Question

Un salón de clases tiene una fila de $35$ ganchos para abrigos. A Paulina le gusta que los abrigos estén igualmente espaciados, de modo que haya el mismo número de ganchos vacíos antes del primer abrigo, después del último abrigo y entre cada abrigo y el siguiente. Supón que hay al menos $1$ abrigo y al menos $1$ gancho vacío. ¿Cuántos números diferentes de abrigos pueden satisfacer el patrón de Paulina?

A classroom has a row of $35$ coat hooks. Paulina likes coats to be equally spaced, so that there is the same number of empty hooks before the first coat, after the last coat, and between every coat and the next one. Suppose there is at least $1$ coat and at least $1$ empty hook. How many different numbers of coats can satisfy Paulina's pattern?

$2$

$4$

$5$

$7$

$9$

Solución en video:

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Solución escrita:

Imagina agregar un gancho adicional con un abrigo después del último abrigo. Ahora habrá $36$ ganchos para abrigos, y un patrón que se repite, donde cada bloque del patrón tiene un montón de ganchos vacíos seguidos de un abrigo. Sea $b$ el número de elementos de cada bloque. Sea $d$ el número de bloques. Observa que $d$ es exactamente uno más que el número de abrigos, porque agregamos un abrigo adicional al final.

Entonces tenemos $bd = 36.$

La restricción sobre $b$ es que $b \geq 2$ , porque cada bloque tiene al menos un gancho vacío y termina con un abrigo.

La restricción sobre $d$ es que $d \geq 2$ , porque antes había al menos un abrigo y agregamos un abrigo adicional al final.

Así que solo tenemos que averiguar de cuántas maneras se puede factorizar $36$ como producto de dos enteros que sean al menos $2.$

El número de maneras de factorizar $36$ como producto de dos enteros positivos es exactamente igual al número de divisores de $36.$ Hay una fórmula para eso: como $36 = 2^2 \times 3^2$ , el número de divisores de $36$ es $(2+1)(2+1) = 9.$

De estas factorizaciones, exactamente dos quedan descalificadas: $1 \times 36$ y $36 \times 1.$ Así que la respuesta es $9 - 2 = 7,$ que es la opción D.

Imagine adding an extra coat hook with a coat on it after the last coat. Now, there will be $36$ coat hooks, and a repeating pattern, where each block of the pattern has a bunch of empty hooks followed by a coat. Let $b$ be the number of items in each block. Let $d$ be the number of blocks. Note that $d$ is exactly one more than the number of coats, because we added an extra coat at the end.

We then have $bd = 36.$

The constraint on $b$ is that $b \geq 2$ because each block has at least one empty hook, and ends with a coat.

The constraint on $d$ is that $d \geq 2$ because there was at least one coat before, and we added one extra coat at the end.

So, we just need to find out how many ways there are to factorize $36$ into the product of two integers that are at least $2.$

The number of ways to factorize $36$ into the product of two positive integers is exactly equal to the number of factors of $36.$ There is a formula for that: since $36 = 2^2 \times 3^2$ , the number of factors of $36$ is $(2+1)(2+1) = 9.$

Out of these factorizations, exactly two are disqualified: $1 \times 36$ and $36 \times 1.$ So, the answer is $9 - 2 = 7,$ which is choice D.

2025 AMC 8 Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años