Question

¿Cuál es el dígito de las decenas de $7^{2011}$ ?

What is the tens digit of $7^{2011}?$

$0$

$1$

$3$

$4$

$7$

Solución:

Para hallar el dígito de las decenas, basta con seguir las potencias de $7$ módulo $100$ . Como $7^4=2401\equiv1\pmod{100}$ , los dos últimos dígitos se repiten cada cuatro potencias.

Como $2011=4\cdot502+3$ , tenemos $7^{2011}\equiv7^3=343$ $\equiv43\pmod{100}$ . Por lo tanto, el dígito de las decenas es $4$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

To find the tens digit, it is enough to track powers of $7$ modulo $100$ . Since $7^4=2401\equiv1\pmod{100}$ , the last two digits repeat every four powers.

Because $2011=4\cdot502+3$ , we have $7^{2011}\equiv7^3=343$ $\equiv43\pmod{100}$ . Thus the tens digit is $4$ .

Thus, D is the correct answer.

2011 AMC 8 Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años