Question

在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是边 $\overline{CD}$ 的中点。 $\overline{BE}$ 与对角线 $\overline{AC}$ 相交于 $F$ 。四边形 $AFED$ 的面积为 $45$ 。正方形 $ABCD$ 的面积是多少？

Point $E$ is the midpoint of side $\overline{CD}$ in square $ABCD,$ and $\overline{BE}$ meets diagonal $\overline{AC}$ at $F.$ The area of quadrilateral $AFED$ is $45.$ What is the area of $ABCD?$

$100$

$108$

$120$

$135$

$144$

答案：B

知识点：相似正方形（几何）面积比

难度评级：1770

小提示：

设正方形边长为 $s$

Let the square have side length $s$ .

大提示：

求出从 $\triangle ACD$ 中切掉的小三角形面积，再从半个正方形中减去它

Find the small triangle cut from $\triangle ACD$ , then subtract it from half the square.

视频讲解：

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文字解答：

设正方形边长为 $s$ ，并设 $H$ 是从 $F$ 向 $\overline{BC}$ 作垂线的垂足。直角三角形 $CAB$ 与 $CFH$ 相似，所以 $CH=FH$ 。另外，三角形 $BFH$ 与 $BEC$ 相似，因此 $\frac{FH}{EC}=\frac{BH}{BC}\text{。}$ 因为 $EC=\frac{s}{2}$ 、 $BC=s$ ，且 $BH=s-CH=s-FH$ ，所以 $\frac{2FH}{s}=1-\frac{FH}{s}$ ，从而 $FH=CH=\frac{s}{3}$ 。

因此，三角形 $EFC$ 的底为 $EC=\frac{s}{2}$ ，高为 $CH=\frac{s}{3}$ ，所以面积为 $\frac{s^2}{12}$ 。于是 $\begin{aligned} [AFED]&=[\triangle ACD]-[\triangle EFC]\\ &=\dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12}\\ &=\dfrac{5s^2}{12} \end{aligned}\text{。}$ 因为这个面积是 $45$ ，所以 $s^2=108$ ，这就是正方形的面积。

Let the square have side length $s,$ and let $H$ be the foot of the perpendicular from $F$ to $\overline{BC}.$ The right triangles $CAB$ and $CFH$ are similar, so $CH=FH.$ Also, triangles $BFH$ and $BEC$ are similar, giving $\frac{FH}{EC}=\frac{BH}{BC}.$ Since $EC=\frac{s}{2},$ $BC=s,$ and $BH=s-CH=s-FH,$ this becomes $\frac{2FH}{s}=1-\frac{FH}{s},$ so $FH=CH=\frac{s}{3}.$

Thus triangle $EFC$ has base $EC=\frac{s}{2}$ and height $CH=\frac{s}{3},$ so its area is $\frac{s^2}{12}.$ Therefore $\begin{aligned} [AFED]&=[\triangle ACD]-[\triangle EFC]\\ &=\dfrac{s^2}{2}-\dfrac{s^2}{12}\\ &=\dfrac{5s^2}{12}. \end{aligned}$ Since this area is $45$ , we get $s^2=108$ , the area of the square.

2018 AMC 8 第 22 题