Question

有多少个正的三位整数，除以 $6$ 余 $2$ ，除以 $9$ 余 $5$ ，且除以 $11$ 余 $7$ ？

How many positive three-digit integers have a remainder of $2$ when divided by $6,$ a remainder of $5$ when divided by $9,$ and a remainder of $7$ when divided by $11?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

答案：E

知识点：中国剩余定理最小公倍数区间内整数计数

难度评级：1490

小提示：

每个余数条件都说明这个数比相应除数的某个倍数小 $4$

Each remainder condition says the number is $4$ less than a multiple of the divisor.

大提示：

数形如 $198k-4$ 的三位数有多少个

Count three-digit numbers of the form $198k-4$ .

视频讲解：

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文字解答：

每个所给余数都比相应除数小 $4$ ，所以 $x+4$ 必须同时被 $6,9$ 和 $11$ 整除。因此 $x+4$ 是 $\operatorname{lcm}(6,9,11)=198$ 的倍数。

因为 $x$ 是三位数，所以 $104\le x+4\le1003$ 。这个区间内 $198$ 的倍数是 $198,396,594,792,990$ ，因此共有 $5$ 个符合条件的整数。

正确答案是 E。

Each required remainder is $4$ less than its divisor, so $x+4$ must be divisible by $6,9,$ and $11$ . Hence $x+4$ is a multiple of $\operatorname{lcm}(6,9,11)=198.$

For a three-digit $x$ , we have $104\le x+4\le1003$ . The multiples of $198$ in this interval are $198,396,594,792,990$ , giving $5$ possible integers.

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 8 第 21 题