Question

在一个正整数序列中，从第三项开始，每一项都是前两项的乘积。该序列的第六项是 $4000$ 。第一项是多少？

In a sequence of positive integers, each term after the second is the product of the previous two terms. The sixth term in the sequence is $4000.$ What is the first term?

$1$

$2$

$4$

$5$

$10$

答案：D

知识点：递推质因数分解

难度评级：1790

小提示：

用第一项 $x$ 和第二项 $y$ 写出前几项

Write the first several terms using first term $x$ and second term $y$

大提示：

第六项是 $x^3y^5$

The sixth term is $x^3y^5$

视频讲解：

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文字解答：

设第一项为 $x$ ，第二项为 $y$ 。

于是，序列的前几项为 $x, y, xy, xy^2, x^2y^3, x^3y^5, \cdots$ 因此 $x^3y^5 = 4000$ 。

将 $4000$ 分解质因数，得到 $4000 = 2^5 \cdot 5^3\text{。}$ 因为 $x$ 和 $y$ 都是正整数，所以能整除 $4000$ 的完全五次方只有 $1$ 和 $32$ 。

若 $y = 1$ ，则 $x^3 = 4000$ ，但 $4000$ 不是完全立方数，不可能成立。因此 $y^5 = 32$ 且 $y = 2\text{。}$

这迫使 $x$ 等于 $5$ 。

所以正确答案是 D。

Let $x$ be the first term and $y$ be the second.

Then we get the following sequence: $x, y, xy, xy^2, x^2y^3, x^3y^5, \cdots$ Thus $x^3y^5 = 4000.$

Factoring $4000,$ gives $4000 = 2^5 \cdot 5^3.$ Because $x$ and $y$ are positive integers, the only fifth powers that divide $4000$ are $1$ and $32.$

If $y = 1,$ then $x^3 = 4000,$ which is impossible because $4000$ is not a perfect cube. Therefore, $y^5 = 32$ and $y = 2.$

This forces $x$ to equal $5.$

Thus, D is the correct answer.

2023 AMC 8 第 22 题