Question

Una científica que caminaba por un bosque registró como enteros las alturas de $5$ árboles alineados en una fila. Observó que cada árbol era o bien el doble de alto o bien la mitad de alto que el que estaba a su derecha. Desafortunadamente, parte de sus datos se perdió cuando la lluvia cayó sobre su cuaderno. Sus notas se muestran abajo, con los espacios en blanco indicando los números faltantes. Basándose en sus observaciones, la científica pudo reconstruir los datos perdidos. ¿Cuál fue la altura promedio de los árboles, en metros?

$\begin{array}{|c|c|}\hline T_1&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_2&11\,\mathrm m\\T_3&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_4&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_5&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\\hline\overline T&\underline{\phantom{00}}.2\,\mathrm m\\\hline\end{array}$

A scientist walking through a forest recorded as integers the heights of $5$ trees standing in a row. She observed that each tree was either twice as tall or half as tall as the one to its right. Unfortunately some of her data was lost when rain fell on her notebook. Her notes are shown below, with blanks indicating the missing numbers. Based on her observations, the scientist was able to reconstruct the lost data. What was the average height of the trees, in meters?

$\begin{array}{|c|c|}\hline T_1&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_2&11\,\mathrm m\\T_3&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_4&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\T_5&\underline{\phantom{00}}\,\mathrm m\\\hline\overline T&\underline{\phantom{00}}.2\,\mathrm m\\\hline\end{array}$

$22.2$

$24.2$

$33.2$

$35.2$

$37.2$

Solución en video:

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Solución escrita:

El árbol $2$ mide $11$ metros. Como todas las alturas son enteras y los árboles vecinos difieren en un factor de $2,$ los árboles $1$ y $3$ deben medir ambos $22$ metros.

Los primeros tres árboles suman $22+11+22=55$ metros. El árbol $4$ mide $11$ o $44$ metros. Si el árbol $4$ fuera $11,$ entonces el árbol $5$ sería $22$ o el no entero $5.5,$ dando promedios que terminan en $.6$ o inválidos.

Si el árbol $4=44,$ entonces el árbol $5$ puede ser $22$ o $88.$ Estos dan promedios $24.2$ y $37.4,$ respectivamente. El único promedio de la lista que termina en $.2$ es $24.2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Tree $2$ is $11$ meters tall. Since all heights are integers and neighboring trees differ by a factor of $2,$ trees $1$ and $3$ must both be $22$ meters tall.

The first three trees total $22+11+22=55$ meters. Tree $4$ is either $11$ or $44$ meters. If tree $4$ were $11,$ then tree $5$ would be $22$ or nonintegral $5.5,$ giving averages ending in $.6$ or invalid.

If tree $4=44,$ then tree $5$ can be $22$ or $88.$ These give averages $24.2$ and $37.4,$ respectively. The only listed average ending in $.2$ is $24.2.$

Thus, the correct answer is B.

2020 AMC 8 Problema 20

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 20 en otros años