Question

El rectángulo $DEFA$ de abajo es un rectángulo $3 \times 4$ con $DC=CB=BA=1.$ El área de las "alas de murciélago" (área sombreada) es

Rectangle $DEFA$ below is a $3 \times 4$ rectangle with $DC=CB=BA=1.$ The area of the "bat wings" (shaded area) is

$2$

$2 \dfrac{1}{2}$

$3$

$3 \dfrac{1}{2}$

$4$

Solución en video:

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Solución escrita:

Define $I$ como el punto medio de $\overline{AD}$ y $G$ como el punto medio de $\overline{EF}.$ Define también $H$ como la intersección de $\overline{CF}$ y $\overline{BE}.$

El área del $\triangle BCE$ es igual a $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2.$ Por simetría, podemos ver que $\triangle BCH$ y $\triangle EFH$ son semejantes. Como sus bases están en razón $1 : 3,$ también lo están sus alturas. Esto significa que $3IH = HG,$ lo que implica que $IH = 1.$

Por lo tanto, el área del $\begin{align*}\triangle BCH &= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1\\ &= \dfrac{1}{2}.\end{align*}$ Esto implica que el área del $\begin{align*}\triangle ECH &= 2 - \dfrac{1}{2} \\&= \dfrac{3}{2}.\end{align*}$ Como la figura es simétrica, el área total de las alas de murciélago es $2 \cdot \dfrac{3}{2} = 3.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Define $I$ to be the midpoint of $\overline{AD}$ and $G$ to be the midpoint of $\overline{EF}.$ Also define $H$ to be the intersection of $\overline{CF}$ and $\overline{BE}.$

The area of $\triangle BCE$ equals $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2.$ By symmetry, we can see that $\triangle BCH$ and $\triangle EFH$ are similar. Since their bases are in a $1 : 3$ ratio, so are their altitudes. This means that $3IH = HG,$ which implies that $IH = 1.$

Therefore, the area of $\begin{align*}\triangle BCH &= \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1\\ &= \dfrac{1}{2}.\end{align*}$ This implies that the area of $\begin{align*}\triangle ECH &= 2 - \dfrac{1}{2} \\&= \dfrac{3}{2}.\end{align*}$ Since the figure is symmetric, the total area of the bat wings is $2 \cdot \dfrac{3}{2} = 3.$

Thus, C is the correct answer.

2016 AMC 8 Problema 22

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 22 en otros años