Question

$7^{2011}$ 的十位数字是什么？

What is the tens digit of $7^{2011}?$

$0$

$1$

$3$

$4$

$7$

答案：D

知识点：模运算模幂运算

难度评级：1520

小提示：

$7$ 的幂的末两位每 $4$ 次方重复

The last two digits of powers of $7$ repeat every $4$ powers.

大提示：

在模 $100$ 下计算，因为十位数字由末两位决定

Work modulo $100$ , since the tens digit depends on the last two digits.

解答：

要找十位数字，只需跟踪 $7$ 的幂模 $100$ 的结果。因为 $7^4=2401\equiv1\pmod{100}$ ，末两位每四次方重复。

因为 $2011=4\cdot502+3$ ，所以 $\begin{aligned}7^{2011}&\equiv7^3=343\\&\equiv43\pmod{100}\end{aligned}$ 因此十位数字是 $4$ 。

所以正确答案是 D。

To find the tens digit, it is enough to track powers of $7$ modulo $100$ . Since $7^4=2401\equiv1\pmod{100}$ , the last two digits repeat every four powers.

Because $2011=4\cdot502+3$ , we have $\begin{aligned}7^{2011}&\equiv7^3=343\\&\equiv43\pmod{100}\end{aligned}$ Thus the tens digit is $4$ .

Thus, D is the correct answer.

2011 AMC 8 第 22 题

答案：D

难度评级：1520

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题