Question

El rectángulo $ABCD$ tiene lados $CD=3$ y $DA=5.$ Un círculo de radio $1$ está centrado en $A,$ un círculo de radio $2$ está centrado en $B,$ y un círculo de radio $3$ está centrado en $C.$ ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana al área de la región dentro del rectángulo pero fuera de los tres círculos?

Rectangle $ABCD$ has sides $CD=3$ and $DA=5.$ A circle of radius $1$ is centered at $A,$ a circle of radius $2$ is centered at $B,$ and a circle of radius $3$ is centered at $C.$ Which of the following is closest to the area of the region inside the rectangle but outside all three circles?

$3.5$

$4.0$

$4.5$

$5.0$

$5.5$

Respuesta: B

Conceptos:sector circular área estimación

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Dentro del rectángulo, cada círculo aporta un sector de un cuarto de círculo.

Inside the rectangle, each circle contributes a quarter-circle sector.

Pista grande:

Resta el área total de los sectores del área del rectángulo y aproxima $\pi$ .

Subtract the total sector area from the rectangle area and approximate $\pi$ .

Solución:

Las partes de los tres círculos dentro del rectángulo son cuartos de círculo con radios $1$ , $2$ y $3$ . Su área total es $\dfrac{\pi}{4}+\pi+\dfrac{9\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{2}.$

Usando $\pi\approx\dfrac{22}{7}$ , este total es aproximadamente $11$ . El rectángulo tiene área $3\cdot5=15$ , así que el área deseada es aproximadamente $15-11=4$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The parts of the three circles inside the rectangle are quarter-circles with radii $1$ , $2$ , and $3$ . Their total area is $\dfrac{\pi}{4}+\pi+\dfrac{9\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{2}.$

Using $\pi\approx\dfrac{22}{7}$ , this total is about $11$ . The rectangle has area $3\cdot5=15$ , so the desired area is about $15-11=4$ .

Thus, B is the correct answer.

2014 AMC 8 Problema 20

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 20 en otros años