1987 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

¿Cuánto es $0.4 + 0.02 + 0.006$ ?

What is $0.4 + 0.02 + 0.006?$

$0.012$

$0.066$

$0.12$

$0.24$

$0.426$

Respuesta: E

Conceptos:decimal valor posicional

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Alinea los puntos decimales antes de sumar

Line up the decimal points before adding

Pista grande:

Escribe los números como $0.400,$ $0.020,$ y $0.006$

Write the numbers as $0.400,$ $0.020,$ and $0.006$

Solución:

Sumando cifra por cifra, $0.4 + 0.02 + 0.006 = 0.426.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding place by place, $0.4 + 0.02 + 0.006 = 0.426.$

Thus, the correct answer is E .

2.

¿Cómo se escribe $\dfrac{2}{25}$ en forma decimal?

What is $\dfrac{2}{25}$ written as a decimal?

$0.008$

$0.08$

$0.8$

$1.25$

$12.5$

Respuesta: B

Conceptos:fracción decimal

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Reescribe la fracción con denominador $100$

Rewrite the fraction with a denominator of $100$

Pista grande:

Multiplica el numerador y el denominador por $4$

Multiply the numerator and denominator by $4$

Solución:

Multiplicando arriba y abajo por $4$ se obtiene $\dfrac{2}{25} = \dfrac{8}{100} = 0.08.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiplying top and bottom by $4$ gives $\dfrac{2}{25} = \dfrac{8}{100} = 0.08.$

Thus, the correct answer is B .

3.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$\begin{gathered} 2(81 + 83 + 85 + 87 + 89 \\ {}+ 91 + 93 + 95 + 97 + 99) \end{gathered}$

What is the value of

$\begin{gathered} 2(81 + 83 + 85 + 87 + 89 \\ {}+ 91 + 93 + 95 + 97 + 99)? \end{gathered}$

$1600$

$1650$

$1700$

$1750$

$1800$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Estos diez números $81,$ $83,$ $\ldots,$ $99$ están igualmente espaciados

The ten numbers $81,$ $83,$ $\ldots,$ $99$ are evenly spaced

Pista grande:

Su promedio es $\dfrac{81 + 99}{2} = 90,$ así que su suma es $10 \times 90$

Their average is $\dfrac{81 + 99}{2} = 90,$ so their sum is $10 \times 90$

Solución:

Los diez números igualmente espaciados tienen promedio $90,$ así que su suma es $10 \times 90 = 900.$

Al duplicar se obtiene $2 \times 900 = 1800.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The ten evenly spaced numbers have average $90,$ so their sum is $10 \times 90 = 900.$

Doubling gives $2 \times 900 = 1800.$

Thus, the correct answer is E .

4.

Los marcianos miden los ángulos en clerts. Un círculo completo tiene $500$ clerts. ¿Cuántos clerts hay en un ángulo recto?

Martians measure angles in clerts. There are $500$ clerts in a full circle. How many clerts are there in a right angle?

$90$

$100$

$125$

$180$

$250$

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Un ángulo recto es $\dfrac14$ de un círculo completo

A right angle is $\dfrac14$ of a full circle

Pista grande:

Toma $\dfrac14$ de $500$ clerts

Take $\dfrac14$ of $500$ clerts

Solución:

Un ángulo recto es la cuarta parte de un círculo completo, así que contiene $\dfrac14 \times 500 = 125$ clerts.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A right angle is a quarter of a full circle, so it contains $\dfrac14 \times 500 = 125$ clerts.

Thus, the correct answer is C .

5.

¿Cuál es el área, en metros cuadrados, de la región rectangular que se muestra?

What is the area, in square meters, of the rectangular region shown?

$0.088 \text{ m}^2$

$0.62 \text{ m}^2$

$0.88 \text{ m}^2$

$1.24 \text{ m}^2$

$4.22 \text{ m}^2$

Respuesta: A

Conceptos:área decimal

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

El área de un rectángulo es su largo por su ancho

The area of a rectangle is its length times its width

Pista grande:

Multiplica $0.4$ por $0.22$

Multiply $0.4$ by $0.22$

Solución:

El área es $0.4 \times 0.22 = 0.088$ metros cuadrados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The area is $0.4 \times 0.22 = 0.088$ square meters.

Thus, the correct answer is A .

6.

El menor producto que se puede obtener al multiplicar dos números del conjunto $\{ -7, -5, -1, 1, 3 \}$ es

The smallest product one could obtain by multiplying two numbers in the set $\{ -7, -5, -1, 1, 3 \}$ is

$-35$

$-21$

$-15$

$-1$

$3$

Respuesta: B

Conceptos:optimización

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

El menor producto es el más negativo, que proviene de un factor negativo y uno positivo

The smallest product is the most negative one, which comes from one negative and one positive factor

Pista grande:

Empareja el número más negativo con el número positivo más grande

Pair the most negative number with the largest positive number

Solución:

Un producto negativo proviene de multiplicar un número negativo por uno positivo, y es más negativo cuando ambos factores tienen el mayor valor absoluto.

El producto más negativo es $(-7)(3) = -21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A negative product comes from multiplying a negative number by a positive number, and it is most negative when both factors are largest in size.

The most negative product is $(-7)(3) = -21.$

Thus, the correct answer is B .

7.

El cubo grande que se muestra está formado por $27$ cubos más pequeños del mismo tamaño. Para cada cara del cubo grande, la cara opuesta está sombreada de la misma manera. El número total de cubos más pequeños que deben tener al menos una cara sombreada es

The large cube shown is made up of $27$ identical sized smaller cubes. For each face of the large cube, the opposite face is shaded the same way. The total number of smaller cubes that must have at least one face shaded is

$10$

$16$

$20$

$22$

$24$

Respuesta: C

Conceptos:geometría del cubo conteo complementario

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Un cubo pequeño muestra una cara sombreada solo cuando uno de sus cuadros de superficie está sombreado, así que cuenta los cubos que quedan completamente en blanco, empezando por el único cubo oculto en el centro del bloque

A small cube shows a shaded face only when one of its surface squares is shaded, so count the cubes that stay completely blank, beginning with the single hidden cube at the center of the block

Pista grande:

Además del cubo central oculto, encuentra los cubos cuyos cuadros expuestos caen todos en una posición en blanco, y luego resta de $27$ el número de cubos en blanco

Besides the hidden center cube, find the cubes whose every exposed square lands on a blank position, then subtract the number of blank cubes from $27$

Solución:

Cuenta los cubos sin ninguna cara sombreada y réstalos de $27.$ Un cubo pequeño queda sin sombrear exactamente cuando cada uno de sus cuadros expuestos está en blanco.

Los tres patrones son: las caras superior e inferior muestran sombreado solo su cuadro central; un par de caras laterales opuestas muestra sombreadas las cuatro esquinas y el centro; el par restante muestra sombreados los cuatro puntos medios de las aristas.

Exactamente $7$ cubos pequeños evitan todo cuadro sombreado: el único cubo oculto en el centro mismo del bloque; los dos cubos en los centros de las caras de puntos medios de arista, cuyo único cuadro expuesto es ese centro en blanco; y los cuatro cubos en los puntos medios de las aristas donde una cara de esquinas y centro se encuentra con la cara superior o inferior, ya que allí cada cuadro expuesto es una celda de arista en blanco.

De modo que $27 - 7 = 20$ cubos tienen al menos una cara sombreada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Count the cubes with no shaded face and subtract from $27.$ A small cube is unshaded exactly when every one of its exposed squares is blank.

The three patterns are: the top and bottom faces show only their center square shaded; one pair of opposite side faces shows the four corners and the center shaded; the remaining pair shows the four edge-midpoints shaded.

Exactly $7$ small cubes avoid every shaded square: the one hidden cube at the very center of the block; the two cubes at the centers of the edge-midpoints faces, whose only exposed square is that blank center; and the four cubes at the midpoints of the edges where a corners-and-center face meets the top or bottom face, since there each exposed square is a blank edge cell.

Hence $27 - 7 = 20$ cubes have at least one shaded face.

Thus, the correct answer is C .

8.

En el siguiente problema de suma, $A$ y $B$ son dígitos distintos de cero:

$\begin{array}{r} 9876 \\ A32 \\ +B1 \\ \hline \end{array}$

¿Cuántos dígitos (no necesariamente distintos) tiene la suma de los tres números enteros?

In the addition problem below, $A$ and $B$ are nonzero digits:

$\begin{array}{r} 9876 \\ A32 \\ +B1 \\ \hline \end{array}$

How many digits (not necessarily different) are in the sum of the three whole numbers?

$4$

$5$

$6$

$9$

depende de los valores de $A$ y $B$

depends on the values of $A$ and $B$

Respuesta: B

Conceptos:valor posicional acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

El número $9876$ ya está cerca de $10{,}000,$ así que sumar cualquier cosa empuja la suma más allá

The number $9876$ is already close to $10{,}000,$ so adding anything pushes the sum past it

Pista grande:

Comprueba también la suma más grande posible, usando $A = B = 9$

Check the largest possible sum too, using $A = B = 9$

Solución:

Como $A$ y $B$ valen al menos $1,$ la suma es al menos $9876 + 132 + 11 = 10{,}019,$ que tiene $5$ dígitos.

En el otro extremo, con $A = B = 9$ la suma es $9876 + 932 + 91 = 10{,}899,$ todavía $5$ dígitos. Así que la suma siempre tiene exactamente $5$ dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $A$ and $B$ are at least $1,$ the sum is at least $9876 + 132 + 11 = 10{,}019,$ which has $5$ digits.

At the other extreme, with $A = B = 9$ the sum is $9876 + 932 + 91 = 10{,}899,$ still $5$ digits. So the sum always has exactly $5$ digits.

Thus, the correct answer is B .

9.

Al calcular la suma

$\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac14 + \dfrac15 + \dfrac16 + \dfrac17,$

¿cuál es el mínimo común denominador que se usa?

When finding the sum

$\dfrac12 + \dfrac13 + \dfrac14 + \dfrac15 + \dfrac16 + \dfrac17,$

what is the least common denominator used?

$120$

$210$

$420$

$840$

$5040$

Respuesta: C

Conceptos:mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

El mínimo común denominador es el mínimo común múltiplo de $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7$

The least common denominator is the least common multiple of $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7$

Pista grande:

Usa $4$ para cubrir el factor $4$ (y el $2$ ), luego incluye $3,$ $5,$ y $7$

Use $4$ to cover the factor $4$ (and $2$ ), then include $3,$ $5,$ and $7$

Solución:

El mínimo común múltiplo debe incluir $4 = 2^2,$ $3,$ $5,$ y $7$ (el factor $6 = 2 \times 3$ ya está cubierto).

Así que es $4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The least common multiple must include $4 = 2^2,$ $3,$ $5,$ and $7$ (the factor $6 = 2 \times 3$ is already covered).

So it is $4 \times 3 \times 5 \times 7 = 420.$

Thus, the correct answer is C .

10.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$4(299) + 3(299) + 2(299) + 298$

What is the value of

$4(299) + 3(299) + 2(299) + 298?$

$2889$

$2989$

$2991$

$2999$

$3009$

Respuesta: B

Conceptos:propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Combina los primeros tres términos: $4(299) + 3(299) + 2(299)$ $= 9 \times 299$

Combine the first three terms: $4(299) + 3(299) + 2(299)$ $= 9 \times 299$

Pista grande:

Calcula $9 \times 299,$ luego suma $298$

Compute $9 \times 299,$ then add $298$

Solución:

Los primeros tres términos se combinan en $(4 + 3 + 2)(299)$ $= 9 \times 299 = 2691.$

Sumando el último término se obtiene $2691 + 298 = 2989.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first three terms combine to $(4 + 3 + 2)(299)$ $= 9 \times 299 = 2691.$

Adding the last term gives $2691 + 298 = 2989.$

Thus, the correct answer is B .

11.

¿Entre qué dos valores se encuentra la suma $2\dfrac17 + 3\dfrac12 + 5\dfrac{1}{19}$ ?

The sum $2\dfrac17 + 3\dfrac12 + 5\dfrac{1}{19}$ is between which two values?

$10$ y $10\dfrac12$

$10$ and $10\dfrac12$

$10\dfrac12$ y $11$

$10\dfrac12$ and $11$

$11$ y $11\dfrac12$

$11$ and $11\dfrac12$

$11\dfrac12$ y $12$

$11\dfrac12$ and $12$

$12$ y $12\dfrac12$

$12$ and $12\dfrac12$

Respuesta: B

Conceptos:fracción estimación

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Suma primero las partes enteras: $2 + 3 + 5 = 10$

Add the whole-number parts first: $2 + 3 + 5 = 10$

Pista grande:

Las partes fraccionarias son $\dfrac12 + \dfrac17 + \dfrac{1}{19};$ esto es más que $\dfrac12$ pero menos que $1$

The fractional parts are $\dfrac12 + \dfrac17 + \dfrac{1}{19};$ this is more than $\dfrac12$ but less than $1$

Solución:

Las partes enteras suman $10.$ Las partes fraccionarias son $\dfrac12 + \dfrac17 + \dfrac{1}{19}.$

Como $\dfrac17 + \dfrac{1}{19}$ es una cantidad positiva pequeña, el total fraccionario es más que $\dfrac12$ pero muy por debajo de $1.$ Así que la suma está entre $10\dfrac12$ y $11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The whole-number parts sum to $10.$ The fractional parts are $\dfrac12 + \dfrac17 + \dfrac{1}{19}.$

Since $\dfrac17 + \dfrac{1}{19}$ is a small positive amount, the fractional total is more than $\dfrac12$ but well under $1.$ So the sum lies between $10\dfrac12$ and $11.$

Thus, the correct answer is B .

12.

¿Qué fracción de la gran región rectangular de $12$ por $18$ está sombreada?

What fraction of the large $12$ by $18$ rectangular region is shaded?

$\dfrac{1}{108}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{1}{3}$

Respuesta: C

Conceptos:área fracción

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

La línea horizontal divide el rectángulo en una mitad superior y una mitad inferior

The horizontal line splits the rectangle into a top half and a bottom half

Pista grande:

La parte sombreada es el tercio más a la derecha del cuarto inferior derecho del rectángulo

The shaded part is the rightmost third of the bottom-right quarter of the rectangle

Solución:

Toda la región tiene área $12 \times 18 = 216.$ La región sombreada mide $3$ de ancho y $6$ de alto, con área $3 \times 6 = 18.$

Así que la fracción sombreada es $\dfrac{18}{216} = \dfrac{1}{12}.$ De forma equivalente, es $\dfrac13$ de $\dfrac14$ del total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The whole region has area $12 \times 18 = 216.$ The shaded region is $3$ wide and $6$ tall, with area $3 \times 6 = 18.$

So the shaded fraction is $\dfrac{18}{216} = \dfrac{1}{12}.$ Equivalently, it is $\dfrac13$ of $\dfrac14$ of the whole.

Thus, the correct answer is C .

13.

¿Cuál de las siguientes fracciones tiene el mayor valor?

Which of the following fractions has the largest value?

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{17}{35}$

$\dfrac{100}{201}$

$\dfrac{151}{301}$

Respuesta: E

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Compara cada fracción con $\dfrac12$

Compare each fraction to $\dfrac12$

Pista grande:

Una fracción es mayor que $\dfrac12$ exactamente cuando su numerador es más de la mitad de su denominador

A fraction is more than $\dfrac12$ exactly when its numerator is more than half its denominator

Solución:

Para $\dfrac37,$ $\dfrac49,$ $\dfrac{17}{35},$ y $\dfrac{100}{201},$ cada numerador es menor que la mitad de su denominador, así que cada una es menor que $\dfrac12.$

Para $\dfrac{151}{301},$ el numerador $151$ es más de la mitad de $301,$ así que esta fracción supera $\dfrac12$ y es la mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For $\dfrac37,$ $\dfrac49,$ $\dfrac{17}{35},$ and $\dfrac{100}{201},$ each numerator is less than half its denominator, so each is less than $\dfrac12.$

For $\dfrac{151}{301},$ the numerator $151$ is more than half of $301,$ so this fraction exceeds $\dfrac12$ and is the largest.

Thus, the correct answer is E .

14.

Una computadora puede hacer $10{,}000$ sumas por segundo. ¿Cuántas sumas puede hacer en una hora?

A computer can do $10{,}000$ additions per second. How many additions can it do in one hour?

$6$ millones

$6$ million

$36$ millones

$36$ million

$60$ millones

$60$ million

$216$ millones

$216$ million

$360$ millones

$360$ million

Respuesta: B

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Una hora tiene $60 \times 60 = 3600$ segundos

There are $60 \times 60 = 3600$ seconds in an hour

Pista grande:

Multiplica la tasa $10{,}000$ por el número de segundos en una hora

Multiply the rate $10{,}000$ by the number of seconds in an hour

Solución:

Una hora tiene $3600$ segundos, así que la computadora hace $10{,}000 \times 3600 = 36{,}000{,}000$ sumas.

Eso es $36$ millones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

One hour has $3600$ seconds, so the computer does $10{,}000 \times 3600 = 36{,}000{,}000$ additions.

That is $36$ million.

Thus, the correct answer is B .

15.

Un anuncio de oferta decía: “Compra tres llantas al precio regular y llévate la cuarta llanta por $\$3.$ ” Sam pagó $\$240$ por un juego de cuatro llantas en la oferta. ¿Cuál era el precio regular de una llanta?

A sale ad read: “Buy three tires at the regular price and get the fourth tire for $\$3.$ ” Sam paid $\$240$ for a set of four tires at the sale. What was the regular price of one tire?

$\$59.25$

$\$60$

$\$70$

$\$79$

$\$80$

Respuesta: D

Conceptos:trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Los $\$240$ cubren tres llantas al precio regular más $\$3$ por la cuarta

The $\$240$ covers three tires at the regular price plus $\$3$ for the fourth

Pista grande:

Resta los $\$3,$ luego divide el resto entre las tres llantas a precio completo

Subtract the $\$3,$ then divide the rest among the three full-price tires

Solución:

Las tres llantas a precio regular cuestan $\$240 - \$3 = \$237.$

Así que una llanta cuesta $\dfrac{\$237}{3} = \$79.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The three regular-price tires cost $\$240 - \$3 = \$237.$

So one tire costs $\dfrac{\$237}{3} = \$79.$

Thus, the correct answer is D .

16.

Joyce encestó $12$ de sus primeros $30$ tiros en los primeros tres partidos de la temporada de baloncesto, así que su promedio de tiro de la temporada era $40\%.$ En su siguiente partido, hizo $10$ tiros y elevó su promedio de tiro de la temporada a $50\%.$ ¿Cuántos de estos $10$ tiros encestó?

Joyce made $12$ of her first $30$ shots in the first three games of the basketball season, so her seasonal shooting average was $40\%.$ In her next game, she took $10$ shots and raised her seasonal shooting average to $50\%.$ How many of these $10$ shots did she make?

$2$

$3$

$5$

$6$

$8$

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje media

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Después del siguiente partido ha intentado $30 + 10 = 40$ tiros

After the next game she has attempted $30 + 10 = 40$ shots

Pista grande:

Un promedio de $50\%$ sobre $40$ tiros significa $20$ encestados en total; ya tenía $12$

A $50\%$ average on $40$ shots means $20$ made in all; she already had $12$

Solución:

Después del cuarto partido ha hecho $40$ tiros. Un promedio de $50\%$ significa que encestó $\tfrac12 \times 40 = 20$ tiros en total.

Ya había encestado $12,$ así que encestó $20 - 12 = 8$ de los últimos $10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

After the fourth game she has taken $40$ shots. A $50\%$ average means she made $\tfrac12 \times 40 = 20$ shots in total.

She had already made $12,$ so she made $20 - 12 = 8$ of the last $10.$

Thus, the correct answer is E .

17.

Abby, Bret, Carl y Dana están sentados en una fila de cuatro asientos numerados del $1$ al $4.$ Joe los mira y dice: “Bret está junto a Carl.” “Abby está entre Bret y Carl.” Sin embargo, cada una de las afirmaciones de Joe es falsa. Bret está en realidad sentado en el asiento $3.$ ¿Quién está sentado en el asiento $2$ ?

Abby, Bret, Carl, and Dana are seated in a row of four seats numbered $1$ to $4.$ Joe looks at them and says: “Bret is next to Carl.” “Abby is between Bret and Carl.” However, each one of Joe’s statements is false. Bret is actually sitting in seat $3.$ Who is sitting in seat $2?$

Abby

Bret

Carl

Dana

No hay información suficiente para estar seguro

There is not enough information to be sure

Respuesta: D

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

“Bret está junto a Carl” es falso, así que Carl no está en el asiento $2$ ni en el asiento $4;$ el único asiento restante para Carl es el asiento $1$

“Bret is next to Carl” is false, so Carl is not in seat $2$ or seat $4;$ the only remaining seat for Carl is seat $1$

Pista grande:

Una vez que Carl está en el asiento $1,$ “Abby está entre Bret y Carl” es falso, así que Abby no puede estar en el asiento $2;$ coloca a Abby en el último asiento libre y ve quién queda

Once Carl is in seat $1,$ “Abby is between Bret and Carl” is false, so Abby cannot be in seat $2;$ place Abby in the last open seat and see who is left

Solución:

Bret está en el asiento $3.$ Como “Bret está junto a Carl” es falso, Carl no está en el asiento $2$ ni en el asiento $4,$ así que Carl debe estar en el asiento $1.$

El asiento entre Bret (asiento $3$ ) y Carl (asiento $1$ ) es el asiento $2.$ Como “Abby está entre Bret y Carl” es falso, Abby no está en el asiento $2,$ así que Abby debe estar en el asiento $4.$

Eso deja a Dana en el asiento $2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Bret is in seat $3.$ Since “Bret is next to Carl” is false, Carl is not in seat $2$ or seat $4,$ so Carl must be in seat $1.$

The seat between Bret (seat $3$ ) and Carl (seat $1$ ) is seat $2.$ Since “Abby is between Bret and Carl” is false, Abby is not in seat $2,$ so Abby must be in seat $4.$

That leaves Dana in seat $2.$

Thus, the correct answer is D .

18.

La mitad de las personas de una habitación se fueron. Un tercio de las que quedaban se pusieron a bailar. Entonces había $12$ personas que no estaban bailando. ¿Cuál era el número original de personas en la habitación?

Half the people in a room left. One third of those remaining started to dance. There were then $12$ people who were not dancing. What was the original number of people in the room?

$24$

$30$

$36$

$42$

$72$

Respuesta: C

Conceptos:fracción trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Después de que se va la mitad, el número que queda es sobre lo que se aplica la fracción que baila

After half leave, the number remaining is what the dancing fraction applies to

Pista grande:

Los $12$ que no bailan son $\dfrac23$ de los que quedan

The $12$ non-dancers are $\dfrac23$ of those remaining

Solución:

De los que quedaban, $\dfrac13$ bailó, así que $\dfrac23$ no. Por lo tanto, $\dfrac23$ de las personas restantes es igual a $12,$ lo que da $18$ restantes.

Esos $18$ son la mitad del grupo original, así que la habitación empezó con $2 \times 18 = 36$ personas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Of those remaining, $\dfrac13$ danced, so $\dfrac23$ did not. Thus $\dfrac23$ of the remaining people equals $12,$ giving $18$ remaining.

Those $18$ are half the original group, so the room started with $2 \times 18 = 36$ people.

Thus, the correct answer is C .

19.

Una calculadora tiene una tecla de elevar al cuadrado $\boxed{x^2}$ que reemplaza el número que se muestra actualmente por su cuadrado. Por ejemplo, si la pantalla muestra $\boxed{\phantom{00}3}$ y se presiona $\boxed{x^2}$ , la pantalla pasa a $\boxed{\phantom{00}9}.$ Si la pantalla muestra $\boxed{\phantom{00}2},$ ¿cuántas veces se debe presionar $\boxed{x^2}$ para producir un número mostrado mayor que $500$ ?

A calculator has a squaring key $\boxed{x^2}$ that replaces the number currently displayed with its square. For example, if the display reads $\boxed{\phantom{00}3}$ and $\boxed{x^2}$ is pressed, the display becomes $\boxed{\phantom{00}9}.$ If the display reads $\boxed{\phantom{00}2},$ how many times must $\boxed{x^2}$ be pressed to produce a displayed number greater than $500?$

$4$

$5$

$8$

$9$

$250$

Respuesta: A

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Empezando en $2,$ cada pulsación eleva al cuadrado el número: $2,$ $4,$ $16,$ $256,$ $\ldots$

Starting from $2,$ each press squares the number: $2,$ $4,$ $16,$ $256,$ $\ldots$

Pista grande:

Encuentra el primer término de esa lista que supera $500$

Find the first term in that list that exceeds $500$

Solución:

Presionar la tecla repetidamente da $2 \to 4 \to 16 \to 256 \to 65536.$

Como $256 \lt 500 \lt 65536,$ la pantalla supera por primera vez $500$ en la cuarta pulsación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Pressing the key repeatedly gives $2 \to 4 \to 16 \to 256 \to 65536.$

Since $256 \lt 500 \lt 65536,$ the display first exceeds $500$ on the fourth press.

Thus, the correct answer is A .

20.

Considera la afirmación: “Si un número entero $n$ no es primo, entonces el número entero $n - 2$ no es primo.” ¿Cuál de los siguientes valores de $n$ muestra que esta afirmación es falsa?

Consider the statement: “If a whole number $n$ is not prime, then the whole number $n - 2$ is not prime.” Which of the following values of $n$ shows this statement to be false?

$9$

$12$

$13$

$16$

$23$

Respuesta: A

Conceptos:contraejemplo primo

Nivel de dificultad: 1010

Pista pequeña:

Para refutar una afirmación del tipo “si... entonces”, encuentra un caso donde se cumple la parte del “si” pero falla la parte del “entonces”

To disprove an “if ... then” statement, find a case where the “if” part holds but the “then” part fails

Pista grande:

Busca un $n$ que no sea primo mientras que $n - 2$ sí sea primo

Look for $n$ that is not prime while $n - 2$ is prime

Solución:

Un contraejemplo necesita que $n$ no sea primo pero $n - 2$ sí. Para $n = 9,$ el número $9$ no es primo mientras que $9 - 2 = 7$ sí es primo, así que rompe la afirmación.

Los demás no sirven como contraejemplos: $12 - 2 = 10$ y $16 - 2 = 14$ no son primos, mientras que $13$ y $23$ son primos ellos mismos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A counterexample needs $n$ not prime but $n - 2$ prime. For $n = 9,$ the number $9$ is not prime while $9 - 2 = 7$ is prime, so it breaks the statement.

The others fail to be counterexamples: $12 - 2 = 10$ and $16 - 2 = 14$ are not prime, while $13$ and $23$ are themselves prime.

Thus, the correct answer is A .

21.

Supón que $n^\ast$ significa $\dfrac1n,$ el recíproco de $n.$ Por ejemplo, $5^\ast = \dfrac15.$ ¿Cuántas de las siguientes cuatro afirmaciones son verdaderas?

$\mathrm{(i)}\quad 3^\ast + 6^\ast = 9^\ast$

$\mathrm{(ii)}\quad 6^\ast - 4^\ast = 2^\ast$

$\mathrm{(iii)}\quad 2^\ast \cdot 6^\ast = 12^\ast$

$\mathrm{(iv)}\quad 10^\ast \div 2^\ast = 5^\ast$

Suppose $n^\ast$ means $\dfrac1n,$ the reciprocal of $n.$ For example, $5^\ast = \dfrac15.$ How many of the following four statements are true?

$\mathrm{(i)}\quad 3^\ast + 6^\ast = 9^\ast$

$\mathrm{(ii)}\quad 6^\ast - 4^\ast = 2^\ast$

$\mathrm{(iii)}\quad 2^\ast \cdot 6^\ast = 12^\ast$

$\mathrm{(iv)}\quad 10^\ast \div 2^\ast = 5^\ast$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: C

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Reemplaza cada $n^\ast$ por $\dfrac1n$ y prueba los dos lados de cada afirmación

Replace each $n^\ast$ with $\dfrac1n$ and test the two sides of each statement

Pista grande:

Para $\mathrm{(iv)},$ $10^\ast \div 2^\ast = \dfrac{1}{10} \div \dfrac12 = \dfrac{1}{10} \cdot 2$

For $\mathrm{(iv)},$ $10^\ast \div 2^\ast = \dfrac{1}{10} \div \dfrac12 = \dfrac{1}{10} \cdot 2$

Solución:

$\mathrm{(i)}$ $\dfrac13 + \dfrac16 = \dfrac12,$ pero $9^\ast = \dfrac19,$ así que falsa. $\mathrm{(ii)}$ $\dfrac16 - \dfrac14 = -\dfrac{1}{12},$ pero $2^\ast = \dfrac12,$ así que falsa.

$\mathrm{(iii)}$ $\dfrac12 \cdot \dfrac16 = \dfrac{1}{12} = 12^\ast,$ verdadera. $\mathrm{(iv)}$ $\dfrac{1}{10} \div \dfrac12 = \dfrac15 = 5^\ast,$ verdadera.

Así que exactamente $2$ de las afirmaciones son verdaderas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

$\mathrm{(i)}$ $\dfrac13 + \dfrac16 = \dfrac12,$ but $9^\ast = \dfrac19,$ so false. $\mathrm{(ii)}$ $\dfrac16 - \dfrac14 = -\dfrac{1}{12},$ but $2^\ast = \dfrac12,$ so false.

$\mathrm{(iii)}$ $\dfrac12 \cdot \dfrac16 = \dfrac{1}{12} = 12^\ast,$ true. $\mathrm{(iv)}$ $\dfrac{1}{10} \div \dfrac12 = \dfrac15 = 5^\ast,$ true.

So exactly $2$ of the statements are true.

Thus, the correct answer is C .

22.

$ABCD$ es un rectángulo, $D$ es el centro del círculo y $B$ está sobre el círculo. Si $AD = 4$ y $CD = 3,$ ¿entre qué dos valores está el área de la región sombreada?

$ABCD$ is a rectangle, $D$ is the center of the circle, and $B$ is on the circle. If $AD = 4$ and $CD = 3,$ then the area of the shaded region is between which two values?

$4$ y $5$

$4$ and $5$

$5$ y $6$

$5$ and $6$

$6$ y $7$

$6$ and $7$

$7$ y $8$

$7$ and $8$

$8$ y $9$

$8$ and $9$

Respuesta: D

Conceptos:Teorema de Pitágoras sector circular

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

La diagonal $DB$ es el radio; encuéntrala con el teorema de Pitágoras

The diagonal $DB$ is the radius; find it with the Pythagorean theorem

Pista grande:

La región sombreada es un cuarto del círculo menos el rectángulo: $\dfrac14 \pi (5)^2 - 3 \cdot 4$

The shaded region is a quarter of the circle with the rectangle removed: $\dfrac14 \pi (5)^2 - 3 \cdot 4$

Solución:

Como $AD = 4$ y $CD = 3,$ la diagonal $DB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5,$ que es el radio.

La región sombreada es el cuarto de círculo en $D$ menos el rectángulo: $\begin{gathered} \dfrac14 \pi (5)^2 - (3)(4) = \dfrac{25\pi}{4} - 12 \\ \approx 19.6 - 12 = 7.6. \end{gathered}$

Esto está entre $7$ y $8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $AD = 4$ and $CD = 3,$ the diagonal $DB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5,$ which is the radius.

The shaded region is the quarter circle at $D$ minus the rectangle: $\begin{gathered} \dfrac14 \pi (5)^2 - (3)(4) = \dfrac{25\pi}{4} - 12 \\ \approx 19.6 - 12 = 7.6. \end{gathered}$

This lies between $7$ and $8.$

Thus, the correct answer is D .

23.

Supón que la tabla adjunta muestra la población de EE. UU. en $1980$ , en millones, para cada región y grupo étnico. Redondeando al porcentaje más cercano, ¿qué porcentaje de la población negra de EE. UU. vivía en el Sur?

	NE	MO	Sur	Oeste
Blancos	$42$	$52$	$57$	$35$
Negros	$5$	$5$	$15$	$2$
Asiáticos	$1$	$1$	$1$	$3$
Otros	$1$	$1$	$2$	$4$

Assume the adjoining chart shows the $1980$ U.S. population, in millions, for each region by ethnic group. To the nearest percent, what percent of the U.S. Black population lived in the South?

	NE	MW	South	West
White	$42$	$52$	$57$	$35$
Black	$5$	$5$	$15$	$2$
Asian	$1$	$1$	$1$	$3$
Other	$1$	$1$	$2$	$4$

$20\%$

$25\%$

$40\%$

$56\%$

$80\%$

Respuesta: D

Conceptos:porcentaje

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Suma la población negra de las cuatro regiones para obtener el total

Add the Black population across all four regions to get the total

Pista grande:

Divide la cifra del Sur entre ese total, luego conviértela a porcentaje

Divide the South’s figure by that total, then convert to a percent

Solución:

La población negra total es $5 + 5 + 15 + 2 = 27$ millones.

La parte del Sur es $\dfrac{15}{27} = \dfrac59 \approx 55.6\%,$ que se redondea a $56\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The total Black population is $5 + 5 + 15 + 2 = 27$ million.

The South’s share is $\dfrac{15}{27} = \dfrac59 \approx 55.6\%,$ which rounds to $56\%.$

Thus, the correct answer is D .

24.

Un examen de opción múltiple consta de $20$ preguntas. La puntuación es de $+5$ por cada respuesta correcta, $-2$ por cada respuesta incorrecta y $0$ por cada pregunta sin responder. La puntuación de John en el examen es $48.$ ¿Cuál es el número máximo de preguntas que pudo haber respondido correctamente?

A multiple choice examination consists of $20$ questions. The scoring is $+5$ for each correct answer, $-2$ for each incorrect answer, and $0$ for each unanswered question. John’s score on the examination is $48.$ What is the maximum number of questions he could have answered correctly?

$9$

$10$

$11$

$12$

$16$

Respuesta: D

Conceptos:ecuación lineal optimización paridad

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Si $c$ respuestas son correctas y $w$ son incorrectas, entonces $5c - 2w = 48$

If $c$ answers are correct and $w$ are wrong, then $5c - 2w = 48$

Pista grande:

Prueba el mayor $c$ posible: $5c - 48$ debe ser un número par no negativo $2w,$ con $c + w \le 20$

Try the largest possible $c$ : $5c - 48$ must be a nonnegative even number $2w,$ with $c + w \le 20$

Solución:

Sea $c$ el número de correctas y $w$ el número de incorrectas, así que $5c - 2w = 48.$ Entonces $2w = 5c - 48,$ lo que exige que $c$ sea par.

Al probar $c = 14$ se obtiene $w = 11,$ pero $c + w = 25 \gt 20,$ demasiadas preguntas; todo valor par mayor de $c$ exigiría responder aún más. Al probar $c = 12$ se obtiene $w = 6$ y $c + w = 18 \le 20,$ lo cual sí funciona. Por tanto, el máximo es $12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $c$ be the number correct and $w$ the number wrong, so $5c - 2w = 48.$ Then $2w = 5c - 48,$ which requires $c$ to be even.

Trying $c = 14$ gives $w = 11,$ but $c + w = 25 \gt 20,$ too many; every larger even $c$ would require still more answered questions. Trying $c = 12$ gives $w = 6$ and $c + w = 18 \le 20,$ which works. So the maximum is $12.$

Thus, the correct answer is D .

25.

Diez bolas numeradas del $1$ al $10$ están en un frasco. Jack mete la mano en el frasco y saca al azar una de las bolas. Luego Jill mete la mano en el frasco y saca al azar una bola diferente. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos números de las bolas sacadas sea par?

Ten balls numbered $1$ to $10$ are in a jar. Jack reaches into the jar and randomly removes one of the balls. Then Jill reaches into the jar and randomly removes a different ball. What is the probability that the sum of the two numbers on the balls removed is even?

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{9}{19}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{10}{19}$

$\dfrac{5}{9}$

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad básica paridad

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

La suma de dos números es par exactamente cuando ambos son impares o ambos son pares

The sum of two numbers is even exactly when both are odd or both are even

Pista grande:

Hay $5$ bolas impares y $5$ pares; cuenta los pares de igual paridad entre todos los $\binom{10}{2}$ pares

There are $5$ odd and $5$ even balls; count the matching-parity pairs out of all $\binom{10}{2}$ pairs

Solución:

La suma es par cuando ambas bolas son impares o ambas pares. Hay $\binom{5}{2} = 10$ pares todos impares y $\binom{5}{2} = 10$ pares todos pares, para $20$ pares favorables.

El número total de pares es $\binom{10}{2} = 45,$ así que la probabilidad es $\dfrac{20}{45} = \dfrac49.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum is even when both balls are odd or both are even. There are $\binom{5}{2} = 10$ all-odd pairs and $\binom{5}{2} = 10$ all-even pairs, for $20$ favorable pairs.

The total number of pairs is $\binom{10}{2} = 45,$ so the probability is $\dfrac{20}{45} = \dfrac49.$

Thus, the correct answer is A .

Problemas del 1987 AMC 8

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande: