Question

En $\triangle ABC,$ un punto $E$ está en $\overline{AB}$ con $AE=1$ y $EB=2.$ El punto $D$ está en $\overline{AC}$ de modo que $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ y el punto $F$ está en $\overline{BC}$ de modo que $\overline{EF} \parallel \overline{AC}.$ ¿Cuál es la razón del área de $CDEF$ al área de $\triangle ABC$ ?

In $\triangle ABC,$ a point $E$ is on $\overline{AB}$ with $AE=1$ and $EB=2.$ Point $D$ is on $\overline{AC}$ so that $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ and point $F$ is on $\overline{BC}$ so that $\overline{EF} \parallel \overline{AC}.$ What is the ratio of the area of $CDEF$ to the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5}{9}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

Solución en video:

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Solución escrita:

Sea el área de $\triangle ABC$ igual a $t.$ Como $DE \parallel BC$ y $FE \parallel CA ,$ podemos deducir que $ADE \sim ABC$ y $EFB \sim ABC.$ Como $AE = \dfrac{AB}3,$ el área de $ADE$ es igual a $\left(\dfrac13\right)^2 t = \dfrac{t}{9} .$ Como $EB = \dfrac{2AB}3,$ el área de $EFB$ es igual a $\left(\dfrac23\right)^2 t = \dfrac{4}{9}t .$ Finalmente, para hallar el área de $CDEF,$ tomamos el área de $ABC =t$ y restamos las áreas de $ADE$ y $EFB.$ Esto equivale a la expresión $t- \frac{t}{9} - \frac{4t}{9} = \frac{4t}{9} .$ Por lo tanto, la razón del área de $CDEF$ al área de $ABC$ es $\dfrac{\left(\dfrac{4t}{9}\right)}{t} = \dfrac{4}{9} .$

Así, A es la respuesta correcta.

Let the area of $\triangle ABC$ be equal to $t.$ Since $DE \parallel BC$ and $FE \parallel CA ,$ we can deduce that $ADE \sim ABC$ and $EFB \sim ABC.$ Since $AE = \dfrac{AB}3,$ the area of $ADE$ is equal to $\left(\dfrac13\right)^2 t = \dfrac{t}{9} .$ Since $EB = \dfrac{2AB}3,$ the area of $EFB$ is equal to $\left(\dfrac23\right)^2 t = \dfrac{4}{9}t .$ Finally, to find the area of $CDEF,$ we take the area of $ABC =t$ and subtract the areas of $ADE$ and $EFB.$ This is equivalent to the expression $t- \frac{t}{9} - \frac{4t}{9} = \frac{4t}{9} .$ Therefore, the ratio of the area of $CDEF$ and $ABC$ is $\dfrac{\left(\dfrac{4t}{9}\right)}{t} = \dfrac{4}{9} .$

Thus, A is the correct answer.

2018 AMC 8 Problema 20

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Solución escrita:

El Problema 20 en otros años