2006 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

Mindy hizo tres compras por $\$1.98$ , $\$5.04$ y $\$9.89$ . ¿Cuál fue su total, redondeado al dólar más cercano?

Mindy made three purchases for $\$1.98$ , $\$5.04$ , and $\$9.89$ . What was her total, to the nearest dollar?

$\$10$

$\$15$

$\$16$

$\$17$

$\$18$

Respuesta: D

Conceptos:estimación dinero

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Redondea cada precio al dólar más cercano antes de sumar.

Round each price to the nearest dollar before adding.

Pista grande:

La pregunta pide el dólar más cercano, así que no hacen falta los centavos exactos.

The exact cents are not needed because the question asks for the nearest dollar.

Solución:

Como todos los valores ya están cerca de un número entero, basta con sumar los números redondeados.

Estos precios se redondean a $\$ 2,$ $\$ 5,$ y $\$ 10,$ que suman $\$ 17.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since all the values are already close to a whole number, we can just add the sums of the rounded numbers.

These prices round to $\$ 2,$ $\$ 5,$ and $\$ 10,$ which add to $\$ 17.$

Thus, D is the correct answer.

2.

En el concurso AMC $8$ , Billy responde $13$ preguntas correctamente, responde $7$ preguntas incorrectamente y no responde las últimas $5.$ ¿Cuál es su puntuación?

On the AMC $8$ contest Billy answers $13$ questions correctly, answers $7$ questions incorrectly and doesn’t answer the last $5.$ What is his score?

$1$

$6$

$13$

$19$

$26$

Respuesta: C

Conceptos:conteo básico

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

En el AMC $8,$ solo las respuestas correctas suman al puntaje.

On the AMC $8,$ only correct answers add to the score.

Pista grande:

Las respuestas incorrectas y en blanco no cambian la cantidad de respuestas correctas.

Incorrect and blank answers do not change the number of correct answers.

Solución:

Como el AMC $8$ solo otorga $1$ punto por cada pregunta correcta, Billy obtendrá $13$ puntos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Since the AMC $8$ only awards $1$ point for each correct question, Billy will get $13$ points.

Thus, C is the correct answer.

3.

Elisa nada vueltas en la piscina. Cuando empezó, completaba $10$ vueltas en $25$ minutos. Ahora puede terminar $12$ vueltas en $24$ minutos. ¿En cuántos minutos ha mejorado su tiempo por vuelta?

Elisa swims laps in the pool. When she first started, she completed $10$ laps in $25$ minutes. Now, she can finish $12$ laps in $24$ minutes. By how many minutes has she improved her lap time?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

$2$

$3$

Respuesta: A

Conceptos:tasa

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Halla los minutos por vuelta de Elisa antes y después de la mejora.

Find Elisa’s minutes per lap before and after the improvement.

Pista grande:

Compara $\frac{25}{10}$ minutos por vuelta con $\frac{24}{12}$ minutos por vuelta.

Compare $\frac{25}{10}$ minutes per lap with $\frac{24}{12}$ minutes per lap.

Solución:

Al principio, Elisa nadaba una vuelta en $\frac{25}{10}=2.5$ minutos. Ahora nada una vuelta en $\frac{24}{12}=2$ minutos.

Por lo tanto, mejoró su tiempo por vuelta en $2.5-2=0.5=\dfrac{1}{2}$ minuto.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Initially, Elisa swam one lap in $\frac{25}{10}=2.5$ minutes. Now she swims one lap in $\frac{24}{12}=2$ minutes.

Therefore, she improved her lap time by $2.5-2=0.5=\dfrac{1}{2}$ minute.

Thus, A is the correct answer.

4.

Al principio, una ruleta apunta al oeste. Chenille la gira en sentido horario $2 \frac{1}{4}$ vueltas y luego en sentido antihorario $3 \frac{3}{4}$ vueltas. ¿En qué dirección apunta la ruleta después de los dos movimientos?

Initially, a spinner points west. Chenille moves it clockwise $2 \frac{1}{4}$ revolutions and then counterclockwise $3 \frac{3}{4}$ revolutions. In what direction does the spinner point after the two moves?

Norte

North

Este

East

Sur

South

Oeste

West

Noroeste

Northwest

Respuesta: B

Conceptos:fracción transformación

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Las vueltas completas no cambian la dirección final.

Whole revolutions do not change the final direction.

Pista grande:

Después de quitar las vueltas completas, compara un cuarto de vuelta en sentido horario con tres cuartos de vuelta en sentido antihorario.

After removing whole turns, compare a clockwise quarter-turn with a counterclockwise three-quarter-turn.

Solución:

Si la ruleta gira $2 \frac{1}{4}$ vueltas en sentido horario y $3 \frac{3}{4}$ vueltas en sentido antihorario, gira $1 \frac{1}{2}$ vueltas en sentido antihorario.

Esto significa que la ruleta quedará apuntando al este.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

If the spinner goes $2 \frac{1}{4}$ revolutions clockwise and $3 \frac{3}{4}$ revolutions counterclockwise, it goes $1 \frac{1}{2}$ revolutions counterclockwise.

This means that the spinner will be pointing east.

Thus, B is the correct answer.

5.

Los puntos $A,$ $B,$ $C$ y $D$ son los puntos medios de los lados del cuadrado mayor. Si el cuadrado mayor tiene área $60,$ ¿cuál es el área del cuadrado menor?

Points $A,$ $B,$ $C$ and $D$ are midpoints of the sides of the larger square. If the larger square has area $60,$ what is the area of the smaller square?

$15$

$20$

$24$

$30$

$40$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrado (geometría)punto medio descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Los cuatro triángulos de las esquinas alrededor del cuadrado menor son congruentes.

The four corner triangles around the smaller square are congruent.

Pista grande:

Esos cuatro triángulos exteriores se pueden reacomodar para cubrir el cuadrado menor.

Those four outside triangles can be rearranged to cover the smaller square.

Solución:

Observa que podemos plegar todos los triángulos hacia adentro para cubrir perfectamente el cuadrado menor. Esto significa que el área del cuadrado menor es la mitad del área del cuadrado mayor.

Así, el área del cuadrado menor es $60 \div 2 = 30.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that we can fold all the triangles in to perfectly cover the smaller square. This means that area of the smaller square is half the area of the larger square.

This makes the area of the smaller square $60 \div 2 = 30.$

Thus, D is the correct answer.

6.

La letra T se forma colocando dos rectángulos de $2 \times 4$ pulgadas uno junto al otro, como se muestra. ¿Cuál es el perímetro de la T, en pulgadas?

The letter T is formed by placing two $2 \times 4$ inch rectangles next to each other, as shown. What is the perimeter of the T, in inches?

$12$

$16$

$20$

$22$

$24$

Respuesta: C

Conceptos:perímetro rectángulo

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Empieza con los perímetros de los dos rectángulos por separado.

Start with the perimeters of the two rectangles separately.

Pista grande:

Los segmentos interiores compartidos se cuentan en los perímetros separados, pero no en el perímetro exterior.

The shared interior segments are counted in the separate perimeters but not in the outside perimeter.

Solución:

Si calculáramos el perímetro total de los dos rectángulos por separado, obtendríamos $2(2(2 + 4)) = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 24.$

En la letra T, vemos que su intersección quita una pieza de longitud $2$ de cada rectángulo. Por lo tanto, el perímetro de la T es $24 - 2 \cdot 2 = 20.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

If we found the total perimeter of the two rectangles separately, we would have gotten $2(2(2 + 4)) = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 24.$

In the letter T, we can see that their intersection removes a piece of length $2$ from each of the rectangles. Therefore, the perimeter of the T is $24 - 2 \cdot 2 = 20.$

Thus, C is the correct answer.

7.

El círculo $X$ tiene radio $\pi.$ El círculo $Y$ tiene circunferencia $8 \pi.$ El círculo $Z$ tiene área $9 \pi.$ Ordena los círculos de menor a mayor radio.

Circle $X$ has a radius of $\pi.$ Circle $Y$ has a circumference of $8 \pi.$ Circle $Z$ has an area of $9 \pi.$ List the circles in order from smallest to largest radius.

$X,$ $Y,$ $Z$

$Z,$ $X,$ $Y$

$Y,$ $X,$ $Z$

$Z,$ $Y,$ $X$

$X,$ $Z,$ $Y$

Respuesta: B

Conceptos:círculo circunferencia área del círculo

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Convierte los tres datos en radios.

Convert all three pieces of information into radii.

Pista grande:

Usa $C=2\pi r$ para el círculo $Y$ y $A=\pi r^2$ para el círculo $Z$ .

Use $C=2\pi r$ for circle $Y$ and $A=\pi r^2$ for circle $Z$ .

Solución:

Recuerda que $C = 2 \pi r$ y $A = \pi r^2.$ Con estas fórmulas obtenemos que el radio de $Y$ es $8 \pi \div (2 \pi) = 4.$ También obtenemos que el radio de $Z$ es $\sqrt{9 \pi \div \pi} = 3.$ Como $\pi$ es mayor que $3$ y menor que $4,$ el orden correcto es $Z,$ $X,$ $Y.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

Recall that $C = 2 \pi r$ and $A = \pi r^2.$ Using these formulas we get that the radius of $Y$ is $8 \pi \div (2 \pi) = 4.$ We also get that the radius of $Z$ is $\sqrt{9 \pi \div \pi} = 3.$ As $\pi$ is greater than $3$ and less than $4,$ the correct order is $Z,$ $X,$ $Y.$

Thus, the answer is B .

8.

La tabla muestra algunos de los resultados de una encuesta de la estación de radio KAMC. ¿Qué porcentaje de los hombres encuestados escucha la estación?

The table shows some of the results of a survey by radio station KAMC. What percentage of the males surveyed listen to the station?

$39$

$48$

$52$

$55$

$75$

Respuesta: E

Conceptos:interpretación de datos y gráficas porcentaje

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Usa los totales para completar la cantidad de hombres encuestados.

Use the totals to fill in the number of males surveyed.

Pista grande:

Halla los oyentes hombres restando los hombres que no escuchan del total de hombres.

Find the male listeners by subtracting the male non-listeners from the male total.

Solución:

La cantidad total de hombres encuestados es el total de encuestados menos la cantidad de mujeres encuestadas: $200-96=104$ .

De esos hombres, $26$ no escuchan, así que $104-26=78$ hombres sí escuchan. El porcentaje buscado es $\dfrac{78}{104}\cdot 100\%=75\%$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The total number of males surveyed is the total number surveyed minus the number of females surveyed: $200-96=104$ .

Of those males, $26$ do not listen, so $104-26=78$ males listen. The desired percentage is $\dfrac{78}{104}\cdot 100\%=75\%$ .

Thus, E is the correct answer.

9.

¿Cuál es el producto de $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{5}{4}\times\cdots\times\dfrac{2006}{2005}?$

What is the product of $\dfrac{3}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\dfrac{5}{4}\times\cdots\times\dfrac{2006}{2005}?$

$1$

$1002$

$1003$

$2005$

$2006$

Respuesta: C

Conceptos:telescópica

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

La mayoría de numeradores y denominadores adyacentes se cancelan.

Most adjacent numerators and denominators cancel.

Pista grande:

Después de cancelar, solo quedan el primer denominador y el último numerador.

After cancellation, only the first denominator and the last numerator remain.

Solución:

Observa que el numerador de cada fracción se cancela con el denominador de la fracción siguiente. Esto deja dos números: $\dfrac{2006}{2} = 1003.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that the numerator of every fraction cancels with the denominator of the following fraction. This leaves two numbers: $\dfrac{2006}{2} = 1003.$

Thus, C is the correct answer.

10.

El profesor de Jorge le pide que grafique todos los pares ordenados $(w, l)$ de enteros positivos para los cuales $w$ es el ancho y $l$ es el largo de un rectángulo de área $12.$ ¿Cómo debería verse su gráfica?

Jorge’s teacher asks him to plot all the ordered pairs $(w, l)$ of positive integers for which $w$ is the width and $l$ is the length of a rectangle with area $12.$ What should his graph look like?

Respuesta: A

Conceptos:factor geometría analítica

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Enumera los pares de factores enteros positivos de $12$ .

List the positive integer factor pairs of $12$ .

Pista grande:

Recuerda que $(w,l)$ y $(l,w)$ son puntos distintos cuando los factores difieren.

Remember that $(w,l)$ and $(l,w)$ are different plotted points when the factors differ.

Solución:

Los pares de factores enteros positivos $(w,l)$ con $wl=12$ son $(1,12),$ $(2,6),$ $(3,4),$ $(4,3),$ $(6,2),$ y $(12,1)$ .

Estos puntos forman un conjunto decreciente de seis puntos, y solo la gráfica A coincide con ellos.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The positive integer factor pairs $(w,l)$ with $wl=12$ are $(1,12),$ $(2,6),$ $(3,4),$ $(4,3),$ $(6,2),$ and $(12,1)$ .

These points form a decreasing set of six points, and only graph A matches them.

Thus, A is the correct answer.

11.

¿Cuántos números de dos dígitos tienen dígitos cuya suma es un cuadrado perfecto?

How many two-digit numbers have digits whose sum is a perfect square?

$13$

$16$

$17$

$18$

$19$

Respuesta: C

Conceptos:dígitos cuadrado perfecto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

La mayor suma de dígitos posible es $18$ .

The largest possible digit sum is $18$ .

Pista grande:

Cuenta los números de dos dígitos cuya suma de dígitos es $1,$ $4,$ $9,$ y $16$ .

Count the two-digit numbers whose digit sums are $1,$ $4,$ $9,$ and $16$ .

Solución:

Hay $1$ número cuya suma de dígitos es $1$ : $10.$

Hay $4$ números cuya suma de dígitos es $4$ : $13,$ $22,$ $31,$ y $40.$

Hay $9$ números cuya suma de dígitos es $9$ : $18,$ $27,$ $36,$ $45,$ $54,$ $63,$ $72,$ $81,$ y $90.$

Hay $3$ números cuya suma de dígitos es $16$ : $79,$ $88,$ y $97.$

Por lo tanto, hay $17$ números que cumplen el enunciado.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

There is $1$ number whose digit sum is $1$ : $10.$

There are $4$ numbers whose digit sum is $4$ : $13,$ $22,$ $31,$ and $40.$

There are $9$ numbers whose digit sum is $9$ : $18,$ $27,$ $36,$ $45,$ $54,$ $63,$ $72,$ $81,$ and $90.$

There are $3$ numbers whose digit sum is $16$ : $79,$ $88,$ and $97.$

Therefore, there are $17$ numbers that satisfy the problem statement.

Thus, C is the correct answer.

12.

Antonette obtiene $70 \%$ en una prueba de $10$ problemas, $80 \%$ en una prueba de $20$ problemas y $90 \%$ en una prueba de $30$ problemas. Si las tres pruebas se combinan en una sola prueba de $60$ problemas, ¿qué porcentaje está más cerca de su puntuación total?

Antonette gets $70 \%$ on a $10$ -problem test, $80 \%$ on a $20$ -problem test and $90 \%$ on a $30$ -problem test. If the three tests are combined into one $60$ -problem test, which percent is closest to her overall score?

$40$

$77$

$80$

$83$

$87$

Respuesta: D

Conceptos:media porcentaje

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Convierte el porcentaje de cada prueba en una cantidad de respuestas correctas.

Convert each test percentage into a number of correct answers.

Pista grande:

Este es un promedio ponderado por la cantidad de problemas, no un promedio simple de los tres porcentajes.

This is a weighted average by number of problems, not a plain average of the three percentages.

Solución:

Antonette respondió bien $0.7\cdot 10=7$ preguntas en la primera prueba. De manera similar, respondió bien $0.8\cdot 20=16$ y $0.9\cdot 30=27$ problemas en su segunda y tercera prueba.

Sumando esto se obtienen $50$ preguntas correctas. Su puntuación en la prueba combinada habría sido $100\cdot \dfrac{50}{60}=83\frac{1}{3}\%$ , lo más cerca de $83\%$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Antonette got $0.7\cdot 10=7$ questions right on the first test. Similarly, she got $0.8\cdot 20=16$ and $0.9\cdot 30=27$ problems right on her second and third tests.

Adding these up yields $50$ correct questions. Her score on the combined test would have been $100\cdot \dfrac{50}{60}=83\frac{1}{3}\%$ , closest to $83\%$ .

Thus, D is the correct answer.

13.

Cassie sale de Escanaba a las $8:30$ AM en bicicleta rumbo a Marquette. Pedalea a una velocidad constante de $12$ millas por hora. Brian sale de Marquette a las $9:00$ AM en bicicleta rumbo a Escanaba. Pedalea a una velocidad constante de $16$ millas por hora. Ambos recorren la misma ruta de $62$ millas entre Escanaba y Marquette. ¿A qué hora de la mañana se encuentran?

Cassie leaves Escanaba at $8:30$ AM heading for Marquette on her bike. She bikes at a uniform rate of $12$ miles per hour. Brian leaves Marquette at $9:00$ AM heading for Escanaba on his bike. He bikes at a uniform rate of $16$ miles per hour. They both bike on the same $62$ -mile route between Escanaba and Marquette. At what time in the morning do they meet?

$10:00$

$10:15$

$10:30$

$11:00$

$11:30$

Respuesta: D

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Primero considera la media hora de ventaja de Cassie.

First account for Cassie’s half-hour head start.

Pista grande:

Después de que Brian parte, la distancia entre ellos se reduce a la suma de sus velocidades.

After Brian starts, the distance between them closes at the sum of their speeds.

Solución:

Para cuando Brian empieza a pedalear, Cassie ya ha recorrido $\dfrac{1}{2}\cdot 12=6$ millas. Esto significa que Cassie y Brian están entonces a $62-6=56$ millas de distancia.

Juntos, reducen la distancia a $12+16=28$ millas por hora. Esto significa que se encuentran $56\div 28=2$ horas después de las $9{:}00$ AM.

Esto significa que se encuentran a las $11:00$ AM.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

By the time Brian starts biking, Cassie has already traveled $\dfrac{1}{2}\cdot 12=6$ miles. This means that Cassie and Brian are then $62-6=56$ miles apart.

Together, they close the distance at $12+16=28$ miles per hour. This means that they meet $56\div 28=2$ hours after $9{:}00$ AM.

This means that they meet at $11:00$ AM.

Thus, D is the correct answer.

14.

Los problemas $14,$ $15,$ y $16$ tratan sobre la tarea de inglés de la Sra. Reed.

Una tarea sobre una novela

Los estudiantes de la clase de inglés de la Sra. Reed están leyendo la misma novela de $760$ páginas. Tres amigos, Alice, Bob y Chandra, están en la clase. Alice lee una página en $20$ segundos, Bob lee una página en $45$ segundos y Chandra lee una página en $30$ segundos.

Si Bob y Chandra leen ambos el libro completo, ¿cuántos segundos más pasará Bob leyendo que Chandra?

Problems $14,$ $15,$ and $16$ involve Mrs. Reed’s English assignment.

A Novel Assignment

The students in Mrs. Reed’s English class are reading the same $760$ -page novel. Three friends, Alice, Bob and Chandra, are in the class. Alice reads a page in $20$ seconds, Bob reads a page in $45$ seconds and Chandra reads a page in $30$ seconds.

If Bob and Chandra both read the whole book, Bob will spend how many more seconds reading than Chandra?

$7{,}600$

$11{,}400$

$12{,}500$

$15{,}200$

$22{,}800$

Respuesta: B

Conceptos:tasa propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Compara a Bob y a Chandra por segundos por página.

Compare Bob and Chandra by seconds per page.

Pista grande:

Bob tarda la misma cantidad extra de segundos en cada una de las $760$ páginas.

Bob takes the same extra number of seconds on each of the $760$ pages.

Solución:

Bob tardará $760 \cdot 45$ segundos en leer el libro, y Chandra tardará $760 \cdot 30$ segundos.

La diferencia entre el tiempo que pasan leyendo es $760 \cdot 45 - 760 \cdot 30$ $= 760(45 - 30)$ $= 760 \cdot 15$ $= 11,400$ segundos.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Bob will take $760 \cdot 45$ seconds to read the book, and Chandra will take $760 \cdot 30$ seconds.

The difference between the time they spent reading is $760 \cdot 45 - 760 \cdot 30$ $= 760(45 - 30)$ $= 760 \cdot 15$ $= 11,400$ seconds.

Thus, B is the correct answer.

15.

Chandra y Bob, que cada uno tiene una copia del libro, deciden que pueden ahorrar tiempo leyendo la novela “en equipo”. En este esquema, Chandra leerá desde la página $1$ hasta cierta página y Bob leerá desde la página siguiente hasta la página $760,$ terminando el libro. Cuando terminen, se contarán mutuamente la parte que leyeron. ¿Cuál es la última página que debería leer Chandra para que ella y Bob pasen el mismo tiempo leyendo la novela?

Chandra and Bob, who each have a copy of the book, decide that they can save time by “team reading” the novel. In this scheme, Chandra will read from page $1$ to a certain page and Bob will read from the next page through page $760,$ finishing the book. When they are through they will tell each other about the part they read. What is the last page that Chandra should read so that she and Bob spend the same amount of time reading the novel?

$425$

$444$

$456$

$484$

$506$

Respuesta: C

Conceptos:tasa ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Sea $x$ la cantidad de páginas que lee Chandra.

Let $x$ be the number of pages Chandra reads.

Pista grande:

Iguala el tiempo de Chandra para $x$ páginas con el tiempo de Bob para las páginas restantes.

Set Chandra’s time for $x$ pages equal to Bob’s time for the remaining pages.

Solución:

Sea $x$ la cantidad de páginas que leerá Chandra. Entonces Bob leerá $760 - x$ páginas.

Para que lean durante el mismo tiempo, $\begin{align*} 30x &= 45(760 - x) \\ 30x &= 45 \cdot 760 - 45x \\ 75x &= 45 \cdot 760 \\ 5x &= 3 \cdot 760 \\ x &= 3 \cdot 152 \\ x &= 456. \end{align*}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of pages that Chandra will read. Then Bob will read $760 - x$ pages.

For them to read for the same amount of time, $\begin{align*} 30x &= 45(760 - x) \\ 30x &= 45 \cdot 760 - 45x \\ 75x &= 45 \cdot 760 \\ 5x &= 3 \cdot 760 \\ x &= 3 \cdot 152 \\ x &= 456. \end{align*}$

Thus, C is the correct answer.

16.

Antes de que Chandra y Bob empiecen a leer, Alice dice que le gustaría leer en equipo con ellos. Si dividen el libro en tres secciones de modo que cada uno lea durante el mismo tiempo, ¿cuántos segundos tendrá que leer cada uno?

Before Chandra and Bob start reading, Alice says she would like to team read with them. If they divide the book into three sections so that each reads for the same length of time, how many seconds will each have to read?

$6400$

$6600$

$6800$

$7000$

$7200$

Respuesta: E

Conceptos:tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Compara cuántas páginas lee cada persona en la misma cantidad de tiempo.

Compare how many pages each person reads in the same amount of time.

Pista grande:

Un tiempo común como $180$ segundos hace que las tres cantidades de páginas sean números enteros.

A common time such as $180$ seconds makes all three page counts whole numbers.

Solución:

Si las $3$ personas leen durante el mismo tiempo, entonces la cantidad de páginas que leerán Bob, Chandra y Alice estará en la razón $4:6:9$ respectivamente.

Esto significa que leerán $160,$ $240,$ y $360$ páginas respectivamente. Como todos leen durante el mismo tiempo, basta con calcular cuánto tarda Bob en leer su parte.

Bob tardará $45 \cdot 160 = 7200$ segundos en leer su parte.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

If all $3$ individuals read the same amount of time, then the number of pages Bob, Chandra, and Alice will read will be in the ratio $4:6:9$ respectively.

This means that they will read $160,$ $240,$ and $360$ pages respectively. Since they all read for the same amount of time, we can just calculate how long it takes for Bob to read his portion.

Bob will take $45 \cdot 160 = 7200$ seconds to read his portion.

Thus, E is the correct answer.

17.

Jeff gira las ruletas $P,$ $Q$ y $R$ y suma los números resultantes. ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea un número impar?

Jeff rotates spinners $P,$ $Q$ and $R$ and adds the resulting numbers. What is the probability that his sum is an odd number?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad básica paridad

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Sigue solo los valores pares e impares, no las sumas exactas.

Track only odd and even values, not the exact sums.

Pista grande:

La ruleta $Q$ siempre da un número par, y la ruleta $R$ siempre da un número impar.

Spinner $Q$ always gives an even number, and spinner $R$ always gives an odd number.

Solución:

La ruleta $Q$ siempre cae en un número par, así que no cambia la paridad del total. La ruleta $R$ siempre cae en un número impar.

Para que la suma total sea impar, el número de la ruleta $P$ debe ser par. Solo uno de los tres sectores iguales de la ruleta $P$ contiene un número par.

Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac{1}{3}$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Spinner $Q$ always lands on an even number, so it does not change the parity of the total. Spinner $R$ always lands on an odd number.

For the full sum to be odd, the number from spinner $P$ must be even. Only one of the three equal sectors of spinner $P$ contains an even number.

Therefore the probability is $\dfrac{1}{3}$ .

Thus, B is the correct answer.

18.

Un cubo con aristas de $3$ pulgadas se construye usando $27$ cubos con aristas de $1$ pulgada. Diecinueve de los cubos pequeños son blancos y ocho son negros. Si los ocho cubos negros se colocan en las esquinas del cubo mayor, ¿qué fracción del área de la superficie del cubo mayor es blanca?

A cube with $3$ -inch edges is made using $27$ cubes with $1$ -inch edges. Nineteen of the smaller cubes are white and eight are black. If the eight black cubes are placed at the corners of the larger cube, what fraction of the surface area of the larger cube is white?

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{19}{27}$

Respuesta: D

Conceptos:geometría del cubo área de superficie fracción

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Mira una cara del cubo grande.

Look at one face of the large cube.

Pista grande:

Cada cara tiene cuatro cuadrados unitarios en las esquinas provenientes de los cubos negros de las esquinas, y otros cinco cuadrados unitarios.

Each face has four corner unit squares from black corner cubes and five other unit squares.

Solución:

Como cada cara tiene la misma área de superficie negra y blanca, podemos analizar qué fracción de un lado es blanca.

En un lado hay $9$ cuadrados unitarios. $4$ de ellos son negros. Esto significa que $\dfrac{5}{9}$ de cada cara es blanca.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since each face has the same black and white surface area, we can analyze what fraction of one side is white.

On one side, there are $9$ unit squares. $4$ of them are black. This means that $\dfrac{5}{9}$ of each face is white.

Thus, D is the correct answer.

19.

El triángulo $ABC$ es un triángulo isósceles con $\overline{AB}=\overline{BC}.$ El punto $D$ es el punto medio tanto de $\overline{BC}$ como de $\overline{AE},$ y $\overline{CE}$ mide $11$ unidades de largo. El triángulo $ABD$ es congruente con el triángulo $ECD.$ ¿Cuál es la longitud de $\overline{BD}$ ?

Triangle $ABC$ is an isosceles triangle with $\overline{AB}=\overline{BC}.$ Point $D$ is the midpoint of both $\overline{BC}$ and $\overline{AE},$ and $\overline{CE}$ is $11$ units long. Triangle $ABD$ is congruent to triangle $ECD.$ What is the length of $\overline{BD}?$

$4$

$4.5$

$5$

$5.5$

$6$

Respuesta: D

Conceptos:congruencia (geometría)triángulo isósceles punto medio

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Usa los triángulos congruentes para relacionar $EC$ y $AB$ .

Use the congruent triangles to relate $EC$ and $AB$ .

Pista grande:

Luego usa $AB=BC$ y el hecho de que $D$ es el punto medio de $BC$ .

Then use $AB=BC$ and the fact that $D$ is the midpoint of $BC$ .

Solución:

Por la condición de congruencia, sabemos que $AB = EC = 11.$

También, por la condición de isósceles, sabemos que $BC = AB = 11.$

Como $D$ es el punto medio de $\overline{BC},$ sabemos que $BD = BC \div 2 = 5.5.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

By the congruency condition, we know that $AB = EC = 11.$

Also from the isosceles condition, we know that $BC = AB = 11.$

Since $D$ is the midpoint of $\overline{BC},$ we know that $BD = BC \div 2 = 5.5.$

Thus, D is the correct answer.

20.

Un torneo de individuales tuvo seis jugadoras. Cada jugadora jugó contra cada una de las demás solo una vez, sin empates. Si Helen ganó $4$ partidos, Ines ganó $3$ partidos, Janet ganó $2$ partidos, Kendra ganó $2$ partidos y Lara ganó $2$ partidos, ¿cuántos partidos ganó Monica?

A singles tournament had six players. Each player played every other player only once, with no ties. If Helen won $4$ games, Ines won $3$ games, Janet won $2$ games, Kendra won $2$ games and Lara won $2$ games, how many games did Monica win?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:combinaciones

Nivel de dificultad: 1260

Pista pequeña:

Cuenta cuántos partidos se juegan en un todos contra todos de seis jugadoras.

Count how many games are played in a six-player round robin.

Pista grande:

Cada partido tiene exactamente una ganadora, así que el total de victorias es igual al total de partidos.

Every game has exactly one winner, so total wins equal total games.

Solución:

En cada partido hubo exactamente una ganadora. Hay $6 \cdot 5 \div 2 = 15$ partidos y, por lo tanto, $15$ victorias.

Ya hay $4 + 3 + 2 + 2 + 2 = 13$ victorias contabilizadas, así que Monica ganó $15 - 13 = 2$ partidos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

In every match, there was exactly one winner. There are $6 \cdot 5 \div 2 = 15$ games and therefore $15$ wins.

There are already $4 + 3 + 2 + 2 + 2 = 13$ wins accounted for, so Monica won $15 - 13 = 2$ games.

Thus, C is the correct answer.

21.

Un acuario tiene una base rectangular que mide $100$ cm por $40$ cm y una altura de $50$ cm. El acuario se llena de agua hasta una profundidad de $37$ cm. Luego se coloca en el acuario una roca de volumen $1000\text{ cm}^3$ y queda completamente sumergida. ¿Cuántos centímetros sube el nivel del agua?

An aquarium has a rectangular base that measures $100$ cm by $40$ cm and has a height of $50$ cm. The aquarium is filled with water to a depth of $37$ cm. A rock with volume $1000\text{ cm}^3$ is then placed in the aquarium and completely submerged. By how many centimeters does the water level rise?

$0.25$

$0.5$

$1$

$1.25$

$2.5$

Respuesta: A

Conceptos:volumen prisma rectangular

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Un objeto sumergido eleva el agua en su propio volumen.

A submerged object raises the water by its own volume.

Pista grande:

Divide el volumen de la roca entre el área de la base del acuario.

Divide the rock’s volume by the base area of the aquarium.

Solución:

El área de la base del acuario es $100\cdot 40=4000\text{ cm}^2$ .

La roca sumergida desplaza $1000\text{ cm}^3$ de agua, así que el nivel del agua sube $1000\div 4000=0.25$ cm.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The base area of the aquarium is $100\cdot 40=4000\text{ cm}^2$ .

The submerged rock displaces $1000\text{ cm}^3$ of water, so the water level rises by $1000\div 4000=0.25$ cm.

Thus, A is the correct answer.

22.

Se colocan tres enteros positivos distintos de un dígito en la fila inferior de celdas. Los números de celdas adyacentes se suman y la suma se coloca en la celda encima de ellas. En la segunda fila, se continúa el mismo proceso para obtener un número en la celda superior. ¿Cuál es la diferencia entre el número mayor y el menor posibles en la celda superior?

Three different one-digit positive integers are placed in the bottom row of cells. Numbers in adjacent cells are added and the sum is placed in the cell above them. In the second row, continue the same process to obtain a number in the top cell. What is the difference between the largest and smallest numbers possible in the top cell?

$16$

$24$

$25$

$26$

$35$

Respuesta: D

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Escribe las tres entradas inferiores como $a,$ $b,$ y $c$ .

Write the three bottom entries as $a,$ $b,$ and $c$ .

Pista grande:

La entrada inferior del medio se cuenta dos veces en el número superior.

The middle bottom entry is counted twice in the top number.

Solución:

Si las celdas inferiores contienen $a,$ $b,$ y $c,$ la fila del medio tendrá $a+b$ y $b+c$ .

Esto significa que la fila superior tendrá $a+2b+c$ . Para minimizarlo, pon $b=1$ en el medio y $2$ y $3$ en las celdas exteriores. Esto da un número superior de $7$ .

Para maximizarlo, pon $b=9$ en el medio y $7$ y $8$ en las celdas exteriores. Esto da un número superior de $33$ . La diferencia buscada es $33-7=26$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

If the lower cells contain $a,$ $b,$ and $c,$ the middle row will have $a+b$ and $b+c$ .

This means that the top row will have $a+2b+c$ . To minimize this, put $b=1$ in the middle and $2$ and $3$ in the outer cells. This yields a top number of $7$ .

To maximize it, put $b=9$ in the middle and $7$ and $8$ in the outer cells. This yields a top number of $33$ . The desired difference is $33-7=26$ .

Thus, D is the correct answer.

23.

Una caja contiene monedas de oro. Si las monedas se dividen equitativamente entre seis personas, sobran cuatro monedas. Si las monedas se dividen equitativamente entre cinco personas, sobran tres monedas. Si la caja contiene la menor cantidad de monedas que cumple estas dos condiciones, ¿cuántas monedas sobran al dividirlas equitativamente entre siete personas?

A box contains gold coins. If the coins are equally divided among six people, four coins are left over. If the coins are equally divided among five people, three coins are left over. If the box holds the smallest number of coins that meets these two conditions, how many coins are left when equally divided among seven people?

$0$

$1$

$2$

$3$

$5$

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Enumera números pequeños que dejan residuo $4$ al dividirse entre $6$ .

List small numbers that leave remainder $4$ when divided by $6$ .

Pista grande:

De manera equivalente, agregar dos monedas haría el número divisible tanto entre $5$ como entre $6$ .

Equivalently, adding two coins would make the number divisible by both $5$ and $6$ .

Solución:

Los enteros positivos que dejan residuo $4$ al dividirse entre $6$ son $4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, \cdots.$ Los enteros positivos que dejan residuo $3$ al dividirse entre $5$ son $3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, \cdots.$

De esto, vemos que la menor cantidad de monedas que funciona es $28.$ Esto deja un residuo de $0$ al dividirse entre $7.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The positive integers that leave a remainder of $4$ when divided by $6$ are $4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, \cdots.$ The positive integers that leave a remainder of $3$ when divided by $5$ are $3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, \cdots.$

From this, we can see that the smallest number of coins that work is $28.$ This leaves a remainder of $0$ when divided by $7.$

Thus, A is the correct answer.

24.

En el problema de multiplicación de abajo, $A,$ $B,$ $C,$ $D$ son dígitos diferentes. ¿Cuánto vale $A+B$ ? $\begin{array}{cccc}& A & B & A\\ \times & & C & D\\ \hline C & D & C & D\\ \end{array}$

In the multiplication problem below $A,$ $B,$ $C,$ $D$ are different digits. What is $A+B?$ $\begin{array}{cccc}& A & B & A\\ \times & & C & D\\ \hline C & D & C & D\\ \end{array}$

$1$

$2$

$3$

$4$

$9$

Respuesta: A

Conceptos:criptoaritmética valor posicional

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Escribe $CDCD$ como $100\cdot CD+CD$ .

Write $CDCD$ as $100\cdot CD+CD$ .

Pista grande:

Como $CD$ es distinto de cero, divide la ecuación entre el número de dos dígitos $CD$ .

Since $CD$ is nonzero, divide the equation by the two-digit number $CD$ .

Solución:

Observa que $CDCD = 101 \cdot CD.$ Esto obliga a $ABA = 101.$ Entonces $A = 1,$ $B = 0,$ y $A + B = 1.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Note that $CDCD = 101 \cdot CD.$ This forces $ABA = 101.$ Then $A = 1,$ $B = 0,$ and $A + B = 1.$

Thus, A is the correct answer.

25.

Barry escribió $6$ números diferentes, uno en cada lado de $3$ tarjetas, y colocó las tarjetas sobre una mesa, como se muestra. Las sumas de los dos números de cada una de las tres tarjetas son iguales. Los tres números de los lados ocultos son números primos. ¿Cuál es el promedio de los números primos ocultos?

Barry wrote $6$ different numbers, one on each side of $3$ cards, and laid the cards on a table, as shown. The sums of the two numbers on each of the three cards are equal. The three numbers on the hidden sides are prime numbers. What is the average of the hidden prime numbers?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Respuesta: B

Conceptos:primo paridad media

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

La suma común de cada tarjeta debe tener la misma paridad para los tres números visibles.

The common card sum must have the same parity for all three visible numbers.

Pista grande:

Usa el hecho de que $2$ es el único primo par.

Use the fact that $2$ is the only even prime.

Solución:

La suma común debe ser impar. Si la suma común fuera par, entonces los números ocultos detrás de $44$ y $38$ tendrían ambos que ser primos pares, pero solo hay un primo par.

Así, el primo oculto detrás del número visible impar $59$ debe ser $2$ , lo que hace que la suma común sea $59+2=61$ .

Los otros dos primos ocultos son $61-44=17$ y $61-38=23$ .

El promedio de los primos ocultos es $\dfrac{2+17+23}{3}=14$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The common sum must be odd. If the common sum were even, then the hidden numbers behind $44$ and $38$ would both have to be even primes, but there is only one even prime.

So the prime hidden behind the odd visible number $59$ must be $2$ , making the common sum $59+2=61$ .

The other two hidden primes are $61-44=17$ and $61-38=23$ .

The average of the hidden primes is $\dfrac{2+17+23}{3}=14$ .

Thus, B is the correct answer.

Problemas del 2006 AMC 8

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande: