Question

¿Cuántos enteros positivos de $4$ dígitos tienen cuatro dígitos diferentes, donde el dígito inicial no es cero, el entero es múltiplo de $5,$ y $5$ es el dígito mayor?

How many $4$ -digit positive integers have four different digits, where the leading digit is not zero, the integer is a multiple of $5,$ and $5$ is the largest digit?

$24$

$48$

$60$

$84$

$108$

Solución:

Para que un número sea divisible entre $5,$ el dígito de las unidades debe ser $0$ o $5.$

Si el dígito de las unidades es $0,$ uno de los otros tres dígitos debe ser $5.$ Los dos dígitos restantes deben elegirse de $\{1, 2, 3, 4\}.$ Hay $6$ maneras de elegir el par, y hay $6$ maneras de ordenar los tres dígitos, para un total de $6 \cdot 6 = 36$ números.

Si el dígito de las unidades es $5,$ hay $4$ maneras de elegir el dígito de los millares. Hay $4 \cdot 3 = 12$ maneras de elegir los otros $2$ dígitos. Esto deja un total de $4 \cdot 12 = 48$ números para este caso.

Combinando ambos casos, obtenemos que el número total de tales enteros es $36 + 48 = 84.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

For a number to be divisible by $5,$ the units digit must be either $0$ or $5.$

If the units digit is $0,$ one of the other three digits must be $5.$ The remaining two digits must be chosen from $\{1, 2, 3, 4\}.$ There are $6$ ways to choose the pair, and there are $6$ ways to arrange the three digits for a total of $6 \cdot 6 = 36$ numbers.

If the units digit is $5,$ there are $4$ ways to choose the thousands digit. There are $4 \cdot 3 = 12$ ways to choose the other $2$ digits. This leaves a total of $4 \cdot 12 = 48$ numbers for this case.

Combining both cases, we get the total number of such integers is $36 + 48 = 84.$

Thus, D is the correct answer.

2011 AMC 8 Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años