Question

Cuando un entero positivo $N$ se introduce en una máquina, la salida es un número calculado según la regla que se muestra abajo.

Por ejemplo, comenzando con una entrada de $N=7,$ la máquina dará como salida $3 \cdot 7 + 1 = 22.$ Luego, si la salida se introduce repetidamente en la máquina cinco veces más, la salida final es $26.$ $\begin{align*} &7 \to 22 \to 11 \to 34 \\ &\to 17 \to 52 \to 26 \end{align*}$ Cuando el mismo proceso de $6$ pasos se aplica a un valor inicial diferente de $N,$ la salida final es $1.$ ¿Cuál es la suma de todos esos enteros $N$ ? $\begin{align*} &N \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}}\\ &\to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to 1 \end{align*}$

When a positive integer $N$ is fed into a machine, the output is a number calculated according to the rule shown below.

For example, starting with an input of $N=7,$ the machine will output $3 \cdot 7 + 1 = 22.$ Then if the output is repeatedly inserted into the machine five more times, the final output is $26.$ $\begin{align*} &7 \to 22 \to 11 \to 34 \\ &\to 17 \to 52 \to 26 \end{align*}$ When the same $6$ -step process is applied to a different starting value of $N,$ the final output is $1.$ What is the sum of all such integers $N?$ $\begin{align*} &N \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}}\\ &\to \underline{\phantom{00}} \to \underline{\phantom{00}} \to 1 \end{align*}$

$73$

$74$

$75$

$82$

$83$

Solución en video:

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Solución escrita:

Para ver qué números podemos formar invirtiéndolo, construyamos una máquina inversora.

Esta tomaría $N$ y daría $2N$ si $2N$ es par (lo cual siempre lo es) o $\frac{N-1}{3}$ si $\frac{N-1}{3}$ es un entero impar. Nota que $\frac{N-1}{3}$ es un entero solo si $N \equiv 1 \mod 3.$ Además, si $N$ es par, entonces $N-1$ es impar. Eso significaría que $\frac{N-1}{3}$ sería impar. Por lo tanto, nuestra máquina inversora da $2N$ y también $\frac{N-1}{3}$ si $N \equiv 1 \mod 3$ y $N$ es par.

Ahora, debemos ver qué puede dar la máquina inversora después de $6$ movimientos:

$1)$ Solo podemos obtener $2.$

$2)$ A partir de $2,$ solo podemos obtener $4.$

$3)$ A partir de $4,$ podemos obtener $1$ y $8.$

$4)$ A partir de $1,$ solo podemos obtener $2$ ; a partir de $8,$ solo podemos obtener $16.$

$5)$ A partir de $2,$ solo podemos obtener $4$ ; a partir de $16,$ podemos obtener $5$ y $32.$

$6)$ A partir de $4,$ podemos obtener $1$ y $8,$ ; a partir de $5,$ podemos obtener $10$ ; a partir de $32$ podemos obtener $64.$

El movimiento $6$ puede dar $1, 8, 10,$ y $64,$ y su suma es $83.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

To see which numbers we can make by inverting it, let's make an inverting machine.

This would take $N$ and yield either $2N$ if $2N$ is even (which it always is) or $\frac{N-1}{3}$ if $\frac{N-1}{3}$ is an odd integer. Note that $\frac{N-1}{3}$ is an integer only if $N \equiv 1 \mod 3.$ Also, if $N$ is even, then $N-1$ is odd. That would mean $\frac{N-1}{3}$ would be odd. Therefore, our inverter machine yields $2N$ and also $\frac{N-1}{3}$ if $N \equiv 1 \mod 3$ and $N$ is even.

Now, we must see what the inverting machine can yield after $6$ moves:

$1)$ We can only get $2.$

$2)$ From $2,$ we can only get $4.$

$3)$ From $4,$ we can get $1$ and $8.$

$4)$ From $1,$ we can get only $2$ ; from $8,$ we can only get $16.$

$5)$ From $2,$ we can get only $4$ ; from $16,$ we can get $5$ and $32.$

$6)$ From $4,$ we can get $1$ and $8,$ ; $5,$ we can get $10$ ; from $32$ we can get $64.$

Move $6$ can yield $1, 8, 10,$ and $64,$ and their sum is $83.$

Thus, the correct answer is E.

2020 AMC 8 Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años