Question

$ABCD$ 是一个矩形， $D$ 是圆心， $B$ 在圆上。如果 $AD = 4$ 且 $CD = 3$ ，那么阴影区域面积位于哪两个值之间？

$ABCD$ is a rectangle, $D$ is the center of the circle, and $B$ is on the circle. If $AD = 4$ and $CD = 3,$ then the area of the shaded region is between which two values?

$4$ 和 $5$

$4$ and $5$

$5$ 和 $6$

$5$ and $6$

$6$ 和 $7$

$6$ and $7$

$7$ 和 $8$

$7$ and $8$

$8$ 和 $9$

$8$ and $9$

答案：D

知识点：勾股定理扇形

难度评级：1120

小提示：

对角线 $DB$ 是半径；用勾股定理求出它

The diagonal $DB$ is the radius; find it with the Pythagorean theorem

大提示：

阴影区域是四分之一圆减去矩形： $\dfrac14 \pi (5)^2 - 3 \cdot 4$

The shaded region is a quarter of the circle with the rectangle removed: $\dfrac14 \pi (5)^2 - 3 \cdot 4$

解答：

因为 $AD = 4$ 且 $CD = 3$ ，所以对角线 $DB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ，这就是半径。

阴影区域是以 $D$ 为圆心的四分之一圆减去矩形： $\begin{gathered} \dfrac14 \pi (5)^2 - (3)(4) = \dfrac{25\pi}{4} - 12 \\ \approx 19.6 - 12 = 7.6 \end{gathered}\text{。}$

这个值位于 $7$ 和 $8$ 之间。

所以正确答案是 D。

Since $AD = 4$ and $CD = 3,$ the diagonal $DB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5,$ which is the radius.

The shaded region is the quarter circle at $D$ minus the rectangle: $\begin{gathered} \dfrac14 \pi (5)^2 - (3)(4) = \dfrac{25\pi}{4} - 12 \\ \approx 19.6 - 12 = 7.6. \end{gathered}$

This lies between $7$ and $8.$

Thus, the correct answer is D .

1987 AMC 8 第 22 题

答案：D

难度评级：1120

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题