Question

Ralph fue a la tienda y compró $12$ pares de calcetines por un total de $\$24$ . Algunos de los calcetines que compró costaban $\$1$ el par, algunos costaban $\$3$ el par, y algunos costaban $\$4$ el par. Si compró al menos un par de cada tipo, ¿cuántos pares de calcetines de $\$1$ compró Ralph?

Ralph went to the store and bought $12$ pairs of socks for a total of $\$24$ . Some of the socks he bought cost $\$1$ a pair, some of the socks he bought cost $\$3$ a pair, and some of the socks he bought cost $\$4$ a pair. If he bought at least one pair of each type, how many pairs of $\$1$ socks did Ralph buy?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean $a$ , $b$ y $c$ el número de pares de $\$1$ , $\$3$ y $\$4$ , respectivamente. Entonces $a+b+c=12,$ $a+3b+4c=24.$

Restando se obtiene $2b+3c=12$ . Como se compró al menos un par de cada tipo, $b>0$ y $c>0$ . Además $3c<12$ , así que $c<4$ . Módulo $2$ , la ecuación da que $c$ es par, así que $c=2$ .

Entonces $2b+6=12$ , así que $b=3$ , y $a=12-3-2=7$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $a$ , $b$ , and $c$ be the numbers of $\$1$ , $\$3$ , and $\$4$ pairs, respectively. Then $a+b+c=12,$ $a+3b+4c=24.$

Subtracting gives $2b+3c=12$ . Since at least one pair of each type was bought, $b>0$ and $c>0$ . Also $3c<12$ , so $c<4$ . Modulo $2$ , the equation gives $c$ even, so $c=2$ .

Then $2b+6=12$ , so $b=3$ , and $a=12-3-2=7$ .

Thus, D is the correct answer.

2015 AMC 8 Problema 20

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 20 en otros años