Question

Una caja contiene monedas de oro. Si las monedas se dividen equitativamente entre seis personas, sobran cuatro monedas. Si las monedas se dividen equitativamente entre cinco personas, sobran tres monedas. Si la caja contiene la menor cantidad de monedas que cumple estas dos condiciones, ¿cuántas monedas sobran al dividirlas equitativamente entre siete personas?

A box contains gold coins. If the coins are equally divided among six people, four coins are left over. If the coins are equally divided among five people, three coins are left over. If the box holds the smallest number of coins that meets these two conditions, how many coins are left when equally divided among seven people?

$0$

$1$

$2$

$3$

$5$

Solución:

Los enteros positivos que dejan residuo $4$ al dividirse entre $6$ son $4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, \cdots.$ Los enteros positivos que dejan residuo $3$ al dividirse entre $5$ son $3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, \cdots.$

De esto, vemos que la menor cantidad de monedas que funciona es $28.$ Esto deja un residuo de $0$ al dividirse entre $7.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The positive integers that leave a remainder of $4$ when divided by $6$ are $4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, \cdots.$ The positive integers that leave a remainder of $3$ when divided by $5$ are $3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, \cdots.$

From this, we can see that the smallest number of coins that work is $28.$ This leaves a remainder of $0$ when divided by $7.$

Thus, A is the correct answer.

2006 AMC 8 Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años