Question

Se van a dar cinco premios diferentes a tres estudiantes. Cada estudiante recibirá al menos un premio. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden distribuir los premios?

Five different awards are to be given to three students. Each student will receive at least one award. In how many different ways can the awards be distributed?

$120$

$150$

$180$

$210$

$240$

Solución en video:

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Solución escrita:

Hay $3^5=243$ maneras de dar cada uno de los $5$ premios distintos a uno de los $3$ estudiantes.

Resta las distribuciones en las que al menos un estudiante no recibe ningún premio. Si un estudiante en particular no recibe ninguno, los premios van a los otros dos estudiantes de $2^5$ maneras. Esto da $3\cdot2^5$ conteos, pero los $3$ casos en los que un estudiante recibe todos los premios se han restado dos veces cada uno.

Por inclusión-exclusión, el número buscado es $3^5-3\cdot2^5+3=150.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $3^5=243$ ways to give each of the $5$ distinct awards to one of the $3$ students.

Subtract the distributions in which at least one student receives no award. If a particular student receives none, the awards go to the other two students in $2^5$ ways. This gives $3\cdot2^5$ counts, but the $3$ cases in which one student receives all awards have each been subtracted twice.

By inclusion-exclusion, the desired number is $3^5-3\cdot2^5+3=150.$

Thus, the correct answer is B.

2020 AMC 8 Problema 23

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 23 en otros años