Question

如图，六边形 $ABCDEF$ 是等角六边形， $ABJI$ 和 $FEHG$ 是面积分别为 $18$ 和 $32$ 的正方形， $\triangle JBK$ 是等边三角形，且 $FE=BC$ 。 $\triangle KBC$ 的面积是多少？

In the given figure hexagon $ABCDEF$ is equiangular, $ABJI$ and $FEHG$ are squares with areas $18$ and $32$ respectively, $\triangle JBK$ is equilateral and $FE=BC.$ What is the area of $\triangle KBC?$

$6\sqrt{2}$

$9$

$12$

$9\sqrt{2}$

$32$

答案：C

知识点：等角多边形等边三角形三角形面积

难度评级：1510

小提示：

由两个正方形面积求出 $JB$ 和 $BC$

Find $JB$ and $BC$ from the two square areas.

大提示：

在图中， $BK$ 垂直于 $BC$

In the diagram, $BK$ is perpendicular to $BC.$

视频讲解：

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文字解答：

面积为 $18$ 的正方形边长为 $JB=\sqrt{18}=3\sqrt2$ 。因为 $\triangle JBK$ 是等边三角形，所以 $BK=3\sqrt2$ 。

面积为 $32$ 的正方形边长为 $FE=\sqrt{32}=4\sqrt2$ 。因为 $FE=BC$ ，所以 $BC=4\sqrt2$ 。

在 $B$ 点处，等边三角形、正方形和等角六边形的内角分别为 $60^\circ$ 、 $90^\circ$ 和 $120^\circ$ 。因此 $\begin{aligned} \angle KBC &= 360^\circ-60^\circ-90^\circ\\ &\qquad-120^\circ\\ &=90^\circ \end{aligned}\text{。}$ 所以 $[\triangle KBC]=\dfrac12(3\sqrt2)(4\sqrt2)=12\text{。}$

所以正确答案是 C。

The square with area $18$ has side length $JB=\sqrt{18}=3\sqrt2.$ Since $\triangle JBK$ is equilateral, $BK=3\sqrt2.$

The square with area $32$ has side length $FE=\sqrt{32}=4\sqrt2.$ Since $FE=BC,$ we have $BC=4\sqrt2.$

At $B,$ the equilateral triangle, square, and equiangular hexagon contribute angles of $60^\circ,$ $90^\circ,$ and $120^\circ,$ respectively. Hence $\begin{aligned} \angle KBC &= 360^\circ-60^\circ-90^\circ\\ &\qquad-120^\circ\\ &=90^\circ. \end{aligned}$ Therefore $[\triangle KBC]=\dfrac12(3\sqrt2)(4\sqrt2)=12.$

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 8 第 21 题