Question

A partir de un octágono regular, se forma un triángulo conectando tres vértices del octágono elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los lados del triángulo sea también un lado del octágono?

From a regular octagon, a triangle is formed by connecting three randomly chosen vertices of the octagon. What is the probability that at least one of the sides of the triangle is also a side of the octagon?

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{5}{42}$

$\dfrac{11}{14}$

$\dfrac{5}{7}$

$\dfrac{6}{7}$

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Sin pérdida de generalidad, sea $A$ un vértice del triángulo. Supongamos que también tenemos los puntos $B,C$ del triángulo con $A,B,C$ en orden horario. Sea $x$ el número de vértices del octágono entre $A$ y $B,$ $y$ el número de vértices entre $B$ y $C,$ y $z$ el número de vértices entre $C$ y $A.$ Sabemos que $x+y+z = 5$ ya que abarca todos los vértices del octágono excepto $A,B,C.$

Si dos lados forman lados de un octágono, la distancia entre ellos sería $0.$

Por lo tanto, si usamos conteo complementario para hallar cuántos tienen $x,y,z > 0,$ podemos deducir cuántos triángulos se forman sin que ningún lado del triángulo sea un lado del octágono. Esto haría que $x,y,z$ sean números enteros cuya suma es $5.$ Usando el método de estrellas y barras, vemos que hay $\binom {5-1}{3-1} = 6$ maneras de colocar $B,C$ tal que $x,y,z > 0.$ Ahora, para hallar el número total de casos, como hay $7$ puntos que no son $A,$ hay $\binom{7}{2} = 21$ maneras de colocar $B,C$ en orden horario.

Esto significa que hay una probabilidad de $\dfrac{6}{21} = \dfrac{2}{7}$ de que el triángulo no tenga lados sobre el octágono. Por lo tanto, hay una probabilidad de $1- \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$ de que el triángulo tenga al menos un lado sobre el octágono.

Así, D es la respuesta correcta.

Without loss of generality, allow $A$ to be a vertex of the triangle. Suppose we also have points $B,C$ of the triangle with $A,B,C$ being in clockwise order. Let $x$ be the number of vertices of the octagon between $A$ and $B,$ $y$ be the number of vertices between $B$ and $C,$ and $z$ be the number of vertices between $C$ and $A.$ We know $x+y+z = 5$ as it encompasses every vertex of the octagon except $A,B,C.$

If two sides form the sides of an octagon, the distance between them would be $0.$

Therefore, if we use complementary counting to find how many have $x,y,z > 0,$ we can deduce out how many triangles are formed with no sides of the triangle being a side of the octagon. This would make $x,y,z$ whole numbers whose sum is $5.$ Using the stars and bars method, we can see that there are $\binom {5-1}{3-1} = 6$ ways to place $B,C$ such that $x,y,z > 0.$ Now to find the total number of cases, since there are $7$ points that aren't $A,$ there are $\binom{7}{2} = 21$ ways to place $B,C$ in clockwise order.

This means there is a $\dfrac{6}{21} = \dfrac{2}{7}$ probability of the triangle not having sides on the octagon. Therefore, there is a $1- \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$ probability of the triangle having at least one side on the octagon.

Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 8 Problema 23

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 23 en otros años