find the unreachable inner rectangle
Pista grande:
El área alcanzable es igual al área del campo menos el área interior.
Reachable area = field area - inner area
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Solución escrita:
Todo el campo tiene área 10⋅8=8010\cdot8=80. El rectángulo interior inalcanzable mide 88 metros por 66 metros, con área 4848. Así, el área alcanzable es 80−48=3280-48=32, y la fracción es 3280=25\frac{32}{80}=\frac{2}{5}.
The whole field has area 10⋅8=8010\cdot8=80. The unreachable inner rectangle is 88 meters by 66 meters, with area 4848. Thus the reachable area is 80−48=3280-48=32, and the fraction is 3280=25\frac{32}{80}=\frac{2}{5}.

7.

Mika quiere estimar qué tan lejos puede llegar con un nuevo modelo de bicicleta eléctrica con la batería completamente cargada. Realizó dos recorridos que suman 4040 millas. El primer recorrido usó 12\frac{1}{2} de la carga total de la batería, mientras que el segundo usó 310\frac{3}{10} de la carga total. ¿Cuántas millas puede recorrer esta bicicleta eléctrica con la batería completamente cargada?
Mika would like to estimate how far she can ride a new model of electric bike on a fully charged battery. She completed two trips totaling 4040 miles. The first trip used 12\frac{1}{2} of the total battery power, while the second trip used 310\frac{3}{10} of the total battery power. How many miles can this electric bike go on a fully charged battery?
4545
4848
5050
5252
5555
Conceptos:fracciónrazón y proporción
Nivel de dificultad: 980
Pista pequeña:
Suma las fracciones de batería usadas en los dos recorridos.
Add the fractions of battery used on the two trips
Pista grande:
4040 millas son 45\frac45 de una carga completa.
4040 miles is 45\frac45 of a full charge
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Solución escrita:
Los dos recorridos usaron 12+310=45\frac12+\frac3{10}=\frac45 de una batería completa. Como 45\frac45 del alcance son 4040 millas, una carga completa da 40÷45=5040\div\frac45=50 millas.
The two trips used 12+310=45\frac12+\frac3{10}=\frac45 of a full battery. Since 45\frac45 of the range is 4040 miles, a full charge gives 40÷45=5040\div\frac45=50 miles.

8.

Una encuesta preguntó a cierto número de personas si les gustaba resolver problemas de matemáticas. Exactamente el 74%74\% respondió “sí”. ¿Cuál es la menor cantidad posible de personas a las que se les pudo haber hecho la pregunta?
A poll asked a number of people if they liked solving mathematics problems. Exactly 74%74\% answered “yes.” What is the fewest possible number of people who could have been asked the question?
1010
2020
2525
5050
100100
Conceptos:porcentajefracción
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Escribe 74%74\% como una fracción del total.
Write 74%74\% as a fraction of the total
Pista grande:
Simplifica la fracción del porcentaje y usa su denominador.
Reduce the percentage fraction and use its denominator
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Solución escrita:
Exactamente 74%=74100=375074\%=\frac{74}{100}=\frac{37}{50} de las personas respondió que sí. Por lo tanto, el número total de personas debe ser un múltiplo de 5050, y 5050 personas es posible.
Exactly 74%=74100=375074\%=\frac{74}{100}=\frac{37}{50} of the people answered yes. The total number of people must therefore be a multiple of 5050, and 5050 people is possible.

9.

¿Cuál es el valor de esta expresión? 16818116 \frac{\sqrt{16\sqrt{81}}}{\sqrt{81\sqrt{16}}}
What is the value of this expression? 16818116 \frac{\sqrt{16\sqrt{81}}}{\sqrt{81\sqrt{16}}}
49\dfrac{4}{9}
23\dfrac{2}{3}
11
32\dfrac{3}{2}
94\dfrac{9}{4}
Conceptos:radical
Nivel de dificultad: 1040
Pista pequeña:
Primero evalúa las raíces cuadradas interiores.
Evaluate the inner square roots first
Pista grande:
El numerador es 16⋅9\sqrt{16\cdot9}, y el denominador es 81⋅4\sqrt{81\cdot4}.
The numerator is 16⋅9\sqrt{16\cdot9}, and the denominator is 81⋅4\sqrt{81\cdot4}
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Solución escrita:
El numerador es 1681\sqrt{16\sqrt{81}} =16⋅9=\sqrt{16\cdot9} =144=\sqrt{144} =12=12. El denominador es 8116\sqrt{81\sqrt{16}} =81⋅4=\sqrt{81\cdot4} =324=\sqrt{324} =18=18. El valor es 1218=23\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.
The numerator is 1681\sqrt{16\sqrt{81}} =16⋅9=\sqrt{16\cdot9} =144=\sqrt{144} =12=12. The denominator is 8116\sqrt{81\sqrt{16}} =81⋅4=\sqrt{81\cdot4} =324=\sqrt{324} =18=18. The value is 1218=23\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.

10.

Cinco corredores completaron el agotador Xmaratón: Luke, Melina, Nico, Olympia y Pedro.
• Nico terminó 1111 minutos detrás de Pedro.
• Olympia terminó 22 minutos antes que Melina, pero 33 minutos detrás de Pedro.
• Olympia terminó 66 minutos antes que Luke.
¿Qué corredor terminó en cuarto lugar?
Five runners completed the grueling Xmarathon: Luke, Melina, Nico, Olympia, and Pedro.
• Nico finished 1111 minutes behind Pedro.
• Olympia finished 22 minutes ahead of Melina, but 33 minutes behind Pedro.
• Olympia finished 66 minutes ahead of Luke.
Which runner finished fourth?
Luke
Melina
Nico
Olympia
Pedro
Conceptos:deducción lógica
Nivel de dificultad: 1040
Pista pequeña:
Mide todos los tiempos de llegada respecto a Pedro.
Measure all finish times relative to Pedro
Pista grande:
Olympia está 33 minutos detrás de Pedro; Melina y Luke llegan después de Olympia.
Olympia is 33 minutes behind Pedro; Melina and Luke are after Olympia
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Solución escrita:
Mide los tiempos de llegada en minutos después de Pedro. Entonces Pedro está en 00, Olympia en 33, Melina en 55, Luke en 99 y Nico en 1111. El cuarto en llegar es Luke.
Measure finish times in minutes after Pedro. Then Pedro is at 00, Olympia is at 33, Melina is at 55, Luke is at 99, and Nico is at 1111. The fourth finisher is Luke.

11.

Cuadrados de lado 1,1, 1,1, 2,2, 3,3, y 55 se disponen para formar el rectángulo que se muestra abajo. Se traza una curva inscribiendo un cuarto de circunferencia en cada cuadrado y uniendo los cuartos de circunferencia en orden, del más corto al más largo. ¿Cuál es la longitud de la curva?
Squares of side length 1,1, 1,1, 2,2, 3,3, and 55 are arranged to form the rectangle shown below. A curve is drawn by inscribing a quarter circle in each square and joining the quarter circles in order, from shortest to longest. What is the length of the curve?
4π4\pi
6π6\pi
132π\dfrac{13}{2}\pi
8π8\pi
13π13\pi
Conceptos:arcocircunferencia
Nivel de dificultad: 1120
Pista pequeña:
Cada arco es un cuarto de circunferencia.
Each arc is one quarter of a circle
Pista grande:
Suma los radios 1+1+2+3+51+1+2+3+5 y luego multiplica por π2\frac{\pi}{2}.
Add the radii 1+1+2+3+51+1+2+3+5, then multiply by π2\frac{\pi}{2}
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Solución escrita:
Cada pieza de la curva es un cuarto de circunferencia. Los radios son 1,1,2,3,51,1,2,3,5, así que la longitud total es 14⋅2π(1+1+2+3+5)\frac14\cdot2\pi(1+1+2+3+5) =π2⋅12=\frac{\pi}{2}\cdot12 =6π=6\pi.
Each piece of the curve is a quarter circle. The radii are 1,1,2,3,51,1,2,3,5, so the total length is 14⋅2π(1+1+2+3+5)\frac14\cdot2\pi(1+1+2+3+5) =π2⋅12=\frac{\pi}{2}\cdot12 =6π=6\pi.

12.

En la figura de abajo, cada círculo se llenará con un dígito del 11 al 6.6. Cada dígito debe aparecer exactamente una vez. La suma de los dígitos de círculos vecinos se muestra en la casilla entre ellos. ¿Qué dígito debe colocarse en el círculo superior?
In the figure below, each circle will be filled with a digit from 11 to 6.6. Each digit must appear exactly once. The sum of the digits in neighboring circles is shown in the box between them. What digit must be placed in the top circle?
22
33
44
55
es imposible llenar los círculos
it is impossible to fill the circles
Conceptos:deducción lógicaecuación lineal
Nivel de dificultad: 1310
Pista pequeña:
Sea xx el dígito superior.
Let the top digit be xx
Pista grande:
Los dos dígitos adyacentes de arriba son 9−x9-x y 6−x6-x.
The two adjacent upper digits are 9−x9-x and 6−x6-x
Solución en video:
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Solución escrita:
Sea xx el dígito superior. Girando en sentido horario desde arriba, los demás dígitos son 9−x9-x, x−2x-2, 7−x7-x, x+1x+1 y 6−x6-x. Para que estos seis valores sean exactamente 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6, el valor x=5x=5 funciona y da el conjunto 5,4,3,2,6,15,4,3,2,6,1. Así, el dígito superior es 55.
Let the top digit be xx. Moving clockwise from the top, the other digits are 9−x9-x, x−2x-2, 7−x7-x, x+1x+1, and 6−x6-x. For these six values to be exactly 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6, the value x=5x=5 works and gives the set 5,4,3,2,6,15,4,3,2,6,1. Thus the top digit is 55.

13.

La figura de abajo muestra un embaldosado con cuadrados unitarios de 1×11 \times 1. Cada fila de cuadrados unitarios está desplazada horizontalmente media unidad respecto a la fila de arriba. Se dibuja un cuadrado sombreado sobre el embaldosado. Cada vértice del cuadrado sombreado es un vértice de uno de los cuadrados unitarios. En unidades cuadradas, ¿cuál es el área del cuadrado sombreado?
The figure below shows a tiling of 1×11 \times 1 unit squares. Each row of unit squares is shifted horizontally by half a unit relative to the row above it. A shaded square is drawn on top of the tiling. Each vertex of the shaded square is a vertex of one of the unit squares. In square units, what is the area of the shaded square?
1010
212\dfrac{21}{2}
323\dfrac{32}{3}
1111
343\dfrac{34}{3}
Conceptos:Teorema de Pitágorascuadrado (geometría)
Nivel de dificultad: 1330
Pista pequeña:
Observa un lado del cuadrado sombreado.
Look at one side of the shaded square
Pista grande:
Ese lado se desplaza 33 unidades horizontalmente y 11 unidad verticalmente.
That side moves 33 units horizontally and 11 unit vertically
Solución en video:
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Solución escrita:
Un lado del cuadrado sombreado avanza 33 unidades horizontalmente y 11 unidad verticalmente en la cuadrícula. Por lo tanto, su longitud al cuadrado es 32+12=103^2+1^2=10. El área de un cuadrado es igual a su lado al cuadrado, así que el área sombreada es 1010.
One side of the shaded square goes 33 unit widths horizontally and 11 unit vertically in the grid. Its length squared is therefore 32+12=103^2+1^2=10. The area of a square equals its side length squared, so the shaded area is 1010.

14.

Jami eligió tres números enteros igualmente espaciados en la recta numérica. La suma del primero y el segundo números es 40,40, mientras que la suma del segundo y el tercero es 60.60. ¿Cuál es la suma de los tres números?
Jami picked three equally spaced integer numbers on the number line. The sum of the first and the second numbers is 40,40, while the sum of the second and third numbers is 60.60. What is the sum of all three numbers?
7070
7575
8080
8585
9090
Conceptos:sucesión aritméticasistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1050
Pista pequeña:
Sean los tres números a−d,a,a+da-d, a, a+d.
Let the three numbers be a−d,a,a+da-d, a, a+d
Pista grande:
Las dos sumas dadas difieren en 2020, así que 2d=202d=20.
The two given sums differ by 2020, so 2d=202d=20
Solución en video:
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Solución escrita:
Sean los tres números igualmente espaciados a−da-d, aa y a+da+d. Las sumas dadas son 2a−d=402a-d=40 y 2a+d=602a+d=60. Sumándolas se obtiene 4a=1004a=100, así que a=25a=25. El total de los tres números es 3a=753a=75.
Let the three equally spaced numbers be a−da-d, aa, and a+da+d. The given sums are 2a−d=402a-d=40 and 2a+d=602a+d=60. Adding gives 4a=1004a=100, so a=25a=25. The total of the three numbers is 3a=753a=75.

15.

Elijah tiene una gran colección de cubos de madera idénticos que son lisos en 44 caras y sombreados en 22 caras que comparten una arista. Pega algunos cubos cara con cara. La figura de abajo muestra 22 cubos pegados, dejando 33 caras sombreadas visibles. ¿Cuál es la menor cantidad de cubos que podría pegar para asegurar que ninguna cara sombreada sea visible, sin importar cómo gire la figura?
Elijah has a large collection of identical wooden cubes which are plain on 44 faces and shaded on 22 faces that share an edge. He glues some cubes together face-to-face. The figure below shows 22 cubes being glued together, leaving 33 shaded faces visible. What is the fewest number of cubes that he could glue together to ensure that no shaded faces are visible, no matter how he rotates the figure?
44
66
88
99
2727
Conceptos:geometría del cuboGeometría 3Dteoría de grafos
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Cada cara sombreada debe estar pegada a otro cubo.
Every shaded face must be glued to another cube
Pista grande:
Con solo 33 cubos, algún cubo tiene a lo sumo un vecino por cara.
With only 33 cubes, some cube has at most one face-neighbor
Solución en video:
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Solución escrita:
Para que ninguna cara sombreada sea visible, cada cubo debe tener sus dos caras sombreadas pegadas a cubos vecinos, así que cada cubo necesita dos vecinos por cara. Con solo tres cubos, el grafo de adyacencia por caras es un camino, así que un cubo del extremo tiene solo un vecino por cara. Cuatro cubos dispuestos como un cuadrado de 2×22\times2 pueden orientarse cada uno con sus dos caras sombreadas apuntando hacia adentro, así que 44 cubos bastan.
For no shaded face to be visible, each cube must have both of its shaded faces glued to neighboring cubes, so each cube needs two face-neighbors. With only three cubes, the face-adjacency graph is a path, so an end cube has only one face-neighbor. Four cubes arranged as a 2×22\times2 square can each be oriented with its two shaded faces pointing inward, so 44 cubes suffice.

16.

Considera todos los enteros positivos de cuatro dígitos formados solo por dígitos pares. ¿Qué fracción de estos enteros es divisible entre 44?
Consider all positive four-digit integers consisting of only even digits. What fraction of these integers are divisible by 4?4?
14\dfrac{1}{4}
25\dfrac{2}{5}
12\dfrac{1}{2}
35\dfrac{3}{5}
34\dfrac{3}{4}
Conceptos:divisibilidaddígitos
Nivel de dificultad: 1330
Pista pequeña:
La divisibilidad entre 44 depende solo de los dos últimos dígitos.
Divisibility by 44 depends only on the last two digits
Pista grande:
Para cada dígito de las decenas, el dígito de las unidades debe ser 00, 44 u 88.
For each tens digit, the ones digit must be 00, 44, or 88
Solución en video:
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Solución escrita:
Hay 44 opciones para el dígito de los millares y 55 opciones para cada otro dígito. La divisibilidad entre 44 depende solo de los dos últimos dígitos. Entre las 2525 terminaciones de dígitos pares, para cada dígito de las decenas 0,2,4,6,80,2,4,6,8, el de las unidades puede ser 0,4,80,4,8, así que 1515 terminaciones funcionan. La fracción buscada es 1525=35\frac{15}{25}=\frac{3}{5}.
There are 44 choices for the thousands digit and 55 choices for each other digit. Divisibility by 44 depends only on the last two digits. Among the 2525 even digit endings, for each tens digit 0,2,4,6,80,2,4,6,8, the ones digit can be 0,4,80,4,8, so 1515 endings work. The desired fraction is 1525=35\frac{15}{25}=\frac{3}{5}.

17.

Cuatro estudiantes se sientan en una fila. Conversan con las personas sentadas a su lado y luego se reacomodan de modo que ya no queden sentados junto a ninguna de las mismas personas. ¿Cuántos reacomodos son posibles?
Four students are seated in a row. They chat with the people sitting next to them, then rearrange themselves so that they are no longer seated next to any of the same people. How many rearrangements are possible?
22
44
99
1212
2424
Conceptos:arreglos con restriccionespermutaciones
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Nombra el orden original A,B,C,DA,B,C,D.
Name the original order A,B,C,DA,B,C,D
Pista grande:
Los pares vecinos permitidos son ACAC, ADAD, BDBD.
The allowed neighboring pairs are ACAC, ADAD, and BDBD
Solución en video:
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Solución escrita:
Nombra el orden original A,B,C,DA,B,C,D. Los pares vecinos prohibidos son ABAB, BCBC, CDCD, así que los únicos pares permitidos son ACAC, ADAD, BDBD. Para sentar a los cuatro estudiantes en una fila, las tres adyacencias de la fila deben ser exactamente estas tres aristas, dando C,A,D,BC,A,D,B o su inverso. Hay 22 reacomodos.
Name the original order A,B,C,DA,B,C,D. The forbidden neighboring pairs are ABAB, BCBC, and CDCD, so the only allowed pairs are ACAC, ADAD, and BDBD. To seat all four students in a row, the three row-adjacencies must be exactly these three edges, giving C,A,D,BC,A,D,B or its reverse. There are 22 rearrangements.

18.

¿De cuántas maneras se puede escribir 6060 como la suma de dos o más enteros positivos impares consecutivos ordenados de manera creciente?
In how many ways can 6060 be written as the sum of two or more consecutive odd positive integers that are arranged in increasing order?
11
22
33
44
55
Conceptos:sucesión aritméticadivisibilidadanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1510
Pista pequeña:
Escribe los términos como a,a+2,…,a+2(k−1)a,a+2,\ldots,a+2(k-1).
Write the terms as a,a+2,…,a+2(k−1)a,a+2,\ldots,a+2(k-1)
Pista grande:
Su suma es k(a+k−1)k(a+k-1), así que kk debe dividir a 6060.
Their sum is k(a+k−1)k(a+k-1), so kk must divide 6060
Solución en video:
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Solución escrita:
Supongamos que hay k≥2k\ge2 términos, comenzando con el entero positivo impar aa. La suma es a+(a+2)+⋯+(a+2k−2)a+(a+2)+\cdots+(a+2k-2) =k(a+k−1)=k(a+k-1) =60=60. Probando los divisores kk de 6060, los inicios impares positivos ocurren para k=2k=2, dando 29+3129+31, y para k=6k=6, dando 5+7+9+11+13+155+7+9+11+13+15. Así, hay 22 maneras.
Suppose there are k≥2k\ge2 terms, starting with odd positive integer aa. The sum is a+(a+2)+⋯+(a+2k−2)a+(a+2)+\cdots+(a+2k-2) =k(a+k−1)=k(a+k-1) =60=60. Testing divisors kk of 6060, the positive odd starts occur for k=2k=2, giving 29+3129+31, and for k=6k=6, giving 5+7+9+11+13+155+7+9+11+13+15. Thus there are 22 ways.

19.

Miguel pasea con su perra, Luna. Cuando llegan a la entrada de un parque, Miguel lanza una pelota hacia adelante y sigue caminando a paso constante. Luna corre hacia la pelota, que se detiene junto a un árbol. En cuanto la perra alcanza la pelota, se la lleva de vuelta a Miguel. Luna corre 55 veces más rápido de lo que Miguel camina. ¿Qué fracción de la distancia entre la entrada y el árbol recorre Miguel para cuando Luna le trae la pelota?
Miguel is walking with his dog, Luna. When they reach the entrance to a park, Miguel throws a ball straight ahead and continues to walk at a steady pace. Luna sprints toward the ball, which stops by a tree. As soon as the dog reaches the ball, she brings it back to Miguel. Luna runs 55 times faster than Miguel walks. What fraction of the distance between the entrance and the tree does Miguel cover by the time Luna brings him the ball?
16\dfrac{1}{6}
15\dfrac{1}{5}
14\dfrac{1}{4}
13\dfrac{1}{3}
25\dfrac{2}{5}
Conceptos:distancia, velocidad y tiemporazón y proporción
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Sea DD la distancia de la entrada al árbol.
Let the entrance-to-tree distance be DD
Pista grande:
Después de que Luna llega al árbol, Miguel y Luna se mueven uno hacia el otro.
After Luna reaches the tree, Miguel and Luna move toward each other
Solución en video:
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Solución escrita:
Sea DD la distancia de la entrada al árbol, y sea 11 la velocidad de Miguel. La velocidad de Luna es 55. Luna llega al árbol en un tiempo D5\frac{D}{5}, durante el cual Miguel camina D5\frac{D}{5}. La distancia restante entre Luna y Miguel es 4D5\frac{4D}{5}, y la cierran a una velocidad combinada de 66, tomando un tiempo 2D15\frac{2D}{15}. Miguel camina una distancia total de D5+2D15=D3\frac{D}{5}+\frac{2D}{15}=\frac{D}{3}, que es 13\frac{1}{3} de la distancia de la entrada al árbol.
Let the entrance-to-tree distance be DD, and let Miguel’s speed be 11. Luna’s speed is 55. Luna reaches the tree in time D5\frac{D}{5}, during which Miguel walks D5\frac{D}{5}. The remaining distance between Luna and Miguel is 4D5\frac{4D}{5}, and they close it at combined speed 66, taking time 2D15\frac{2D}{15}. Miguel walks a total distance D5+2D15=D3\frac{D}{5}+\frac{2D}{15}=\frac{D}{3}, which is 13\frac{1}{3} of the entrance-to-tree distance.

20.

El país de Catania usa monedas de oro y monedas de plata. Las monedas de oro tienen 11 mm de grosor y las de plata 33 mm. ¿De cuántas maneras puede Taylor formar una pila de monedas de 88 mm de altura usando cualquier disposición de monedas de oro y plata, suponiendo que el orden importa?
The land of Catania uses gold coins and silver coins. Gold coins are 11 mm thick and silver coins are 33 mm thick. In how many ways can Taylor make a stack of coins that is 88 mm tall using any arrangement of gold and silver coins, assuming order matters?
33
77
1010
1313
1616
Conceptos:particiones y composicionescombinacionesanálisis por casos
Nivel de dificultad: 1510
Pista pequeña:
Cuenta según el número de monedas de plata.
Count by the number of silver coins
Pista grande:
Con kk monedas de plata, ordena kk letras S y 8−3k8-3k letras G.
With kk silver coins, arrange kk S’s and 8−3k8-3k G’s
Solución en video:
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Solución escrita:
Cuenta según el número de monedas de plata. Sin monedas de plata, hay 11 pila. Con una moneda de plata, hay 55 monedas de oro y 11 de plata, así que 66 disposiciones. Con dos monedas de plata, hay 22 de oro y 22 de plata, así que (42)=6\binom42=6 disposiciones. Más monedas de plata son demasiado gruesas. El total es 1+6+6=131+6+6=13.
Count by the number of silver coins. With no silver coins, there is 11 stack. With one silver coin, there are 55 gold coins and 11 silver coin, so 66 arrangements. With two silver coins, there are 22 gold coins and 22 silver coins, so (42)=6\binom42=6 arrangements. More silver coins are too thick. The total is 1+6+6=131+6+6=13.

21.

La araña Charlotte camina por una telaraña con forma de estrella de 55 puntas, como se muestra en la figura de abajo. La telaraña tiene 55 puntos exteriores y 55 puntos interiores. Cada vez que Charlotte llega a un punto, elige al azar un punto vecino y se mueve hacia él. Charlotte comienza en uno de los puntos exteriores y hace 33 movimientos (se permite volver a visitar puntos). ¿Cuál es la probabilidad de que ahora esté en uno de los puntos exteriores de la estrella?
Charlotte the spider is walking along a web shaped like a 55-pointed star, shown in the figure below. The web has 55 outer points and 55 inner points. Each time Charlotte reaches a point, she randomly chooses a neighboring point and moves to that point. Charlotte starts at one of the outer points and makes 33 moves (re-visiting points is allowed). What is the probability she is now at one of the outer points of the star?
15\dfrac{1}{5}
14\dfrac{1}{4}
25\dfrac{2}{5}
12\dfrac{1}{2}
35\dfrac{3}{5}
Conceptos:camino aleatorioprobabilidad básica
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Registra solo si está en un punto exterior o interior.
Track only outer versus inner points
Pista grande:
Desde un punto interior, la mitad de los puntos vecinos son exteriores.
From an inner point, half of the neighboring points are outer
Solución en video:
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Solución escrita:
Desde un punto exterior, Charlotte debe moverse a un punto interior. Desde un punto interior, 22 de los 44 puntos vecinos son exteriores, así que la probabilidad de moverse a un punto exterior es 12\frac{1}{2}. Tras un movimiento está en un punto interior. Tras dos movimientos está en un exterior con probabilidad 12\frac{1}{2} y en un interior con probabilidad 12\frac{1}{2}. Tras el tercer movimiento, solo el caso interior puede pasar a exterior, con probabilidad 12\frac{1}{2}, así que la probabilidad final es 12⋅12=14\frac12\cdot\frac12=\frac14.
From an outer point, Charlotte must move to an inner point. From an inner point, 22 of the 44 neighboring points are outer, so the probability of moving to an outer point is 12\frac{1}{2}. After one move she is inner. After two moves she is outer with probability 12\frac{1}{2} and inner with probability 12\frac{1}{2}. After the third move, only the inner case can move to outer, with probability 12\frac{1}{2}, so the final probability is 12⋅12=14\frac12\cdot\frac12=\frac14.

22.

Los enteros del 11 al 2525 se separan arbitrariamente en cinco grupos de 55 números cada uno. Se identifica la mediana de cada grupo. Sea MM la mediana de las cinco medianas. ¿Cuál es el menor valor posible de MM?
The integers from 11 through 2525 are arbitrarily separated into five groups of 55 numbers each. The median of each group is identified. Let MM equal the median of the five medians. What is the least possible value of M?M?
99
1010
1212
1313
1414
Conceptos:mediana (datos)principio del palomarargumento extremal
Nivel de dificultad: 1710
Pista pequeña:
Una mediana de grupo a lo sumo mm requiere al menos 33 números a lo sumo mm.
A group median at most mm needs at least 33 numbers at most mm
Pista grande:
Tres medianas pequeñas requerirían demasiados números pequeños.
Three small medians would require too many small numbers
Solución en video:
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Solución escrita:
Si un grupo tiene mediana a lo sumo 88, entonces al menos 33 números de ese grupo son a lo sumo 88. Para que la mediana de las cinco medianas sea a lo sumo 88, al menos 33 grupos necesitarían tales medianas, requiriendo al menos 99 números a lo sumo 88, lo cual es imposible. Así, M≥9M\ge9. Esto se puede alcanzar, por ejemplo con medianas de grupo 5,8,9,12,175,8,9,12,17: {3,4,5,20,21}\{3,4,5,20,21\}, {6,7,8,22,23}\{6,7,8,22,23\}, {1,2,9,24,25}\{1,2,9,24,25\}, {10,11,12,13,14}\{10,11,12,13,14\} y {15,16,17,18,19}\{15,16,17,18,19\}. Por lo tanto, el menor valor posible es 99.
If a group has median at most 88, then at least 33 numbers in that group are at most 88. For the median of the five medians to be at most 88, at least 33 groups would need such medians, requiring at least 99 numbers at most 88, impossible. Thus M≥9M\ge9. This is attainable, for example with group medians 5,8,9,12,175,8,9,12,17: use groups {3,4,5,20,21}\{3,4,5,20,21\}, {6,7,8,22,23}\{6,7,8,22,23\}, {1,2,9,24,25}\{1,2,9,24,25\}, {10,11,12,13,14}\{10,11,12,13,14\}, and {15,16,17,18,19}\{15,16,17,18,19\}. Hence the least possible value is 99.

23.

Lakshmi tiene 55 monedas redondas de diámetro 44 centímetros. Acomoda las monedas en 22 filas sobre una mesa, como se muestra abajo, y las envuelve ajustadamente con una banda elástica. En centímetros, ¿cuál será la longitud de la banda?
Lakshmi has 55 round coins of diameter 44 centimeters. She arranges the coins in 22 rows on a table top, as shown below, and wraps an elastic band tightly around them. In centimeters, what will be the length of the band?
2π+202\pi + 20
52π+20\dfrac{5}{2}\pi + 20
4π+204\pi + 20
92π+20\dfrac{9}{2}\pi + 20
5π+205\pi + 20
Conceptos:perímetrocircunferenciatrapecio
Nivel de dificultad: 1690
Pista pequeña:
Traza la trayectoria que siguen los centros de las monedas.
Trace the path followed by the centers of the coins
Pista grande:
Suma el perímetro de la envolvente de los centros y una circunferencia completa de radio 22.
Add the center-hull perimeter and one full circumference of radius 22
Solución en video:
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Solución escrita:
Traza la trayectoria de los centros de las monedas. Su envolvente convexa es un trapecio con lado inferior 88, lado superior 44 y dos lados inclinados de longitud 44, así que su perímetro es 2020. Envolver la banda alrededor de monedas de radio 22 añade una circunferencia completa, 2π⋅2=4π2\pi\cdot2=4\pi. La longitud de la banda es 20+4π20+4\pi.
Trace the path of the centers of the coins. Their convex hull is a trapezoid with bottom side 88, top side 44, and two slanted sides of length 44, so its perimeter is 2020. Wrapping the band around coins of radius 22 adds one full circumference, 2π⋅2=4π2\pi\cdot2=4\pi. The band length is 20+4π20+4\pi.

24.

La notación n!n! (que se lee “nn factorial”) se define como el producto de los primeros nn enteros positivos. (Por ejemplo, 3!=1⋅2⋅3=6.3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6.) Define el superfactorial de un entero positivo, denotado por n!,n^!, como el producto de los factoriales de los primeros nn enteros. (Por ejemplo, 3!=1!⋅2!⋅3!=12.3^! = 1! \cdot 2! \cdot 3! = 12.) ¿Cuántos factores 77 aparecen en la factorización en primos de 51!,51^!, el superfactorial de 5151?
The notation n!n! (read “nn factorial”) is defined as the product of the first nn positive integers. (For example, 3!=1⋅2⋅3=6.3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6.) Define the superfactorial of a positive integer, denoted by n!,n^!, to be the product of the factorials of the first nn integers. (For example, 3!=1!⋅2!⋅3!=12.3^! = 1! \cdot 2! \cdot 3! = 12.) How many factors of 77 appear in the prime factorization of 51!,51^!, the superfactorial of 51?51?
147147
150150
156156
168168
171171
Conceptos:Fórmula de Legendrefactorial
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:
Cuenta cuántas veces aparecen múltiplos de 77 en los factoriales.
Count how many times multiples of 77 appear in the factorials
Pista grande:
Usa ∑n=151(⌊n7⌋+⌊n49⌋)\sum_{n=1}^{51}(\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor).
Use ∑n=151(⌊n7⌋+⌊n49⌋)\sum_{n=1}^{51}(\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor)
Solución en video:
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Solución escrita:
Para cada n!n!, el número de factores 77 es ⌊n7⌋+⌊n49⌋\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor. Por lo tanto, el exponente de 77 en 51!51^{!} es ∑n=151⌊n7⌋+∑n=151⌊n49⌋\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{49}\rfloor. La primera suma es 7(1+2+3+4+5+6)+3⋅77(1+2+3+4+5+6)+3\cdot7 =168=168, y la segunda suma es 33. El total es 171171.
For each n!n!, the number of factors of 77 is ⌊n7⌋+⌊n49⌋\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\lfloor \frac{n}{49}\rfloor. Therefore the exponent of 77 in 51!51^{!} is ∑n=151⌊n7⌋+∑n=151⌊n49⌋\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{7}\rfloor+\sum_{n=1}^{51}\lfloor \frac{n}{49}\rfloor. The first sum is 7(1+2+3+4+5+6)+3⋅77(1+2+3+4+5+6)+3\cdot7 =168=168, and the second sum is 33. The total is 171171.

25.

En un hexágono equiángulo, todos los ángulos interiores miden 120∘.120^\circ. Abajo se muestra un ejemplo de tal hexágono con lados 2,2, 3,3, 1,1, 3,3, 2,2, y 22, inscrito en el triángulo equilátero ABC.ABC. Considera todos los hexágonos equiángulos con lados enteros positivos que se pueden inscribir en △ABC,\triangle ABC, con los seis vértices sobre los lados del triángulo. ¿Cuál es el número total de tales hexágonos? Los hexágonos que difieren solo por una rotación o una reflexión se consideran iguales.
In an equiangular hexagon, all interior angles measure 120∘.120^\circ. An example of such a hexagon with side lengths of 2,2, 3,3, 1,1, 3,3, 2,2, and 22 is shown below, inscribed in equilateral triangle ABC.ABC. Consider all equiangular hexagons with positive integer side lengths that can be inscribed in △ABC,\triangle ABC, with all six vertices on the sides of the triangle. What is the total number of such hexagons? Hexagons that differ only by a rotation or a reflection are considered the same.
44
55
66
77
88
Conceptos:polígono equiángulotriángulo equiláteroenumeración sistemática
Nivel de dificultad: 2000
Pista pequeña:
Sean x,y,zx,y,z las longitudes pequeñas de las esquinas en A,B,CA,B,C.
Let x,y,zx,y,z be the small corner lengths at A,B,CA,B,C
Pista grande:
El lado del triángulo es 66, así que x+yx+y, y+zy+z, z+xz+x son todos menores que 66.
The triangle side is 66, so x+yx+y, y+zy+z, and z+xz+x are all less than 66
Solución en video:
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Solución escrita:
El ejemplo muestra que cada lado de △ABC\triangle ABC tiene longitud 66. Sean x,y,zx,y,z las longitudes pequeñas recortadas en las esquinas A,B,CA,B,C, respectivamente. Entonces los otros tres lados del hexágono son 6−x−y6-x-y, 6−y−z6-y-z y 6−z−x6-z-x. Los seis lados son enteros positivos exactamente cuando x,y,zx,y,z son enteros positivos y la suma de cada par es menor que 66. Salvo rotación y reflexión, esto significa contar las ternas no ordenadas x≤y≤zx\le y\le z con y+z<6y+z\lt6: (1,1,1)(1,1,1), (1,1,2)(1,1,2), (1,1,3)(1,1,3), (1,1,4)(1,1,4), (1,2,2)(1,2,2), (1,2,3)(1,2,3), (2,2,2)(2,2,2) y (2,2,3)(2,2,3). Hay 88 tales hexágonos.
The example shows that each side of △ABC\triangle ABC has length 66. Let x,y,zx,y,z be the small corner lengths cut off at A,B,CA,B,C, respectively. Then the other three side lengths of the hexagon are 6−x−y6-x-y, 6−y−z6-y-z, and 6−z−x6-z-x. All six side lengths are positive integers exactly when x,y,zx,y,z are positive integers and each pair sum is less than 66. Up to rotation and reflection, this means counting unordered triples x≤y≤zx\le y\le z with y+z<6y+z\lt6: (1,1,1)(1,1,1), (1,1,2)(1,1,2), (1,1,3)(1,1,3), (1,1,4)(1,1,4), (1,2,2)(1,2,2), (1,2,3)(1,2,3), (2,2,2)(2,2,2), and (2,2,3)(2,2,3). There are 88 such hexagons.