Question

¿Cuántos números de cuatro dígitos tienen las tres propiedades siguientes?

(I) El dígito de las decenas y el dígito de las unidades son ambos $9.$

(II) El número es $1$ menos que un cuadrado perfecto.

(III) El número es el producto de exactamente dos números primos.

How many four-digit numbers have all three of the following properties?

(I) The tens digit and ones digit are both $9.$

(II) The number is $1$ less than a perfect square.

(III) The number is the product of exactly two prime numbers.

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución en video:

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Solución escrita:

El número tiene la forma $XX99,$ así que el cuadrado perfecto que es $1$ mayor termina en $00,$ por lo que es el cuadrado de un número que termina en $0.$ Supón que ese cuadrado es $a^2.$

Para que $a^2 - 1$ sea un número de $4$ dígitos que termina en $99$ , las únicas posibilidades para $a$ son $\{40, 50, 60, 70, 80, 90, 100\}.$

Como $a^2 - 1 = (a-1)(a+1),$ también necesitamos que tanto $a-1$ como $a+1$ sean primos. Entonces buscamos pares de números primos que estén justo alrededor de $\{40, 50, \dots, 100\}.$

Revisando todas las posibilidades, las únicas que funcionan son $59$ y $61$ , así que hay exactamente $1$ forma de hacerlo. La respuesta es B.

The number has the form $XX99,$ and so the perfect square that is $1$ more ends in $00,$ and so it is the square of a number ending in $0.$ Suppose that square is $a^2.$

In order for $a^2 - 1$ to be a $4$ -digit number ending in $99$ , the only possibilities for $a$ are $\{40, 50, 60, 70, 80, 90, 100\}.$

Since $a^2 - 1 = (a-1)(a+1),$ we also need both $a-1$ and $a+1$ to be prime. We are then looking for pairs of prime numbers that are right around $\{40, 50, \dots, 100\}.$

Going through all the possibilities, the only ones that work are $59$ and $61$ , and so there is exactly $1$ way to do this. The answer is B.

2025 AMC 8 Problema 23

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 23 en otros años