Question

拉尔夫去商店买了 $12$ 双袜子，总价 $\$24$ 。他买的袜子中有些每双 $\$1$ ，有些每双 $\$3$ ，有些每双 $\$4$ 。如果每种袜子他至少买一双，那么拉尔夫买了多少双 $\$1$ 的袜子？

Ralph went to the store and bought $12$ pairs of socks for a total of $\$24$ . Some of the socks he bought cost $\$1$ a pair, some of the socks he bought cost $\$3$ a pair, and some of the socks he bought cost $\$4$ a pair. If he bought at least one pair of each type, how many pairs of $\$1$ socks did Ralph buy?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

答案：D

知识点：方程组模运算

难度评级：1390

小提示：

设价格为 $\$1$ 、 $\$3$ 和 $\$4$ 的袜子双数为变量

Let the numbers of $\$1,$ $\$3,$ and $\$4$ pairs be variables.

大提示：

用总价方程减去总双数方程

Subtract the pair-count equation from the cost equation.

视频讲解：

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文字解答：

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为 $\$1$ 、 $\$3$ 、 $\$4$ 的袜子双数。则 $a+b+c=12\text{，}$ $a+3b+4c=24\text{。}$

两式相减得 $2b+3c=12$ 。因为每种至少买一双，所以 $b>0$ 、 $c>0$ 。又 $3c<12$ ，所以 $c<4$ 。从方程模 $2$ 看， $c$ 必须是偶数，所以 $c=2$ 。

于是 $2b+6=12$ ，得 $b=3$ ，所以 $a=12-3-2=7$ 。

所以正确答案是 D。

Let $a,$ $b,$ and $c$ be the numbers of $\$1,$ $\$3,$ and $\$4$ pairs, respectively. Then $a+b+c=12,$ $a+3b+4c=24.$

Subtracting gives $2b+3c=12.$ Since at least one pair of each type was bought, $b>0$ and $c>0.$ Also $3c<12,$ so $c<4.$ Modulo $2,$ the equation gives $c$ even, so $c=2.$

Then $2b+6=12,$ so $b=3,$ and $a=12-3-2=7.$

Thus, D is the correct answer.

2015 AMC 8 第 20 题