Soluciones del 1987 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuánto es $.4 + .02 + .006$ ?

What is $.4 + .02 + .006?$

$.012$

$.066$

$.12$

$.24$

$.426$

Conceptos:decimal valor posicional

Nivel de dificultad: 450

Solución:

Sumando cifra por cifra, $.4 + .02 + .006 = .426.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding place by place, $.4 + .02 + .006 = .426.$

Thus, the correct answer is E .

2.

¿Cómo se escribe $\dfrac{2}{25}$ en forma decimal?

What is $\dfrac{2}{25}$ written as a decimal?

$.008$

$.08$

$.8$

$1.25$

$12.5$

Conceptos:fracción decimal

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Multiplicando arriba y abajo por $4$ se obtiene $\dfrac{2}{25} = \dfrac{8}{100} = .08.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiplying top and bottom by $4$ gives $\dfrac{2}{25} = \dfrac{8}{100} = .08.$

Thus, the correct answer is B .

3.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\tiny 2(81 + 83 + 85 + 87 + 89 + 91 + 93 + 95 + 97 + 99)$

What is the value of

$\tiny 2(81 + 83 + 85 + 87 + 89 + 91 + 93 + 95 + 97 + 99)?$

$1600$

$1650$

$1700$

$1750$

$1800$

Conceptos:sucesión aritmética operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 660

Solución:

Los diez números igualmente espaciados tienen promedio $90,$ así que su suma es $10 \times 90 = 900.$

Al duplicar se obtiene $2 \times 900 = 1800.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The ten evenly spaced numbers have average $90,$ so their sum is $10 \times 90 = 900.$

Doubling gives $2 \times 900 = 1800.$

Thus, the correct answer is E .

4.

Los marcianos miden los ángulos en clerts. Un círculo completo tiene $500$ clerts. ¿Cuántos clerts hay en un ángulo recto?

Martians measure angles in clerts. There are $500$ clerts in a full circle. How many clerts are there in a right angle?

$90$

$100$

$125$

$180$

$250$

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Un ángulo recto es la cuarta parte de un círculo completo, así que contiene $\dfrac14 \times 500 = 125$ clerts.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A right angle is a quarter of a full circle, so it contains $\dfrac14 \times 500 = 125$ clerts.

Thus, the correct answer is C .

5.

Una región rectangular mide $0.4$ m de largo y $0.22$ m de ancho. ¿Cuál es su área, en metros cuadrados?

A rectangular region is $0.4$ m long and $0.22$ m wide. What is its area, in square meters?

$0.088 \text{ m}^2$

$0.62 \text{ m}^2$

$0.88 \text{ m}^2$

$1.24 \text{ m}^2$

$4.22 \text{ m}^2$

Conceptos:área decimal

Nivel de dificultad: 660

Solución:

El área es $0.4 \times 0.22 = 0.088$ metros cuadrados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The area is $0.4 \times 0.22 = 0.088$ square meters.

Thus, the correct answer is A .

6.

El menor producto que se puede obtener al multiplicar dos números del conjunto $\{ -7, -5, -1, 1, 3 \}$ es

The smallest product one could obtain by multiplying two numbers in the set $\{ -7, -5, -1, 1, 3 \}$ is

$-35$

$-21$

$-15$

$-1$

$3$

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 800

Solución:

Un producto negativo proviene de multiplicar un número negativo por uno positivo, y es más negativo cuando ambos factores tienen el mayor tamaño.

El producto más negativo es $(-7)(3) = -21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A negative product comes from multiplying a negative number by a positive number, and it is most negative when both factors are largest in size.

The most negative product is $(-7)(3) = -21.$

Thus, the correct answer is B .

7.

El cubo grande que se muestra está formado por $27$ cubos más pequeños del mismo tamaño. Para cada cara del cubo grande, la cara opuesta está sombreada de la misma manera. El número total de cubos más pequeños que deben tener al menos una cara sombreada es

The large cube shown is made up of $27$ identical sized smaller cubes. For each face of the large cube, the opposite face is shaded the same way. The total number of smaller cubes that must have at least one face shaded is

$10$

$16$

$20$

$22$

$24$

Conceptos:geometría del cubo conteo complementario

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Cuenta los cubos sin ninguna cara sombreada y réstalos de $27.$ Un cubo pequeño queda sin sombrear exactamente cuando cada uno de sus cuadros expuestos está en blanco.

Los tres patrones son: las caras superior e inferior muestran sombreado solo su cuadro central; un par de caras laterales opuestas muestra sombreadas las cuatro esquinas y el centro; el par restante muestra sombreados los cuatro puntos medios de las aristas.

Exactamente $7$ cubos pequeños evitan todo cuadro sombreado: el único cubo oculto en el centro mismo del bloque; los dos cubos en los centros de las caras de puntos medios de arista, cuyo único cuadro expuesto es ese centro en blanco; y los cuatro cubos en los puntos medios de las aristas donde una cara de esquinas y centro se encuentra con la cara superior o inferior, ya que allí cada cuadro expuesto es una celda de arista en blanco.

De modo que $27 - 7 = 20$ cubos tienen al menos una cara sombreada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Count the cubes with no shaded face and subtract from $27.$ A small cube is unshaded exactly when every one of its exposed squares is blank.

The three patterns are: the top and bottom faces show only their center square shaded; one pair of opposite side faces shows the four corners and the center shaded; the remaining pair shows the four edge-midpoints shaded.

Exactly $7$ small cubes avoid every shaded square: the one hidden cube at the very center of the block; the two cubes at the centers of the edge-midpoints faces, whose only exposed square is that blank center; and the four cubes at the midpoints of the edges where a corners-and-center face meets the top or bottom face, since there each exposed square is a blank edge cell.

Hence $27 - 7 = 20$ cubes have at least one shaded face.

Thus, the correct answer is C .

8.

En el siguiente problema de suma, $A$ y $B$ son dígitos distintos de cero:

$\begin{array}{r} 9876 \\ A32 \\ +B1 \\ \hline \end{array}$

¿Cuántos dígitos (no necesariamente distintos) tiene la suma de los tres números enteros?

In the addition problem below, $A$ and $B$ are nonzero digits:

$\begin{array}{r} 9876 \\ A32 \\ +B1 \\ \hline \end{array}$

How many digits (not necessarily different) are in the sum of the three whole numbers?

$4$

$5$

$6$

$9$

depende de los valores de $A$ y $B$

depends on the values of $A$ and $B$

Conceptos:valor posicional acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 930

Solución:

Como $A$ y $B$ valen al menos $1,$ la suma es al menos $9876 + 132 + 11 = 10{,}019,$ que tiene $5$ dígitos.

En el otro extremo, con $A = B = 9$ la suma es $9876 + 932 + 91 = 10{,}899,$ todavía $5$ dígitos. Así que la suma siempre tiene exactamente $5$ dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $A$ and $B$ are at least $1,$ the sum is at least $9876 + 132 + 11 = 10{,}019,$ which has $5$ digits.

At the other extreme, with $A = B = 9$ the sum is $9876 + 932 + 91 = 10{,}899,$ still $5$ digits. So the sum always has exactly $5$ digits.

Thus, the correct answer is B .

9.

Al calcular la suma

$\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac14 + \dfrac15 + \dfrac16 + \dfrac17,$

¿cuál es el mínimo común denominador que se usa?

When finding the sum

$\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac14 + \dfrac15 + \dfrac16 + \dfrac17,$

what is the least common denominator used?

$120$

$210$

$420$

$840$

$5040$

Conceptos:mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 800

Solución:

El mínimo común múltiplo debe incluir $4 = 2^2,$ $3,$ $5,$ y $7$ (el factor $6 = 2 \times 3$ ya está cubierto).

Así que es $4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The least common multiple must include $4 = 2^2,$ $3,$ $5,$ and $7$ (the factor $6 = 2 \times 3$ is already covered).

So it is $4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420.$

Thus, the correct answer is C .

10.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$4(299) + 3(299) + 2(299) + 298?$

What is the value of

$4(299) + 3(299) + 2(299) + 298?$

$2889$

$2989$

$2991$

$2999$

$3009$

Conceptos:propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 800

Solución:

Los primeros tres términos se combinan en $(4 + 3 + 2)(299)$ $= 9 \times 299 = 2691.$

Sumando el último término se obtiene $2691 + 298 = 2989.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first three terms combine to $(4 + 3 + 2)(299)$ $= 9 \times 299 = 2691.$

Adding the last term gives $2691 + 298 = 2989.$

Thus, the correct answer is B .

11.

¿Entre qué dos valores se encuentra la suma $2\dfrac17 + 3\dfrac12 + 5\dfrac{1}{19}$ ?

The sum $2\dfrac17 + 3\dfrac12 + 5\dfrac{1}{19}$ is between which two values?

$10$ y $10\dfrac12$

$10$ and $10\dfrac12$

$10\dfrac12$ y $11$

$10\dfrac12$ and $11$

$11$ y $11\dfrac12$

$11$ and $11\dfrac12$

$11\dfrac12$ y $12$

$11\dfrac12$ and $12$

$12$ y $12\dfrac12$

$12$ and $12\dfrac12$

Conceptos:fracción estimación

Nivel de dificultad: 860

Solución:

Las partes enteras suman $10.$ Las partes fraccionarias son $\dfrac12 + \dfrac17 + \dfrac{1}{19}.$

Como $\dfrac17 + \dfrac{1}{19}$ es una cantidad positiva pequeña, el total fraccionario es más que $\dfrac12$ pero muy por debajo de $1.$ Así que la suma está entre $10\dfrac12$ y $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The whole-number parts sum to $10.$ The fractional parts are $\dfrac12 + \dfrac17 + \dfrac{1}{19}.$

Since $\dfrac17 + \dfrac{1}{19}$ is a small positive amount, the fractional total is more than $\dfrac12$ but well under $1.$ So the sum lies between $10\dfrac12$ and $11.$

Thus, the correct answer is B .

12.

¿Qué fracción de la gran región rectangular de $12$ por $18$ está sombreada?

What fraction of the large $12$ by $18$ rectangular region is shaded?

$\dfrac{1}{108}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{1}{3}$

Conceptos:área fracción

Nivel de dificultad: 930

Solución:

Toda la región tiene área $12 \times 18 = 216.$ La región sombreada mide $3$ de ancho y $6$ de alto, con área $3 \times 6 = 18.$

Así que la fracción sombreada es $\dfrac{18}{216} = \dfrac{1}{12}.$ De forma equivalente, es $\dfrac13$ de $\dfrac14$ del total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The whole region has area $12 \times 18 = 216.$ The shaded region is $3$ wide and $6$ tall, with area $3 \times 6 = 18.$

So the shaded fraction is $\dfrac{18}{216} = \dfrac{1}{12}.$ Equivalently, it is $\dfrac13$ of $\dfrac14$ of the whole.

Thus, the correct answer is C .

13.

¿Cuál de las siguientes fracciones tiene el mayor valor?

Which of the following fractions has the largest value?

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{17}{35}$

$\dfrac{100}{201}$

$\dfrac{151}{301}$

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 930

Solución:

Para $\dfrac37,$ $\dfrac49,$ $\dfrac{17}{35},$ y $\dfrac{100}{201},$ cada numerador es menor que la mitad de su denominador, así que cada una es menor que $\dfrac12.$

Para $\dfrac{151}{301},$ el numerador $151$ es más de la mitad de $301,$ así que esta fracción supera $\dfrac12$ y es la mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $\dfrac37,$ $\dfrac49,$ $\dfrac{17}{35},$ and $\dfrac{100}{201},$ each numerator is less than half its denominator, so each is less than $\dfrac12.$

For $\dfrac{151}{301},$ the numerator $151$ is more than half of $301,$ so this fraction exceeds $\dfrac12$ and is the largest.

Thus, the correct answer is E .

14.

Una computadora puede hacer $10{,}000$ sumas por segundo. ¿Cuántas sumas puede hacer en una hora?

A computer can do $10{,}000$ additions per second. How many additions can it do in one hour?

$6$ millones

$6$ million

$36$ millones

$36$ million

$60$ millones

$60$ million

$216$ millones

$216$ million

$360$ millones

$360$ million

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 730

Solución:

Una hora tiene $3600$ segundos, así que la computadora hace $10{,}000 \times 3600 = 36{,}000{,}000$ sumas.

Eso es $36$ millones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

One hour has $3600$ seconds, so the computer does $10{,}000 \times 3600 = 36{,}000{,}000$ additions.

That is $36$ million.

Thus, the correct answer is B .

15.

Un anuncio de oferta decía: "Compra tres llantas al precio regular y llévate la cuarta llanta por $3." Sam pagó $240 por un juego de cuatro llantas en la oferta. ¿Cuál era el precio regular de una llanta?

A sale ad read: "Buy three tires at the regular price and get the fourth tire for $3." Sam paid $240 for a set of four tires at the sale. What was the regular price of one tire?

$59.25

$60

$70

$79

$80

Conceptos:trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 860

Solución:

Las tres llantas a precio regular cuestan $\$240 - \$3 = \$237.$

Así que una llanta cuesta $\dfrac{\$237}{3} = \$79.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The three regular-price tires cost $\$240 - \$3 = \$237.$

So one tire costs $\dfrac{\$237}{3} = \$79.$

Thus, the correct answer is D .

16.

Joyce encestó $12$ de sus primeros $30$ tiros en los primeros tres partidos de la temporada de baloncesto, así que su promedio de tiro de la temporada era $40\%.$ En su siguiente partido, hizo $10$ tiros y elevó su promedio de tiro de la temporada a $50\%.$ ¿Cuántos de estos $10$ tiros encestó?

Joyce made $12$ of her first $30$ shots in the first three games of the basketball season, so her seasonal shooting average was $40\%.$ In her next game, she took $10$ shots and raised her seasonal shooting average to $50\%.$ How many of these $10$ shots did she make?

$2$

$3$

$5$

$6$

$8$

Conceptos:porcentaje media

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Después del cuarto partido ha hecho $40$ tiros. Un promedio de $50\%$ significa que encestó $\tfrac12 \times 40 = 20$ tiros en total.

Ya había encestado $12,$ así que encestó $20 - 12 = 8$ de los últimos $10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

After the fourth game she has taken $40$ shots. A $50\%$ average means she made $\tfrac12 \times 40 = 20$ shots in total.

She had already made $12,$ so she made $20 - 12 = 8$ of the last $10.$

Thus, the correct answer is E .

17.

Abby, Bret, Carl y Dana están sentados en una fila de cuatro asientos numerados del $1$ al $4.$ Joe los mira y dice: "Bret está junto a Carl." "Abby está entre Bret y Carl." Sin embargo, cada una de las afirmaciones de Joe es falsa. Bret está en realidad sentado en el asiento $3.$ ¿Quién está sentado en el asiento $2$ ?

Abby, Bret, Carl, and Dana are seated in a row of four seats numbered $1$ to $4.$ Joe looks at them and says: "Bret is next to Carl." "Abby is between Bret and Carl." However, each one of Joe's statements is false. Bret is actually sitting in seat $3.$ Who is sitting in seat $2?$

Abby

Bret

Carl

Dana

No hay información suficiente para estar seguro

There is not enough information to be sure

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1060

Solución:

Bret está en el asiento $3.$ Como "Bret está junto a Carl" es falso, Carl no está en el asiento $2$ ni en el asiento $4,$ así que Carl debe estar en el asiento $1.$

El asiento entre Bret (asiento $3$ ) y Carl (asiento $1$ ) es el asiento $2.$ Como "Abby está entre Bret y Carl" es falso, Abby no está en el asiento $2,$ así que Abby debe estar en el asiento $4.$

Eso deja a Dana en el asiento $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Bret is in seat $3.$ Since "Bret is next to Carl" is false, Carl is not in seat $2$ or seat $4,$ so Carl must be in seat $1.$

The seat between Bret (seat $3$ ) and Carl (seat $1$ ) is seat $2.$ Since "Abby is between Bret and Carl" is false, Abby is not in seat $2,$ so Abby must be in seat $4.$

That leaves Dana in seat $2.$

Thus, the correct answer is D .

18.

La mitad de las personas de una habitación se fueron. Un tercio de las que quedaban se pusieron a bailar. Entonces había $12$ personas que no estaban bailando. ¿Cuál era el número original de personas en la habitación?

Half the people in a room left. One third of those remaining started to dance. There were then $12$ people who were not dancing. What was the original number of people in the room?

$24$

$30$

$36$

$42$

$72$

Conceptos:fracción trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 960

Solución:

De los que quedaban, $\dfrac13$ bailó, así que $\dfrac23$ no. Por lo tanto, $\dfrac23$ de las personas restantes es igual a $12,$ lo que da $18$ restantes.

Esos $18$ son la mitad del grupo original, así que la habitación empezó con $2 \times 18 = 36$ personas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Of those remaining, $\dfrac13$ danced, so $\dfrac23$ did not. Thus $\dfrac23$ of the remaining people equals $12,$ giving $18$ remaining.

Those $18$ are half the original group, so the room started with $2 \times 18 = 36$ people.

Thus, the correct answer is C .

19.

Una calculadora tiene una tecla de elevar al cuadrado que reemplaza el número que se muestra actualmente por su cuadrado. Por ejemplo, si la pantalla muestra $3$ y se presiona la tecla de cuadrado, la pantalla pasa a $9.$ Si la pantalla muestra $2,$ ¿cuántas veces se debe presionar la tecla de cuadrado para producir un número mostrado mayor que $500$ ?

A calculator has a squaring key that replaces the number currently displayed with its square. For example, if the display reads $3$ and the squaring key is pressed, the display becomes $9.$ If the display reads $2,$ how many times must the squaring key be pressed to produce a displayed number greater than $500?$

$4$

$5$

$8$

$9$

$250$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 1030

Solución:

Presionar la tecla repetidamente da $2 \to 4 \to 16 \to 256 \to 65536.$

Como $256 \lt 500 \lt 65536,$ la pantalla supera por primera vez $500$ en la cuarta pulsación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Pressing the key repeatedly gives $2 \to 4 \to 16 \to 256 \to 65536.$

Since $256 \lt 500 \lt 65536,$ the display first exceeds $500$ on the fourth press.

Thus, the correct answer is A .

20.

Considera la afirmación: "Si un número entero $n$ no es primo, entonces el número entero $n - 2$ no es primo." ¿Cuál de los siguientes valores de $n$ muestra que esta afirmación es falsa?

Consider the statement: "If a whole number $n$ is not prime, then the whole number $n - 2$ is not prime." Which of the following values of $n$ shows this statement to be false?

$9$

$12$

$13$

$16$

$23$

Conceptos:contraejemplo primo

Nivel de dificultad: 1010

Solución:

Un contraejemplo necesita que $n$ no sea primo pero $n - 2$ sí. Para $n = 9,$ el número $9$ no es primo mientras que $9 - 2 = 7$ sí es primo, así que rompe la afirmación.

Los demás no sirven como contraejemplos: $12 - 2 = 10$ y $16 - 2 = 14$ no son primos, mientras que $13$ y $23$ son primos ellos mismos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A counterexample needs $n$ not prime but $n - 2$ prime. For $n = 9,$ the number $9$ is not prime while $9 - 2 = 7$ is prime, so it breaks the statement.

The others fail to be counterexamples: $12 - 2 = 10$ and $16 - 2 = 14$ are not prime, while $13$ and $23$ are themselves prime.

Thus, the correct answer is A .

21.

Supón que $n^\ast$ significa $\dfrac1n,$ el recíproco de $n.$ Por ejemplo, $5^\ast = \dfrac15.$ ¿Cuántas de las siguientes cuatro afirmaciones son verdaderas?

(i) $3^\ast + 6^\ast = 9^\ast$ ; (ii) $6^\ast - 4^\ast = 2^\ast$ ; (iii) $2^\ast \cdot 6^\ast = 12^\ast$ ; (iv) $10^\ast \div 2^\ast = 5^\ast$ .

Suppose $n^\ast$ means $\dfrac1n,$ the reciprocal of $n.$ For example, $5^\ast = \dfrac15.$ How many of the following four statements are true?

(i) $3^\ast + 6^\ast = 9^\ast$ ; (ii) $6^\ast - 4^\ast = 2^\ast$ ; (iii) $2^\ast \cdot 6^\ast = 12^\ast$ ; (iv) $10^\ast \div 2^\ast = 5^\ast$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 1030

Solución:

(i) $\dfrac13 + \dfrac16 = \dfrac12,$ pero $9^\ast = \dfrac19,$ así que falsa. (ii) $\dfrac16 - \dfrac14 = -\dfrac{1}{12},$ pero $2^\ast = \dfrac12,$ así que falsa.

(iii) $\dfrac12 \cdot \dfrac16 = \dfrac{1}{12} = 12^\ast,$ verdadera. (iv) $\dfrac{1}{10} \div \dfrac12 = \dfrac15 = 5^\ast,$ verdadera.

Así que exactamente $2$ de las afirmaciones son verdaderas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

(i) $\dfrac13 + \dfrac16 = \dfrac12,$ but $9^\ast = \dfrac19,$ so false. (ii) $\dfrac16 - \dfrac14 = -\dfrac{1}{12},$ but $2^\ast = \dfrac12,$ so false.

(iii) $\dfrac12 \cdot \dfrac16 = \dfrac{1}{12} = 12^\ast,$ true. (iv) $\dfrac{1}{10} \div \dfrac12 = \dfrac15 = 5^\ast,$ true.

So exactly $2$ of the statements are true.

Thus, the correct answer is C .

22.

$ABCD$ es un rectángulo, $D$ es el centro del círculo y $B$ está sobre el círculo. Si $AD = 4$ y $CD = 3,$ ¿entre qué dos valores está el área de la región sombreada?

$ABCD$ is a rectangle, $D$ is the center of the circle, and $B$ is on the circle. If $AD = 4$ and $CD = 3,$ then the area of the shaded region is between which two values?

$4$ y $5$

$4$ and $5$

$5$ y $6$

$5$ and $6$

$6$ y $7$

$6$ and $7$

$7$ y $8$

$7$ and $8$

$8$ y $9$

$8$ and $9$

Conceptos:Teorema de Pitágoras sector circular

Nivel de dificultad: 1120

Solución:

Como $AD = 4$ y $CD = 3,$ la diagonal $DB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5,$ que es el radio.

La región sombreada es el cuarto de círculo en $D$ menos el rectángulo: $\begin{gathered} \dfrac14 \pi (5)^2 - (3)(4) = \dfrac{25\pi}{4} - 12 \\ \approx 19.6 - 12 = 7.6. \end{gathered}$

Esto está entre $7$ y $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $AD = 4$ and $CD = 3,$ the diagonal $DB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5,$ which is the radius.

The shaded region is the quarter circle at $D$ minus the rectangle: $\begin{gathered} \dfrac14 \pi (5)^2 - (3)(4) = \dfrac{25\pi}{4} - 12 \\ \approx 19.6 - 12 = 7.6. \end{gathered}$

This lies between $7$ and $8.$

Thus, the correct answer is D .

23.

En $1980,$ la población negra de EE. UU. (en millones) era de $5$ en el Noreste, $5$ en el Medio Oeste, $15$ en el Sur y $2$ en el Oeste. Redondeando al porcentaje más cercano, ¿qué porcentaje de la población negra de EE. UU. vivía en el Sur?

In $1980,$ the U.S. Black population (in millions) was $5$ in the Northeast, $5$ in the Midwest, $15$ in the South, and $2$ in the West. To the nearest percent, what percent of the U.S. Black population lived in the South?

$20\%$

$25\%$

$40\%$

$56\%$

$80\%$

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 820

Solución:

La población negra total es $5 + 5 + 15 + 2 = 27$ millones.

La parte del Sur es $\dfrac{15}{27} = \dfrac59 \approx 55.6\%,$ que se redondea a $56\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The total Black population is $5 + 5 + 15 + 2 = 27$ million.

The South's share is $\dfrac{15}{27} = \dfrac59 \approx 55.6\%,$ which rounds to $56\%.$

Thus, the correct answer is D .

24.

Un examen de opción múltiple consta de $20$ preguntas. La puntuación es de $+5$ por cada respuesta correcta, $-2$ por cada respuesta incorrecta y $0$ por cada pregunta sin responder. La puntuación de John en el examen es $48.$ ¿Cuál es el número máximo de preguntas que pudo haber respondido correctamente?

A multiple choice examination consists of $20$ questions. The scoring is $+5$ for each correct answer, $-2$ for each incorrect answer, and $0$ for each unanswered question. John's score on the examination is $48.$ What is the maximum number of questions he could have answered correctly?

$9$

$10$

$11$

$12$

$16$

Conceptos:ecuación lineal optimización paridad

Nivel de dificultad: 1150

Solución:

Sea $c$ el número de correctas y $w$ el número de incorrectas, así que $5c - 2w = 48.$ Entonces $2w = 5c - 48,$ lo que exige que $c$ sea par.

Probando $c = 14$ da $w = 11,$ pero $c + w = 25 \gt 20,$ demasiadas. Probando $c = 12$ da $w = 6$ y $c + w = 18 \le 20,$ lo cual funciona. Así que el máximo es $12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $c$ be the number correct and $w$ the number wrong, so $5c - 2w = 48.$ Then $2w = 5c - 48,$ which requires $c$ to be even.

Trying $c = 14$ gives $w = 11,$ but $c + w = 25 \gt 20,$ too many. Trying $c = 12$ gives $w = 6$ and $c + w = 18 \le 20,$ which works. So the maximum is $12.$

Thus, the correct answer is D .

25.

Diez bolas numeradas del $1$ al $10$ están en un frasco. Jack mete la mano en el frasco y saca al azar una de las bolas. Luego Jill mete la mano en el frasco y saca al azar una bola diferente. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos números de las bolas sacadas sea par?

Ten balls numbered $1$ to $10$ are in a jar. Jack reaches into the jar and randomly removes one of the balls. Then Jill reaches into the jar and randomly removes a different ball. What is the probability that the sum of the two numbers on the balls removed is even?

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{9}{19}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{10}{19}$

$\dfrac{5}{9}$

Conceptos:probabilidad básica paridad

Nivel de dificultad: 1090

Solución:

La suma es par cuando ambas bolas son impares o ambas pares. Hay $\binom{5}{2} = 10$ pares todos impares y $\binom{5}{2} = 10$ pares todos pares, para $20$ pares favorables.

El número total de pares es $\binom{10}{2} = 45,$ así que la probabilidad es $\dfrac{20}{45} = \dfrac49.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum is even when both balls are odd or both are even. There are $\binom{5}{2} = 10$ all-odd pairs and $\binom{5}{2} = 10$ all-even pairs, for $20$ favorable pairs.

The total number of pairs is $\binom{10}{2} = 45,$ so the probability is $\dfrac{20}{45} = \dfrac49.$

Thus, the correct answer is A .