Question

Cualquier tres vértices del cubo $PQRSTUVW,$ mostrado en la figura de abajo, se pueden conectar para formar un triángulo. (Por ejemplo, los vértices $P,$ $Q,$ y $R$ se pueden conectar para formar el triángulo isósceles $\bigtriangleup PQR.$ ) ¿Cuántos de estos triángulos son equiláteros y contienen a $P$ como vértice?

Any three vertices of the cube $PQRSTUVW,$ shown in the figure below, can be connected to form a triangle. (For example, vertices $P,$ $Q,$ and $R$ can be connected to form isosceles $\bigtriangleup PQR.$ ) How many of these triangles are equilateral and contain $P$ as a vertex?

$0$

$1$

$2$

$3$

$6$

Solución:

Primero notamos que solo podemos formar triángulos equiláteros si pasamos por las diagonales de las caras cuadradas; de lo contrario, al menos un ángulo del triángulo será diferente. Después, es fácil agotar todos los triángulos equiláteros posibles que se pueden formar: $\triangle PVT,$ $\triangle PRT,$ y $\triangle PRV.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We first note that we can only form equilateral triangles if we go through the diagonals of the square faces, otherwise at least one angle of the triangle will be different. Afterwards, it is easy to exhaust all possible equilateral triangles that can be formed: $\triangle PVT,$ $\triangle PRT,$ and $\triangle PRV.$

Thus, D is the correct answer.

2024 AMC 8 Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años