Question

$ABCD$ es un rectángulo, $D$ es el centro del círculo y $B$ está sobre el círculo. Si $AD = 4$ y $CD = 3,$ ¿entre qué dos valores está el área de la región sombreada?

$ABCD$ is a rectangle, $D$ is the center of the circle, and $B$ is on the circle. If $AD = 4$ and $CD = 3,$ then the area of the shaded region is between which two values?

$4$ y $5$

$4$ and $5$

$5$ y $6$

$5$ and $6$

$6$ y $7$

$6$ and $7$

$7$ y $8$

$7$ and $8$

$8$ y $9$

$8$ and $9$

Solución:

Como $AD = 4$ y $CD = 3,$ la diagonal $DB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5,$ que es el radio.

La región sombreada es el cuarto de círculo en $D$ menos el rectángulo: $\begin{gathered} \dfrac14 \pi (5)^2 - (3)(4) = \dfrac{25\pi}{4} - 12 \\ \approx 19.6 - 12 = 7.6. \end{gathered}$

Esto está entre $7$ y $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $AD = 4$ and $CD = 3,$ the diagonal $DB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5,$ which is the radius.

The shaded region is the quarter circle at $D$ minus the rectangle: $\begin{gathered} \dfrac14 \pi (5)^2 - (3)(4) = \dfrac{25\pi}{4} - 12 \\ \approx 19.6 - 12 = 7.6. \end{gathered}$

This lies between $7$ and $8.$

Thus, the correct answer is D .

1987 AMC 8 Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años