Question

Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen perímetros iguales. Si el área del triángulo es $4$ , ¿cuál es el área del hexágono?

An equilateral triangle and a regular hexagon have equal perimeters. If the triangle's area is $4$ , what is the area of the hexagon?

$4$

$5$

$6$

$4\sqrt3$

$6\sqrt3$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea $s$ la longitud del lado del triángulo. Entonces el perímetro es $3s$ , así que la longitud del lado del hexágono es $\frac{3s}{6} = \frac s2$ .

Un hexágono se puede formar con $6$ triángulos equiláteros de lado $\dfrac{s}{2}$ como se muestra arriba. Cada triángulo es el triángulo original reducido a escala por $\dfrac{1}{2},$ así que el área se reduce por $(\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4} .$ Por lo tanto, el área de cada uno de estos triángulos es $4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1.$ Como hay $6$ de ellos, el área es $6\cdot 1 = 6.$

Así, la respuesta es C.

Let the side length of the triangle be $s.$ This means the perimeter is $3s.$ Therefore, the side length for the hexagon is $\frac{3s}{6} = \frac s2.$

A hexagon can be made of $6$ equilateral triangles with side length $\dfrac{s}{2}$ as shown above. Each triangle is the original triangle scaled down by $\dfrac{1}{2},$ so the area is scaled down by $(\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{4} .$ Therefore, the area of each of these triangles is $4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1.$ Since there are $6$ of them, the area is $6\cdot 1 = 6.$

Thus, the answer is C .

2012 AMC 8 Problema 23

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 23 en otros años